14.02.2001 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Grupa Sala
Uwagi: Wyłożyć indeks do kontroli. Każde zadanie rozwiązywać na osobnej kartce.
Góra każdej kartki musi być opisana wg wzoru zawartego w pierwszym wierszu tabelki.
Można mieć przy sobie tylko czysty papier, kalkulator i przybory do pisania / rysowania.
Po zakończeniu egzaminu składować każde zadanie na osobny stos.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalowa belka o rozpiętości L = 6m wykonana z teownika o b = h = 24cm i stałej
grubości � = 1cm podwieszona jest na pręcie o polu przekroju A1 = 1cm2 i długości L = 6m .
Przyjmując wartość siły P = 20kN działającej w środku rozpiętości wyznaczyć:
a) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych � i stycznych � ,
b) konieczną grubość a spoin łączących półkę ze środnikiem jeśli naprężenie
dopuszczalne na ścinanie dla spoin wynosi kts = 100MPa ,
c) obrót � belki na podporze nieprzesuwnej, jeżeli moduł Younga wynosi E = 200GPa ,
d) wartość graniczną obciążenia Pgr oraz odpowiadający jej wykres naprężeń normalnych
jeżeli � = 200MPa .
pl
Rys. 1.
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla podanego przekroju poprzecznego wyznaczyć:
a) wykresy naprężeń normalnych od siły ściskającej P = (-)19.2kN w punkcie (a) ,
Ą#ń#
uJx-vJxy vJ -uJxy
N
y
� (x, y) = Ax + AyĄ# ,
ó#1+ 22
A JxJ -Jxy JxJ -Jxy Ś#
y y
Ł#
b) rdzeń przekroju,
y = aix + bi , ai `" 0 i bi `" 0 y = bi `" 0 , x "(-",+") x = ci `" 0 , y "(-",+")
wierzchołek \ bok
ui (aiJ -J ) / bi A -Jxy / bi A -J / ci A
y xy y
vi (aiJxy - Jx) / bi A -J / bi A -J ci A
x xy
c) płaszczyznę wyboczenia oraz siłę krytyczną w zakresie liniowym, jeżeli E = 40GPa
L = 6m .
Rys. 2.
J.Ch. 2001 WM2_EgzZAD_01.doc
13.02.2002 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Grupa Sala
Uwagi: Wyłożyć indeks do kontroli. Każde zadanie rozwiązywać na osobnej kartce.
Góra każdej kartki musi być opisana wg wzoru zawartego w pierwszym wierszu tabelki.
Można mieć przy sobie tylko czysty papier, kalkulator i przybory do pisania / rysowania.
Po zakończeniu egzaminu odłożyć każde zadanie na osobny stos.
Zadanie 1 (25 pkt.). Nachylona belka teowa (rys. 1) b = h = 24cm , stała grubość t = 1cm , długość L = 6m ,
podwieszona jest w środku na pręcie o polu przekroju A1 = 2cm2 zaczepionym na wysokości H = 5m .
Przyjmując siłę P = 10kN działającą prostopadle do belki na jej końcu wyznaczyć:
a) (12 pkt.) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych � i stycznych � ,
b) (5 pkt.) konieczną grubość a spoin łączących półkę ze środnikiem jeśli naprężenie dopuszczalne na
ścinanie dla spoin wynosi kts = 100MPa ,
c) (4 pkt.) przemieszczenie �Ą" prostopadłe do osi belki na jej końcu, jeżeli moduł Younga
E = 200GPa ,
d) (4 pkt.) wartość graniczną obciążenia Pgr oraz odpowiadający jej wykres naprężeń normalnych jeżeli
� = 200MPa .
pl
P=10kN
A1= 2cm2
A - A
L/2=3m
t =1cm
A
H = 5m
�
spoina
h =24cm
A
L/2=3m
a
t =1cm
b =24cm
Rys. 1.
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla słupa stalowego utwierdzonego w przekroju dolnym (rys. 2) wyznaczyć:
a) (11 pkt.) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych,
b) (2 pkt.) rdzeń przekroju,
c) (4 pkt.) siłę krytyczną wyboczenia, jeżeli moduł sprężystości E = 200GPa ,
a granica proporcjonalności � = RH = 200 MPa ,
prop
d) (4 pkt.) maksymalny kąt skręcenia i maksymalne przemieszczenie poziome,
jeżeli liczba Poissona � = 1/ 3 ,
e) (4 pkt.) maksymalne naprężenia zredukowane według hipotezy HMH w przekroju ą -ą .
P
A - A
� =1cm
H
H= 2.7 kN
ŚC
L = 5m
P = 90kN
ą
(a)
ą
A A
a = 30cm
Rys. 2.
J.Ch. 2002 WM2_EgzZAD_02.doc
07.02.2003 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Grupa Sala
Uwagi: Wyłożyć indeks do kontroli. Każde zadanie rozwiązywać na osobnej kartce.
