Analiza matematyczna 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
A7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Rozwiązać równanie
cos 5x = sin 3x + cos x .
2. Obliczyć granicę
lim ( 9n2 + 5n - 3 - 9n2 - 2n + 4 ) .
n "
3. Wykorzystując znane granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych
obliczyć granicę
Odpowiedzi do zestawu A7
4Å"3x - 3Å"4x
lim
2Å"5x - 5Å"2x .
x 1 kĄ Ą 7Ą
1. x = lub x = - + kĄ lub + kĄ, gdzie k " Z;
3 12 12
7
4. Znalez
ć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
2. granica ciągu jest równa ;
6
6 3
3. granica funkcji jest równa log5/2 4 ;
( 2x2 + 4x - 7 ) ( x + 5 )
5
f ( x ) = .
4. asymptota pionowa obustronna x = 5 oraz ukośna y = -2x - 14
25 - x2
w Ä…" .
Analiza matematyczna 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
B7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Naszkicować wykres funkcji f g h, jeżeli
x
f ( x ) = arcsin x, g ( x ) = E ( x ) , h ( x ) = 2 .
2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i w oparciu o nie wyznaczyć
granicÄ™ przy n " ciÄ…gu
3n
cn = 32n + 34n + 36n .
Odpowiedzi do zestawu B7
3. Wykorzystując granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych
obliczyć granicę
Ä„ Ä„
2x - 8
1. Funkcja f g h przyjmuje wartości - 2 , 0, na przedziałach
2
lim .
x - 3
x 3
odpowiednio [ -2, 0 ), [ 0, 2 ), [ 2, 4 );
2. granica ciÄ…gu wynosi 9;
4. Znalez
ć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
3. granica funkcji jest równa 8 ln 2;
x2 - 4 4. asymptota pionowa obustronna x = 3, pozioma y = -1 w -"
f ( x ) = .
x - 3 oraz pozioma y = 1 w " .
Analiza matematyczna 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
C7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Podać dziedzinę i zbiór wartości funkcji f g h, jeżeli
x
f ( x ) = 4 - x2 , g ( x ) = E ( x ) , h ( x ) = .
3
2. W oparciu o definicję granicy właściwej ciągu uzasadnić, że
2 + n
1
lim
= - 2 .
n "
1 - 4n
Odpowiedzi do zestawu C7
3. KorzystajÄ…c z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciÄ…gu
obliczyć granicę
1. Dziedzina [ -6, 9 ), zbiór wartości { 0, 3 , 2 } ;
2n + 5 6n + 7
2. dla ustalonego µ > 0 za wskaz
nik n0 " N w definicji granicy ciÄ…gu
lim [ ( )n ( )n ].
5 1
n " 6n + 6 2n + 6
można przyjąć część caÅ‚kowitÄ… z liczby 1 + ( 4µ + 2 )2 ;
1
4. Znalez
ć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
3. granica ciągu jest równa ;
3
e
1
x
4. asymptota pionowa prawostronna x = 2, pozioma y = 3 w -"
x - 2
f ( x ) = 3 .
oraz pozioma y = 3 w ".
Analiza matematyczna 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
D7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Rozwiązać równanie
7
sin4x + cos4x = 8 .
2. WykorzystujÄ…c twierdzenie o trzech ciÄ…gach znalez
ć granicę przy
n " ciÄ…gu
1 1 1
n
an = + + ... + .
2n + 3 2n + 5 2n + 2n - 3
Odpowiedzi do zestawu D7
3. Obliczyć granicę
1-3x
Ä„ Ä„ 5Ä„ Ä„
4x2 - 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1. x = 12 + k 2 lub x = 12 + k 2 , gdzie k " Z ;
lim .
x "
( )2
2x + 1
ðÅ‚ ûÅ‚
2. granica ciągu jest równa 1;
3. granica funkcji jest równa e3 ;
4. Znalez
ć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
4. asymptota pionowa obustronna x = 3, ukośna y = 5x + 16 - 2Ą
5x2 + x w -" oraz ukośna y = 5x + 16 + 2Ą w ".
f ( x ) =
+ 4 arctg x .
+
+
+
x - 3
Analiza matematyczna 1
I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
E7
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
x
1. Obliczyć sin x, jeżeli tg 2 = 9.
2. Uzasadnić, że ciąg
3
n
an = n2 Å" ( 5 )
jest od pewnego miejsca monotoniczny i zbadać ograniczoność tego
ciÄ…gu.
3. Wykorzystując twierdzenie o trzech funkcjach obliczyć granicę
Odpowiedzi do zestawu E7
E ( 4x+3 )
lim .
x "
E ( 22x - 1 )
9
1. sin x = 41 ;
4. Znalez
ć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
2. ciÄ…g jest malejÄ…cy dla n e" 4, jest ograniczony, bo 0 < an d" a4 ;
3. granica funkcji jest równa 64;
f ( x ) = x2 + 4x - 5 .
4. dwie asymptoty ukośne: y = -x - 2 w -" oraz y = x + 2 w " .