1 Wprowadzenie W geodezji satelitarnej funkcjonują dwa układy współrzędnych związane z ruchem obrotowym Ziemi Earth Centered Earth Fixed (ECEF), oraz układ ekwinokcjalny. Ze względu na prostą formę matematyczną a także niewielkie ilości danych, orbity satelitów są wysyłane w postaci elementów orbity keplerowskiej w układzie ekwinokcjalnym. Orbity typu broadcast zostają zapisane w pliku RINEX n, w rozdzielczości dwu godzinnej. Dla wyznaczenia współrzędnych satelitów w układzie ECEF na dany moment należy dokonać transformacji. Poniższy przykład ilustruje schemat przeliczeń między tymi dwoma układami współrzędnych. 2 Układy 2.1 Układ ekwinokcjalny Współrzędne satelitów w układzie ekwinokcjalnym, składają się z sześciu podstawowych parametrów or- bity keplerowskiej: &! rektanscenzji węzła wstępującego, i inklinacji, argumentu perygeum, f anomali prawdziwej, a dłuższej półosi orbity, e ekscentryczności, W tym układzie oś X skierowana jest w stronę punktu równonocy, oś Z jest zgodna z osią obrotu Ziemi, za to oś Y jest prostopadła do dwóch poprzednich tworząc układ prawoskrętny rys. 2a. Środek układu znajduje się w środku mas Ziemi. Istotnymi punktami związanymi z obritą są: węzeł wstępujący - jedno z miejsc przecięcia się płaszczyzny orbity z płaszczyzną równika, to w którym satelita porusza się z południa na północ, oraz perygeum P czyli punkt w którym satelita znajduje się najbliżej Ziemi. 2.2 Układ współrzędnych w płaszczyznie orbity Zgodnie z rys. 1 układ współrzędnych w płaszczyznie orbity składa się z osi skierowanej w stronę perygeum, z osi skierowanej w stronę węzła zstępującego (przeciwnie do węzła wstępującego) oraz z osi ś prostopadłej do płaszczyzny orbity. Środek układu znajduje się w centrum mas Ziemi. 2.3 Układ związany z ruchem obrotowym Ziemi ECEF W tym układzie oś X jest związana z południkiem osiowym Greenwich który obraca się wokół osi Z układu (osi obrotu Ziemi). Natomiast oś Y układu jest prostopadła do dwóch poprzednich i tworzy z nimi układ prawoskrętny rys. 2a. 3 Współrzędne satelity w płaszczyznie orbity Zgodnie z rys. 1 współrzędne satelity w płaszczyznie orbity ( ś) uzyskujemy wiążąc anomalie prawdziwą z anomalią ekscentryczną. Jak wynika z rys 1 = r cos(f) = a cos(E) - a e = a (cos(E) - e) (1)
b = r sin(f) = sin(E) = b sin(E) = a 1 - e2 sin(E) (2) a ś = 0; (3) Anomalię mimośrodową E otrzymamy, używając równania Keplera (rozwiązanie iteracyjne): E = + e sin(E) (4) gdzie to anomalia średnia czyli kąt jaki średnio w czasie t - t0 zakreśli promień wodzący satelity.Anomalia średnia uzależniona jest od średniej prędkości kątowej satelity:
T n = = GM/a3 (5) 2 Ą 1
(-ae,a) S (-ae,b)
S r
f E
(-ae,0) (0,0) (a,0) Rysunek 1: Układ współrzędnych w płaszczyznie orbity, S - położenie satelity na orbicie (t) = n (t - t0) (6) 4 Przeliczenia 4.1 Keplerowskie parametry ruchu satelitów Aby wykonać transformację X, Y , Z na , , ś należy wykonać trzy obroty: wokół osi Z o kąt rektanscenzji węzła wstępującego &! rys. 2a przy pomocy macierzy rotacji Rz(&!) w ten sposób przechodzimy do układu przejściowego x2 , y2 , z2 , rys. 2b kolejno przy pomocy macierzy rotacji Rx(i) o kąt inklinacji i, przechodząc do układu x , y , z , a następnie wykonując obrót przy pomocy macierzy rotacji Rz(), wokół osi z rys. 2c. Na rys. 2, zaznaczono kolejne położenia transformowanego układu. z z z z z y z
y y
P P P i i i
0 0 0 y y y
i i x x x x x x Rysunek 2: Zestawienie kolejnych obrotów pomiędzy układami , i, &! 2 a k a a i k k n i i n w n ó w r w ó t ó r r u t z t u r u z r z r y t i y l y t i t e l i t l e a t e s t a a s y s t i y t y b i t r i b o r b r t o o u t z t u r u z r z r W notacji macierzowej zapiszemy: ł łł ł łł Xs(tj) r cos(f) ł ł ł ł Ys(tj) = Rz(-&!) Rx(-i) Rz(-) r sin(f) (7) Zs(tj) 0 gdzie, macierze rotacji Rz, Rx, dla dowolnego kąta K to ł łł 1 0 0 ł ł Rx = 0 cos(K) sin(K) (8) 0 -sin(K) cos(K) ł łł cos(K) sin(K) 0 ł ł Rz = -sin(K) cos(K) 0 (9) 0 0 1 Znaki - w (7) związane są z przejściem odwrotnym (tzn. , , ś na X, Y , Z). 4.2 Poprawki do keplerowskich parametrów orbity Ponieważ rzeczywisty ruch satelity odbiega od teorii keplerowskiej, w depeszy nawigacyjnej występują także poprawki do sześciu podstawowych parametrów orbity. Poprawki te należy uwzględnić przed wstawieniem ostatecznych parametrów do równania (7). Efemerydy satelitów zostały wyznaczone na pewien konkretny moment (o pełnej godzinie z interwałem co dwie godziny), z tego względu należy najpierw obliczyć ile czasu minęło od czasu efemeryd (t - toe) tj = t - toe (10) anomalia średnia w czasie tj