Góra każdej kartki musi być opisana wg wzoru zawartego w pierwszym wierszu tabelki.
Można mieć przy sobie tylko czysty papier, kalkulator i przybory do pisania / rysowania.
Po zakończeniu egzaminu składować każde zadanie na osobny stos.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalowa belka skrzynkowa ( E =200GPa , h = 36cm , b = 24cm , � = 1cm , zob. rys. 1)
o rozpiętości l = 12m, podparta przegubowo na lewym końcu (A) jest podwieszona w środku (1)
za pośrednictwem zawiesia (dł. lZ ) do cięgna (dł. L = 12,1 m ). Założyć, że cała konstrukcja jest
nieważka a zawiesie i cięgno niepodatne. Na swobodnym końcu belki (2) działa pionowa siła P .
a) Dla obciążenia użytkowego P =60kN wyznaczyć
wykres naprężeń normalnych � i stycznych � w
najbardziej wytężonym przekroju belki.
b) Dla P = 60kN dobrać konieczną grubość a spoin
pachwinowych łączących półkę dolną ze blachami
ścianek pionowych, jeżeli naprężenie dopuszczalne na
ścinanie dla spoin wynosi kts = 160MPa .
c) Dla P = 60kN określić długość zawiesia lZ z warunku
( v2 = 0 ) zerowego przem. pionowego końca belki (2).
d) Wyznaczyć, tylko ze względu na nośność belki, wartość
dopuszczalną siły Pdop , jeżeli �dop =200MPa .
e) Tak jak w punkcie d) wyznaczyć wartość graniczną siły
Pgr oraz odpowiadający jej wykres naprężeń
normalnych, jeżeli � = 250MPa .
pl
Rys. 1.
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla cienkościennej dwuteowej belki stalowej ( h = 24cm , b = 12cm , � = 1cm stałe,
L = 6 m ) podpartej i obciążonej ( PZ = 96kN , PY = 6,4kN ) przestrzenie jak na rys. 2,
wyznaczyć:
a) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych,
b) rdzeń przekroju,
c) siłę krytyczną wyboczenia, jeżeli moduł sprężystości E = 200GPa , a granica
proporcjonalności � = RH = 200MPa ,
prop
d) maksymalny kąt skręcenia i maksymalne przemieszczenie pionowe, jeżeli liczba Poissona
� = 1/ 4 ,
e) maksymalne naprężenia zredukowane według hipotezy HMH w półce w obszarze jej styku ze
środnikiem.
Rys. 2.
J.Ch. & W.G. 2003 WM2_EgzZAD_03.doc
17.02.2003 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Grupa Sala
Uwagi: Wyłożyć indeks do kontroli. Każde zadanie rozwiązywać na osobnej kartce.
Góra każdej kartki musi być opisana wg wzoru zawartego w pierwszym wierszu tabelki.
Można mieć przy sobie tylko czysty papier, kalkulator i przybory do pisania / rysowania.
Po zakończeniu egzaminu składować każde zadanie na osobny stos.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalowa dwuteowa belka cienkościenna ( E =200GPa , h = 36cm , b = 18cm , � = 1cm ,
rys. 1) o rozpiętości l = 3� 6 = 18m , podparta przegubowo na prawym końcu (A) jest
podwieszona w 1/ 3 rozpiętości (2) za pośrednictwem zawiesia (dł. lZ ) do cięgna
(dł. L = 18,05 m ). Założyć, że cała konstrukcja jest nieważka a zawiesie i cięgno niepodatne. Na
swobodnym końcu belki pkt. 1 i w 2/3 rozpiętości pkt. 3 działają dwie równe pionowe siły P .
a) Dla obciążenia użytkowego P =24kN wyznaczyć
wykres naprężeń normalnych � i stycznych � w
najbardziej wytężonym przekroju belki.
b) Dla P = 24kN dobrać konieczną grubość a spoin
pachwinowych łączących półki ze środnikiem.
Naprężenie dop. na ścinanie dla spoin kts = 160MPa .
c) Dla P =24kN i różnicy poziomów H =4m (zawieszenia
cięgna i wierzchu belki) określić długość zawiesia lZ , tak
aby po obciążeniu pkt. (1) na początku belki znalazł się
na tym samym poziomie co podpora (A).
d) Wyznaczyć, tylko ze względu na nośność belki, wartość
dopuszczalną siły Pdop , jeżeli �dop =200MPa .
e) Tak jak w punkcie d), wyznaczyć wartość graniczną sił
Pgr i odpowiadający im wykres naprężeń normalnych,
jeżeli � = 260MPa .
pl
Rys. 1.
