OPIS RUCHU Wektor poÅ‚o\enia, promieÅ„ wodzÄ…cy Ć r = x Å" x + y Å" w + z Å" Ä™ z r y 0 x Ć x t = x(t)x ( ) y t = y(t)w ( ) r = r(t) z t = z(t)Ä™ ( ) Równanie ruchu Ć r t = x t Å" x + y t Å" w + z t Å" Ä™ ( ) ( ) ( ) ( ) EliminujÄ…c z tych równaÅ„ czas otrzymujemy równanie toru z = F (x, y) EWR 2008 F1a_ opis ruchu /1 PRDKOŚĆ PrÄ™dkość Å›rednia r2 - r1 "r vr = = t2 - t1 "t prÄ™dkość Å›rednia punktu "t =t2-t1 w czasie PrÄ™dkość (prÄ™dkość chwilowa) "t 0 "r dr v = lim = "t0 "t dt dr v = dt dx dy dz prÄ™dkość jest zawsze Ć v = x + w + Ä™ styczna do toru dt dt dt EWR 2008 F1a_ opis ruchu /2 PRZYSPIESZENIE Przyspieszenie Å›rednie v2 - v1 "v asr = = t2 - t1 "t Przyspieszenie "t 0 "v dv a = lim0 = "t "t dt dv a = dt dvy dvx dvz Ć a = Å" x + Å" w + Å" Ä™ dt dt dt 2 d r a = dt2 2 2 2 d x d y d z Ć a = Å" x + Å" w + Å" Ä™ dt2 dt2 dt2 EWR 2008 F1a_ opis ruchu /3 SKAADOWE PRZYSPIESZENIA Przyspieszenie ma skÅ‚adowe ax, ay i az a = ax + ay + az a a a a as an a a oraz as i an a = as + an przyspieszenie styczne do toru, opisujÄ…ce zmiany wartoÅ›ci prÄ™dkoÅ›ci dv as = v - wartość prÄ™dkoÅ›ci dt przyspieszenie normalne, prostopadÅ‚e do toru opisujÄ…ce zmiany kierunku prÄ™dkoÅ›ci dv a = d t 2 v an = Á - promieÅ„ krzywizny toru. Á EWR 2008 F1a_ opis ruchu /4 CAAKA NIEOZNACZONA - FUNKCJA FUNKCJ PIERWOTN danej funkcji f(x) nazywamy funkcjÄ™ F(x) takÄ…, \e F (x) = f(x) Funkcja pierwotna okreÅ›lona jest z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do staÅ‚ej F1(x) = F(x) + C1 CAAKA NIEOZNACZONA CaÅ‚ka nieoznaczona jest to taka funkcja, f (x)dx = F(x) + C +" której pochodna równa jest funkcji podcaÅ‚kowej f(x) f(x)dx - wyra\enie podcaÅ‚kowe, x - zmienna caÅ‚owania EWR 2008 F1a_ opis ruchu /5 CAAKI NIEOZNACZONE Wzory na caÅ‚kowanie mo\na otrzymać przez odwrócenie wzorów na ró\niczkowanie: na przykÅ‚ad d 1 xn = nxn -1 ( ) xdx = x2 +" dx 2 1 xmdx = xm+1 dla m `" -1 +" m + 1 1 dx = ln(x) +" x +"cos xdx = sin x +"sin xdx = -cos x " ReguÅ‚y caÅ‚kowania: f (x)dx +"a f (x)dx = a +" +"(u + v - w)dx = +"udx + +"vdx - +"wdx EWR 2008 F1a_ opis ruchu /6 CAAKA OZNACZONA - LICZBA (a,b) dzielimy na n przedziałów " xi = xi - xi -1 wewnÄ…trz ka\dego przedziaÅ‚u wybieramy punkt ¾i b n f (x)dx = lim0 f (¾i )"xi " +" "xi i=1 a n0 Je\eli istnieje granica i nie zale\y od wyboru punktów xi i ¾i , to nazywamy jÄ… caÅ‚kÄ… oznaczonÄ…. CaÅ‚ka oznaczona b f (x)dx +" a jest to liczba równa wartoÅ›ci pola powierzchni wyznaczonej przez funkcje f(x) oraz proste: y = 0, x = a, x = b f(x)dx - wyra\enie podcaÅ‚kowe a - dolna granica b - górna granica x - zmienna caÅ‚owania EWR 2008 F1a_ opis ruchu /7 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA b a a f (x)dx = - f (x)dx f (x)dx = 0 +" +" +" a b a b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx +" +" +" a a c b b f (x)dx +"c Å" f (x)dx = c Å"+" a a b b b b +"[u(x) + v(x) - w(x)]dx = +"u(x)dx + +"v(x)dx - +"w(x)dx a a a a EWR 2008 F1a_ opis ruchu /8 TWIERDZENIE O WARTOÅšCI ÅšREDNIEJ Je\eli funkcja f(x) jest ciÄ…gÅ‚a w przedziale (a, b) to istnieje punkt ¾ taki, \e b f (x)dx = (b - a)Å" f (¾ ) +" a f(¾) - wartość Å›rednia f(x) w przedziale (a, b) PODSTAWOWE TWIERDZENIE RACHUNKU CAAKOWEGO f (x)dx = F(x) + C Je\eli +" b b to f (x)dx = F (b) - F (a) a" F (x) +" a a EWR 2008 F1a_ opis ruchu /9 przykÅ‚ady ruchu: RUCH PROSTOLINIOWY Ć x r Wybieramy ukÅ‚ad współrzÄ™dnych tak, aby , Ć (1) r t = x t Å" x ( ) ( ) dx dx = v Ć Ć (2) v t = Å" x = v t Å" x ( ) ( ) dt dt dv dv Ć Ć = a (3) a t = Å" x = a t Å" x ( ) ( ) dt dt i zajmujemy siÄ™ tylko wartoÅ›ciami wektorów x(t), v(t) i a(t) " ze wzoru (2) x (t ) t dx = vÅ" dt dx = vdt +" +" x t 0 0 t x = x0 + vdt x0 = x t0 ( ) +" t0 " ze wzoru (3) v ( t ) t dv = aÅ" dt d v = ad t +" +" v0 t0 t v = v0 + adt v0 = v t0 ( ) +" t0 EWR 2008 F1a_ opis ruchu /10 RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY a = 0, v = const. t dla m `" -1 x = x0 + +"vdt 1 t0 xmdx = xm+1 +" m + 1 t 1 = t0 x = x0 + v +"1dt 1 0 t0 +"t dt = 0 +1t0+1 = t x = x0 + v t - t0 ( ) EWR 2008 F1a_ opis ruchu /11 RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY a = const. oraz t0 = 0 t v = v0 + +"adt = v0 + at 0 t t x = x0 + 0 +"vdt = x0 + +"(v + at)dt 0 0 1 2 x = x0 + v0t + at 2 dla m `" -1 1 xmdx = xm+1 +" m + 1 1 1 1 +"t dt = 1+1t1+1 = 2 t2 EWR 2008 F1a_ opis ruchu /12 przykÅ‚ady ruchu: RUCH KRZYWOLINIOWY dr dv v = a = dt dt vdt = dr adt = dv r (t) v (t) t t +"vdt = +"dr +"adt = +"dv 0 r (0) 0 v (0) t t +"vdt = r(t) - r(0) +"adt = v(t) - v(0) 0 0 t t r(t) = r0 + v(t) = v0 + +"vdt +"adt 0 0 EWR 2008 F1a_ opis ruchu /13 JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY a = const. t t v(t) = v0 + +"dt = t +"adt 0 0 t v(t) = v0 + a +"dt 0 v = v0 + at t r(t) = r0 + +"vdt 0 t r(t) = r0 + 0 +"(v + at)dt t 1 0 t t +"tdt = 2 t2 0 r(t) = r0 + 0 +"v dt + +"(at)dt 0 0 t t r(t) = r0 + v0 +"dt + a+"tdt 0 0 1 r = r0 + v0t + at2 2 EWR 2008 F1a_ opis ruchu /14 RUCH KRZYWOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY a = const. v = v0 + at 1 r = r0 + v0t + at2 2 Wektory prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia nie muszÄ… być równolegÅ‚e. Wektor prÄ™dkoÅ›ci le\y w pÅ‚aszczyznie wyznaczonej przez wektory a i v0 i przechodzÄ…cej przez punkt zdefiniowany przez wektor r0. Ruch odbywajÄ…cy siÄ™ ze staÅ‚ym przyspieszeniem jest ruchem pÅ‚askim. Torem ruchu jest w ogólnym przypadku parabola. PrzykÅ‚adem takiego ruchu jest ruch w pobli\u powierzchni ziemi ze staÅ‚ym przyspieszeniem, czyli tzw. "rzut ukoÅ›ny g = const. EWR 2008 F1a_ opis ruchu /15