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla skrzynkowej belki stalowej ze czterema sztywnymi przeponami (rys. 2, � = 1cm ,
wymiary całkowite: h = 50cm , b = 25cm , L = 3� 7 = 21 m ), podpartej (w pkt. od A do F)
i obciążonej ( PZ = 192kN , PY = 84kN ) przestrzenie jak na rys. 2, wyznaczyć:
a) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych, b) rdzeń przekroju,
c) siłę krytyczną wyboczenia od ściskania osiowego ( PZ KR ), jeżeli moduł sprężystości
E = 200GPa , a granica proporcjonalności � = RH = 210MPa ,
prop
d) maksymalny kąt skręcenia i maksymalne przemieszczenie pionowe (wsp. Poissona � =1/4 ),
e) ekstremalne naprężenia zredukowane według hipotezy HMH w lewej ściance pionowej
pod półką (ą - ą) .
Rys. 2.
J.Ch. & W.G. 2003 WM2_Egz2ZAD_03.doc
07.03.2003 Egzamin Nr 3 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę każdej z kartek. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko w otrzymanym zeszycie egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalowa belka skrzynkowa ( E =200GPa , h = 36cm , b = 24cm , � = 1cm , zob. rys. 1)
o rozpiętości l = 12m , podparta przegubowo na lewym końcu (A) jest podwieszona w środku (1) za
pośrednictwem zawiesia (dł. lZ ) do cięgna (dł. L = 12,1 m ). Założyć, że cała konstrukcja jest
nieważka a zawiesie i cięgno niepodatne. Na swobodnym końcu belki (2) działa pionowa siła P .
a) Dla obciążenia użytkowego P =60kN wyznaczyć wykres
naprężeń normalnych � i stycznych � w najbardziej
wytężonym przekroju belki.
b) Dla P = 60kN dobrać konieczną grubość a spoin
pachwinowych łączących półkę dolną ze blachami
ścianek pionowych, jeżeli naprężenie dopuszczalne na
ścinanie dla spoin wynosi kts = 160MPa .
c) Dla P = 60kN określić długość zawiesia lZ , tak aby po
obciążeniu pkt. (2) na końcu belki znalazł się na tym
samym poziomie co podpora (A).
d) Wyznaczyć, tylko ze względu na nośność belki, wartość
dopuszczalną siły Pdop , jeżeli �dop =200MPa .
e) Tak jak w punkcie d) wyznaczyć wartość graniczną siły
Pgr oraz odpowiadający jej wykres naprężeń normalnych,
jeżeli � = 250MPa .
pl
Rys. 1.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2003 Zadanie nr 1, str. 1/6 WM2_Egz3ZAD1_03.doc
07.03.2003 Egzamin Nr 3 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla cienkościennej dwuteowej belki stalowej ( h = 24cm , b = 12cm , � = 1cm stałe,
L = 6 m ) podpartej i obciążonej ( PZ = 96kN , PY = 6,4kN ) przestrzenie jak na rys. 2, wyznaczyć:
a) wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych, b) rdzeń przekroju,
c) siłę krytyczną wyboczenia, jeżeli moduł sprężystości E = 200GPa , a granica proporcjonalności
� = RH = 200MPa ,
prop
1
d) maksymalny kąt skręcenia i maksymalne przemieszczenie pionowe, jeżeli liczba Poissona � = ,
4
e) maksymalne naprężenia zredukowane według hipotezy HMH w półce w obszarze jej styku ze
środnikiem.
Rys. 2.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2003 Zadanie nr 2, str. 1/6 WM2_Egz3ZAD2_03.doc
02.02.2004 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę każdej z kartek. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko w otrzymanym zeszycie egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalową ( E =200GPa , �dop =240MPa , � = 350MPa ) cienkościenną belkę korytkową
pl
( h = 60cm , b = 48cm , �1 a"�środników= 2cm , �2 a" �półki= 4cm , zob. rys. 1) o rozpiętości L =16 m ,
zawieszono na cięgnie o strzałce f = 4 m . Stalowe cięgno (o tych samych stałych materiałowych co
belka) zaczepiono na końcach belki w środku ciężkości przekroju. Symetrycznie w rozstawie
l = 8m działają dwie siły skupione P . Wyznaczyć co następuje, w obliczeniach założyć, że cała
konstrukcja jest nieważka a cięgno niepodatne.
1) Dla obciążenia użytkowego P =150 kN określić niezbędny przekrój A cięgna.
2) Dla P =150 kN wyznaczyć wykres ekstremalnych naprężeń normalnych � .
3) Dla P = 150 kN wyznaczyć maksymalne wygięcie belki względem punktów zawieszenia.
4) Wyznaczyć, tylko ze względu na nośność belki, wartość dopuszczalną siły Pdop .
5) Wyznaczyć, tylko ze względu na nośność belki, wartość graniczną siły Pgr wykorzystując,
M N
obowiązujący dla przekrojów cienkościennych warunek + = 1.
M Ngr
gr
Rys. 1
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2004 Zadanie nr 1, str. 1/6 WM2_Egz1ZAD1_04.doc
2.02.2004 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla cienkościennej dwuteowej belki stalowej ( h = 36cm , b = 24cm , �1 a" �półek= 2cm ,
�2 a" �środnika=1cm , L = 3�l = 3� 4 m = 12 m ) swobodnie podpartej na zginanie i obustronnie
utwierdzonej na skręcanie oraz obciążonej przestrzenie dwoma siłami pionowymi PY = 100kN i
poziomą siłą ściskającą PZ = 400 kN jak na rys. 2, wyznaczyć:
1) siłę krytyczną wyboczenia sprężystego, jeżeli moduł sprężystości E = 200GPa ,
2) wykres ekstremalnych naprężeń normalnych ( �(y) ),
1
3) maksymalny kąt skręcenia, jeżeli liczba Poissona � = ,
4
4) naprężenia styczne � w:
max max
4.1) skręcaniu swobodnym  wartości maksymalne w półce ( �półka ) i środniku �środnik ,
4.2) ścinaniu przy zginaniu  wykres naprężeń ekstremalnych �(s) ,
6) naprężenia zredukowane według hipotezy HMH w przekroju ą - ą górnej części środnika.
Rys. 2
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2004 Zadanie nr 2, str. 1/6 WM2_Egz1ZAD2_04.doc
19.02.2004 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę każdej z kartek. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko w otrzymanym zeszycie egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalową ( E =200GPa , �dop =240MPa , � = 350MPa ) cienkościenną belkę korytkową
pl
( h = 60cm , b = 48cm , �1 a"�środników= 2cm , �2 a" �półki= 4cm , zob. rys. 1) o rozpiętości L =16 m ,
zawieszono na symetrycznym układzie podtrzymującym złożonym ze sztywnej tarczy B = 4m ,
cięgien H = 3m i zawiesia. Cięgna łączące tarczę z belką zaczepiono na końcach belki w środku
ciężkości przekroju. Na belkę symetrycznie w rozstawie l = 8m działają dwie siły skupione P .
W obliczeniach założyć, że cała konstrukcja jest nieważka a układ podtrzymujący niepodatny.
Wyznaczyć:
1) minimalny przekrój A zawiesia dla obciążenia użytkowego P =150 kN i �dop =300MPa ,
2) wykres ekstremalnych naprężeń normalnych � w belce przy P =150 kN ,
3) niezbędną grubość a spoin pachwinowych łączących półkę ze środnikami (dla P = 150 kN i
naprężeń dopuszczalnych na ścinanie dla spoin kts = 160MPa ),
4) maksymalne wygięcie belki względem punktów zawieszenia dla P = 150 kN ,
5) wartość graniczną obciążenia Pgr , tylko ze względu na nośność belki, wykorzystując
M N
obowiązujący dla przekrojów cienkościennych warunek + = 1.
M Ngr
gr
Rys. 1
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2004 Zadanie nr 1, str. 1/6 WM2_Egz2ZAD1_04.doc
19.02.2004 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WIL II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Belka ( L = 3�l = 3� 4 m = 12 m ) stalowa ( E = 200GPa , � = 0.25 ) o cienkościennym
przekroju skrzynkowym ( h = 24cm , b = 48cm , �1 a" �półek= 2cm , �2 a" �ścianki=1cm ) jest podparta w
sposób zróżnicowany w płaszczyznach zginania i obustronnie utwierdzona na skręcanie (rys. 2).
Belka obciążona jest przestrzennie dwoma siłami pionowymi PY = 140kN i poziomą siłą ściskającą
PZ = 420 kN jak na rys. 2. Wyznaczyć:
1) siły krytyczne wyboczenia sprężystego w obu płaszczyznach wyboczenia X - Z i Y - Z ,
2) wykres ekstremalnych naprężeń normalnych ( �(Y ) ),
3) rdzeń przekroju,
4) wykres kąta skręcenia belki,
max max
5) maksymalne naprężenia styczne w półce �półka i środniku �środnik w skręcaniu swobodnym.
Rys. 2
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. 2004 Zadanie nr 2, str. 1/6 WM2_Egz2ZAD2_04.doc
31.01.2005 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (30 pkt.). Stalową ( E = 200GPa , � = 280MPa ) grubościenną belkę dwuteową ( h = 24cm ,
pl
b = 12cm , �1 = 2cm , �2 = 4cm ), o rozpiętości L = 3� a = 3� 2 m = 6 m , podwieszono na wysokości
H =1.5m na ukośnym cięgnie (rys. 1). Stalowe cięgno ( E = 200GPa , �dop,c = 240MPa ,
� ,c = 380MPa ) o przekroju A zaczepiono na końcach belki w środku ciężkości przekroju.
pl
Symetrycznie w rozstawie a = 2 m działają dwie siły skupione P . W obliczeniach założyć, że cała
konstrukcja jest nieważka, a skrócenie belki pomijalnie małe. Dla obciążenia użytkowego
P = 60 kN obliczyć:
1) niezbędny przekrój A cięgna,
2) wyznaczyć wykres ekstremalnych naprężeń normalnych � ,
3) wyznaczyć wykres ekstremalnych naprężeń stycznych � ,
spoiny
4) zaprojektować niezbędną wysokość a spoiny pachwinowej, przyjmując kta" �dop = 60 MPa ,
5) naprężenia zredukowane wg hipotezy HMH w przecięciu � - � dolnej części środnika
i przekroju wzdłuż belki położonym, tuż na zewnątrz za miejscem działania sił obciążających;
przyjmując do dalszych obliczeń przekrój cięgna równy A = 5cm2
6) wyznaczyć przemieszczenie pionowe układu w środku belki (punkt C),
7) wyznaczyć wartość graniczną siły Pgr całego układu, dla uproszczenia obliczeń w belce
| M | | N |
przyjąć warunek + = 1.
M Ngr
gr
Rys. 1
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2005 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD1_05.doc
31.01.2005 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Dla cienkościennego stalowego wspornika o przekroju typu L ( E = 200GPa , h = 24cm ,
b =12cm , � =1cm , l = 3 m ) obciążonego przestrzenie siłą pionową P = 90 kN i poziomą siłą
skręcającą H = 2,5 kN jak na rys. 2, wyznaczyć:
y = aix + bi ,
y = bi `" 0 , x = ci `" 0 ,
bok
wierzchołek
ai `" 0 , bi `" 0 x " (-", +") y " (-", +")
(aiJ -Jxy ) / bi A -Jxy / bi A -J / ci A
ui
y y
(aiJxy - Jx ) / bi A -Jxy ci A
vi -Jx / bi A
1) rdzeń przekroju,
2) wykresy naprężeń normalnych � od siły ściskającej P w punkcie (A)
leżącego na przecięciu osi ścianek profilu L
Ą# ń#
uJx-vJxy vJ -uJxy
N
y
� (x, y) = Ax + AyĄ# ,
ó#1+ 22
A JxJy-Jxy JxJ -Jxy Ą#
ó#
y
Ł# Ś#
3) wskazać położenie środka skręcania (zginania),
4) maksymalny kąt skręcenia, jeżeli liczba Poissona � = 0.25 ,
5) naprężenia styczne � od skręcania (traktowanego jak swobodne)
 wartości maksymalną ( �max ),
6) główne centralne momenty bezwładności przekroju poprzecznego oraz
odpowiadające im kierunki główne,
sprawdzić przy pomocy koła Mohra,
7) zakładając, że siła pionowa poprzez głowicę, działa w osi pręta, wskazać
płaszczyznę wyboczenia oraz obliczyć siłę krytyczną w zakresie
liniowym.
Rys. 2.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. / M.S. 2005 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD2_04.doc
14.02.2005 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.). Stalową cienkościenną belkę skrzynkową z rys. 1, zaczepiono w punktach (B) i (C) na
prętach (wahaczach) o module sprężystości E =160GPa i przekroju A =10cm2 . Skrzynkę w
przekrojach (A), (B), (1), (C) i (1) wzmocniono niepodatnymi przeponami. Wahacze (pręty)
wizualizujące podporę (A) są niepodatne ( EA = " ).
Rys. 1
W fazie pierwszej obliczając reakcje dla uproszczenia założyć, że w stosunku do sztywności wahaczy belka
jest niepodatna (nieskończenie sztywna), na tej podstawie:
1) obliczyć reakcje, wykonać wykresy momentów zginających M , sił tnących T i sił normalnych N ,
2) określić dopuszczalne obciążenie reprezentowane wartością siły P uwzględniając różną wytrzymałość
rozciąganie sciskanie
wahaczy (prętów) na rozciąganie Kra" �dop =60 MPa i na ściskanie Kca" �dop =160 MPa oraz
ugięcie dopuszczalne belki fdop= 0, 4cm .
W fazie drugiej przyjąć P = 30kN wykorzystując wyniki pkt. 1, po odrzuceniu założenia o niepodatności
belki (skrzynki), wykonać następujące polecenia:
3) sporządzić wykres ekstremalnych naprężeń normalnych � w belce,
max
4) wykonać wykres momentów skręcających MS (Z) i obliczyć maksymalne naprężenia styczne �S
od skręcania,
5) obliczyć naprężenia zredukowane wg hipotezy HMH w przecięciu � - � dolnej części lewej ścianki
skrzynki w przekroju po prawej stronie przepony (C) uwzględniając naprężenia od zginania � ,
od ścinania �T i skręcania �S ,
| M | | N |
6) wyznaczyć wartość graniczną siły Pgr całego układu, w belce wykorzystać warunek + = 1,
M Ngr
gr
dla uproszczenia obliczeń uwzględnić tylko stany od M i N wywołujące naprężenia normalne � , do
obliczeń przyjąć � =350MPa .
pl
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2005 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD1_05.doc
14.02.2005 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Rozpatrzyć dwa warianty dwuteowej belki grubościennej o wymiarach jak na rys. 2.
Rys. 2.
Wariant A. Przekrój jednorodny o stałym module sprężystości E =140GPa :
1) przyjąć P = 50 kN , sporządzić wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych � i stycznych � ;
2) przyjąć P = 50 kN , dobrać rozstaw e odcinkowych spoin pachwinowych, gdy dana są
spoiny
a = 0, 4 cm , l1=15cm , kta" �dop =90 MPa ;
3) określić dopuszczalną wartość siły P a" Pdop,A , gdy �dop =180 MPa ;
4) zakładając, że jedynym dociążeniem jest siła ściskająca działająca w osi pręta ( -Z ), obliczyć
siłę krytyczną PKR w zakresie liniowym oraz określić płaszczyznę wyboczenia pręta.
Wariant B. Przekrój zespolony (hybrydowy) z dwóch materiałów o różnych modułach sprężystości, środnik
ES =140GPa , półki EP = 210GPa i jednakowych naprężeniach dopuszczalnych �dop =180 MPa :
5) zbadać jak zmienia się dopuszczalna wartość siły P a" Pdop,B , obliczyć n a" Pdop,B / Pdop,A ;
6) zbadać jak zmienia się ugięcie końca wspornika m a" �1,B / �1,A .
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. / M.S. 2005 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD2_05.doc
06.02.2006 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.). Rozważyć cienkościenną belkę, słup
(rys. 1) w dwóch wariantach, jako skrzynkę
(A) o zmiennej grubości ścianek i jako
dwuteownik (B) o stałej grubości.
1) Rozpatrując tylko skręcanie swobodne obu wariantów
max | �(B) |
przekroju (A) i (B), obliczyć stosunek n� =
max | �(A) |
maksymalnych naprężeń stycznych z obu przekrojów
obciążonych jednakowym momentem skręcającym.
2) Przy obciążeniu siłami PX , PY (C) obliczyć stosunki
| u(B) | | v(B) |
ugięć nu = , nv = końca wspornika w obu
| u(A) | | v(A) |
wariantach przekroju (A) i (B).
3) Dla obu wariantów słupa o przekroju (A) i (B)
obliczyć siłę krytyczną wyboczenia giętnego
E=200GPa .
4) Wyznaczyć rdzeń przekroju wariantów (A) i (B).
Rys. 1
5) Dla obu wariantów przekroju (A) i (B) uwzględniając wynik pt. 5 podać (opisać, naszkicować, bez obliczeń)
charakterystyczną cechę wykresu naprężeń od ściskania mimośrodowego siłą (-)PZ działającą w punkcie
(X ;Yp ) = (5;0) [cm] .
p
6) W przypadku obciążenia siłą PY = 60kN dla wariantu przekroju (B) obliczyć potrzebną grubość spoin
spoiny
pachwinowych a łączących środnik z pasami belki jeśli K� a" �dop =30 MPa .
7) Stosując metodę obciążeń dopuszczalnych dla wariantu przekroju (B), belki o schemacie (C) tylko zginanej
ukośnie obciążeniem PX = 5kN , PY = 40kN zaprojektować stałą grubość � blach dwuteownika ze względu
na naprężenia normalne � , jeśli �dop= 200 MPa .
8) Dla zaprojektowanej w pkt. 8 grubości � i obciążenia obliczyć maksymalne naprężenia zredukowane wg
hipotezy HMH w środniku w miejscu jego połączenia z półką, traktując je jako cienkościenne (w osiach).
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2006 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD1_06.doc
06.02.2006 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (27 pkt.) Rozpatrzyć dwa warianty teowej belki grubościennej o wymiarach jak na rys. 2.
Rys. 2.
Etap wyjściowy. Przekrój jednorodny, środnik (1) i półka (2), E(1) = E(2) a" E =10GPa , przyjmując q =1kN /mb :
a) obliczyć i sporządzić wykres momentów zginających;
b) narysować wykres ekstremalnych naprężeń normalnych;
c) obliczyć i sporządzić wykres sił tnących;
d) narysować wykres ekstremalnych naprężeń stycznych;
e) obliczyć ugięcie �1 w punkcie (1) i naszkicować linię ugięcia.
Wariant A. Przekrój jednorodny, środnik (1) i półka (2) jednakowe E(1) = E(2) a" E =10GPa . Stosując metodę
obciążeń dopuszczalnych obliczyć dopuszczalną wartość obciążenia qdop [ kN /mb] ze względu na:
Ściskanie
1) dopuszczalne naprężenia ściskające Kc a" �dop =15 MPa ;
Rozciąganie
2) dopuszczalne naprężenia rozciągające Kr a" �dop =9 MPa ;
Ścinanie
3) dopuszczalne naprężenia styczne Kt a" �dop = 0,5MPa ;
kl
4) dopuszczalne naprężenia styczne w połączeniu klejowym Ktspoiny a" �doeju= 0, 4 MPa , gdzie
p
powierzchnia klejenia obejmuje całą szerokość środnika b(1)= 6cm na całej długości belki.
5) dopuszczalne ugięcie w punkcie (1) belki �1 d" fdop a" L /150 ;
Stosując metodę obciążeń granicznych obliczyć wartość graniczną qgr [ kN /mb] ze względu na:
6) jednakową na rozciąganie i ściskanie granicę plastyczności �0 a" � = 20 MPa ;
plast
7) sporządzić wykres naprężeń �gr w stanie granicznym.
Wariant B. Przekrój zespolony (hybrydowy) z dwóch materiałów o różnych modułach sprężystości, środnik
E(1) =10GPa , półka E(2) = 60GPa :
8) przyjąć q = 1kN /mb sporządzić wykres ekstremalnych naprężeń � .
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. / M.S. 2006 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD2_06.doc
13.02.2006 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 pkt.)
1) Dla przekroju cienkościennego kątownika z rys. 1 A obliczyć główne
centralne momenty bezwładności, sprawdzić stosując koło Mohra.
2) wskazać położenie środka skręcania (zginania).
3) Przyjmując, że w punkcie (1) działa siła ściskająca PZ =72kN ,
wyznaczyć oś zerową i sporządzić wykres naprężeń.
Ą#ń#
uJx-vJxy vJ -uJxy
N
y
�(x, y) = Ax + AyĄ#
ó#1+ 22
A JxJ -Jxy JxJy-Jxy Ą#
ó#Ś# Rys. 1 A
y
Ł#
4) Wyznaczyć i narysować rdzeń przekroju.
bok
y = aix + bi , ai `" 0 , bi `" 0 y = bi `" 0 , x "(-",+") x = ci `" 0 , y "(-",+")
wierzchołek
(aJy -Jxy ) / bi A -Jxy / bi A -Jy / ci A
ui
i
(aiJxy - Jx) / bi A -Jxy ci A
vi -Jx / bi A
5) Stosując metodę obciążeń dopuszczalnych obliczyć dopuszczalną
wartość siły ściskającej PZdop działającej w punkcie (1) z rys. 1 A, jeśli
założono, że �dop= �prop= 200 MPa .
6) Dla słupa z rys. 1 B o przekroju z rys. 1 A zakładając, że siła pionowa
poprzez głowicę, działa w osi pręta, wskazać na rysunku przekroju
(1 A) ślad płaszczyzny wyboczenia oraz obliczyć siłę krytyczną
wyboczenia giętnego E=200GPa .
7) Sprawdzić warunek zakresu wyboczenia sprężystego jeśli E=200GPa
i � = 200 MPa .
prop
Rys. 1 B
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2006 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD1_06.doc
13.02.2006 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Zadanie 2 (25 pkt.) Etap wyjściowy (rys. 2 A):
a) sporządzić wykres momentów zginających,
b) sporządzić wykres sił tnących,
c) obliczyć ugięcie � i naszkicować linię ugięcia.
Rys. 2 A
Wariant A. Dla belki o cienkościennym przekroju ceowym ze stałą grubością
ścianek t z rys. 2 B oraz o schemacie z rys. 2 A i danych L = 6m ,
( a = 2m ), P = 10 kN wyznaczyć:
1) współrzędną e położenia środka skręcania (zginania) ceownika;
zakładając dalej, że linia działania obciążenia przechodzi przez środek
skręcania (zginania):
2) obliczyć i sporządzić wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych,
3) obliczyć i sporządzić wykresy ekstremalnych naprężeń stycznych,
4) obliczyć ekstremalne naprężenia zredukowane wg hipotezy HMH w
cięciu ą - ą środnika w miejscu jego połączenia z półką, traktując je jako
Rys. 2 B
cienkościenne (w osiach).
Wariant B. Przekrój belki przeprojektowano spawając dwa cewowniki z
wariantu A w przekrój kwadratowy skrzynkowy pokazany na
rys.2 C:
5) analizując rysunki 2B i 2C, podać i uzasadnić bez obliczeń, ilokrotnie
spadną naprężenia i ugięcia w wariancie B w stosunku do wariantu A;
Stosując metodę obciążeń dopuszczalnych obliczyć dopuszczalną wartość
obciążenia Pdop [ kN] ze względu na:
6) dopuszczalne ugięcie � (pod siłą) belki � d" fdop a" L /150 , E=200GPa ,
Rys. 2 C
7) dopuszczalne naprężenia normalne Kr a" �dop =340 MPa ,
Ścinanie
8) dopuszczalne naprężenia styczne Kt a" �dop =35 MPa ,
9) pełną nośność spoiny odcinkowej (wg rys. 2 D) o grubości
równej grubości łączonych elementów, jeśli dopuszczalne
spoiny
naprężenia styczne w spoinie wynoszą Ktspoiny a" �dop = 20 MPa ,
Rys. 2 D
Stosując metodę obciążeń granicznych obliczyć wartość graniczną Pgr [ kN] ze względu na:
10) jednakową na rozciąganie i ściskanie granicę plastyczności �0 a" � =340 MPa ,
plast
11) sporządzić wykres naprężeń normalnych �gr w stanie granicznym.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G. / M.S. 2006 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD2_06.doc
02.02.2007 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 punktów)
Cienkościenny pręt przestrzenny, wykonany z materiału o module sprężystości E = 200GPa obciążony jest
siłami P1 oraz P2, jak na Rys.1.
1) Przyjmując P1 =100kN , P2 = 5kN wyznaczyć:
a) ekstremalne naprężenia normalne w pręcie,
b) maksymalny kąt skręcenia przekroju (tu i dalej skręcanie rozpatrywać jako swobodne),
c) maksymalne przemieszczenie poziome w punkcie 1,
d) maksymalne naprężenia zredukowane wg H-M-H w środniku pod półką w miejscu utwierdzenia
pręta (przekrój ą -ą ).
2) Dla cienkościennego przestrzennego słupa z Rys.1 wyznaczyć:
a) siłę krytyczną wyboczenia giętnego
b) sprawdzić warunek wyboczenia sprężystego dla � = 200MPa
pr
3) Założyć P1 = 0 oraz przyjąć, że siła P2 działa w osi symetrii przekroju.
Wyznaczyć graniczną wartość siły P2 gr , gdy � = 260MPa .
pl
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2007 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD1_07.doc
02.02.2007 Egzamin Nr 1 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 2 (25 punktów)
Dwuteowa belka zespolona o modułach E1 = 50GPa i E2 = 150GPa podwieszona jest na niepodatnym układzie
cięgno-zawiesie. Rozstaw podpór l = 10m , a długość cięgna L =10.4m , Odstęp w pionie miedzy podporami
cięgna i belki wynosi l1 = 4m . Na belkę działa siła P = 20kN .
a) Wyznaczyć reakcję poziomą H w zakotwieniu cięgna.
b) Wyznaczyć długość zawiesia l2 tak, aby podpory belki były na jednym poziomie.
c) Wyznaczyć wykres maksymalnych naprężeń normalnych w przekroju zespolonym belki.
d) Zaprojektować rozstaw łączników e w belce zespolonej, wiedząc, że nośność pojedynczego łącznika
wynosi N1 = 10kN ; przyjąć, że rozstaw e jest jednakowy dla półki górnej i dolnej.
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2007 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz1ZAD2_07.doc
16.02.2007 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 1 (25 punktów)
Dany jest sztywno-wiotki układ, złożony z belki o przekroju cienkościennym i cięgna, jak na Rys.1,
o jednakowym module sprężystości E = 210GPa .
1) Przyjmując P = 50 kN:
a) sporządzić wykresy ekstremalnych naprężeń normalnych i stycznych w belce,
b) dobrać jednakową dla pasów: górnego i dolnego grubość spoiny pachwinowej o dopuszczalnych
naprężeniach stycznych (wytrzymałości obliczeniowej na ścinanie) Kt,sp = 40 MPa,
c) obliczyć przemieszczenie pionowe punktu 1,
d) obliczyć naprężenie zredukowane wg hipotezy H-M-H w przekroju ą -ą środnika nad dolną półką
(w obliczeniach pominąć spoinę).
2) Obliczyć graniczną wartość obciążenia Pgr całego układu, gdy dane jest � = 250MPa .
pl
Rys.1
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2007 Zadanie nr 1, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD1_07.doc
16.02.2007 Egzamin Nr 2 z Wytrzymałości Materiałów, WILiŚ II, sem. 3 Czas: 150 min.
Nazwisko Imię Podpis Nr albumu Grupa Sala
Uwaga. Wypełnić górę w obu formularzach. Wyłożyć indeks do kontroli. Można mieć przy sobie tylko kalkulator i przybory
do pisania/rysowania. Rozwiązania (także brudnopis) zmieścić tylko na otrzymanym formularzu egzaminacyjnym.
Zadanie 2 (25 punktów)
Dany jest słup o przekroju cienkościennym jak na rys. 2. Dane jest E = 200 GPa, � = 0.25.
W poleceniach A)  C) przyjąć P1 = 100kN , P2 = 5kN .
A) Określić potrzebną grubość � ścianki przekroju cienkościennego słupa (Rys.2) z uwagi na
dopuszczalne naprężenia normalne �dop = 250 MPa.
Do dalszych obliczeń przyjąć � = 1 cm.
B) Wyznaczyć ekstremalne naprężenia styczne (ścinanie i skręcanie). Sprawdzić, czy spełniony jest
warunek �max ż �dop = 20 MPa.
C) Obliczyć całkowite przemieszczenie poziome p. 1.
D) Przyjmując P2 = 0 obliczyć siłę krytyczną wyboczenia giętnego pręta. Sprawdzić warunek wyboczenia
sprężystego, mając dane �pr = 250 MPa.
Rys.2
____________________________________________________________________________________________________________________________________
J.Ch. & W.G / M.S.. 2007 Zadanie nr 2, str. 1/1 WM2_Egz2ZAD2_07.doc