Wykład 4
Podstawowe wiadomości z teorii błędów
Prof. dr hab. Adam Ayszkowicz
Katedra Geodezji Szczegółowej
UWM w Olsztynie
adaml@uwm.edu.pl
Heweliusza 12, pokój 04
Treść Wykładu
" Obserwacje geodezyjne
" yródła błędów
" Typy obserwacji
" Typy błędów
" Właściwości błędów przypadkowych
" Krzywa Gaussa
" Niezawodność pomiarów geodezyjnych
" Miary precyzji
" Podsumowanie
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
2
Co pomiar to inny wynik !
" 65.44, 65.49, 65.52, 65.47
metrów
" Pytania:
Dlaczego różne wyniki ?
Co jest końcowym wynikiem ?
Jaka jest dokładność pomiaru?
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
3
yRÓDAA
BADÓW
Naturalne:
Instrumentalne:
Osobiste:
z powodu
z powodu
- ograniczenia
zmian warunków
niedoskonałości
obserwatora
środowiska w
konstrukcji lub
- nieuwaga
jakich pomiar jest
niedoskonałości
obserwatora
wykonywany
rektyfikacji
instrumentów
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
4
SOURCES
OF ERRORS
Natural:
Instrumental:
- Due to changing
Personal:
- Due to imperfect
environmental
- limitaion of observer
construction or
conditions in which
(the ability to repeat
incomplete
the measurements
the same
are made
adjustment
measurement)
e.g. Temperature variation
of the instrument
- carelessness of causes
- e.g. Incorrect
expansion/contraction
the observer
graduation
of the chain
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
5
Typy obserwacji
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
6
Type of observations
Types of observations
Direct Indirect
Under different
Under the same
conditions
conditions
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
7
Obserwacje bezpośrednie
" Przykładem pomiaru
bezpośredniego jest
kilkakrotny pomiar taśmą
stalową odległości między
pewnymi punktami A i B
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
8
Obserwacje bezpośrednie
" Pomiar kąta
poziomego
" praktyka z geodezji,
lato 2004
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
9
Obserwacje pośrednie
" Celem tego pomiaru jest
wyznaczenie odległości
między punktami A i B oraz
B
C i B. Punkt B jest
a
C
niedostępny, gdyż znajduje
ł
się za rzeką.
" W tym celu należy pomierzyć
c
odległość b zwaną bazą oraz
trzy kąty w trójkącie. ą
" Z twierdzenia sinusów
A
można obliczyć odległości a i
c.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
10
a
z
a
b
-
b
Klasyfikacja błędów
" Błędy grube
" Błędy systematyczne
" Błędy przypadkowe
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
11
Omyłki lub błędy grube
" Charakterystyka: ich wielkość jest stosunkowo duża, mała lub rożna
w porównaniu do mierzonej wielkości (obserwacja odstająca).
" yródło błędu: personalne (brak uwagi obserwatora).
" Skutek: obserwacje niejednorodne.
" Zalecane postępowanie: obserwacja taka musi być wykryta i
usunięta z serii pomiarowej.
" Przykład: Licząc przy pomiarze odległości ilość przyłożeń taśmy,
zapisano w dzienniku pomiarowym o jedno przyłożenie za mało lub za
dużo popełniając przez to błąd 20 m.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
12
Błędy systematyczne
" Charakterystyka: występują w deterministyczny sposób, jeśli znany to
jest możliwość ich wyeliminowania na drodze rachunkowej.
" yródła błędów: z powodu instrumentów, środowiska, człowieka bądz ich
kombinacji.
" Skutek: przesuniecie wszystkich obserwacji, które jeśli jest stałe to jego
wielkość i znak pozostają niezmienne w czasie pomiaru.
" Zalecane postępowanie: koniecznie powinny być zidentyfikowane i
wyeliminowane z wyniku pomiaru.
" Jako przykład tego rodzaju błędu może posłużyć błąd wywołany
wydłużeniem lub skróceniem się taśmy mierniczej pod wpływem
temperatury.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
13
Graficzna ilustracja błędów grubych i
systematycznych
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
14
Błędy przypadkowe
" Charakterystyka: są to błędy, jakie tkwią w wyniku pomiaru po
usunięciu błędów grubych i systematycznych. Nie można opisać
ich żadnym modelem deterministycznym. Do ich modelowania
stosuje się jedynie model stochastyczny.
" yródła błędów: personalne, instrumentalne i środowisko.
" Skutek:
" Zalecane postępowanie:
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
15
Błąd prawdziwy i pozorny
" Błąd prawdziwy i = L - li
" Ponieważ L nigdy nie jest znane, również nigdy nie
jest znane.
" Na szczęście obydwie wielkości mogą być
oszacowane. Oszacowanie błędu prawdziwego
nazywa się błędem pozornym
" vi =x - li , gdzie x jest oszacowaniem wielkości L.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
16
True error and residuals
" True error i = L - li , because L is never known,
is never known too,
" Residuals are defined in the following way vi =x-li
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
17
Oszacowanie mierzonej wielkości
" Oszacowanie mierzonej wielkości i jej błędu nie jest
zagadnieniem ani prostym ani łatwym. Opanowanie tej
umiejętności wymaga studiów z zakresu rachunku
wyrównawczego. Tu przedstawimy tylko elementarne
wiadomości z tego zakresu.
" Wykonano n pomiarów wielkości L (l1,l2.....ln). Intuicyjnie jest
zrozumiałym, że średnia arytmetyczna
n
1
x =
Ć
"l
i
n
i=1
" jest najlepszym oszacowaniem nieznanej wielkości L
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
18
Przykład liczbowy 1
nr. obserwacje v
[m] [cm]
1 65.51 -1
2 65.47 3
3 65.52 -2
Średnia =65.50 Suma =0
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
19
Wyniki pomiarów [m]
Przykład 2
231.231
231.228
231.235
231.223
231.221
231.218
0.1
231.217
231.232
231.225
231.226
średnia m
m
a
i
231.234
x
n
231.227
231.226
231.229
0
231.231
231.215 231.22 231.225 231.23 231.235 231.24
231.224
231.233
231.219
231.239
231.233
231.227
231.2275
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
20
Histogram
średnia =231.2275
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
231.217 231.223 231.228 231.234 Więcej
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
21
Częstość
Suma vi zawsze jest równa zero
1
v1 = l1 - x
x =
Ć
"l
n
v2 = l2 - x
v3 = l3 - x
nx =
Ć
"l
....
....
Ć
"v = "l - nx ="l -"l = 0
....
vn = ln - x
Łv =Łl - nx
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
22
Średnia arytmetyczna jest najlepszym
oszacowaniem
" Jeśli średnia arytmetyczna jest najlepszym
oszacowaniem to
v2 = min
"
" Aby poprawki były minimalne to
Pierwsza pochodna musi być równa zero,
d v2 dv1 dv2 dvn
"
= 2v1 + 2v2 + ... + 2vn
dx dx dx dx
Ć Ć Ć Ć
Druga pochodna większa od zera
d2 v2
"
= 1+ 1+ ... + 1 = n > 0
dx2
Ć
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
23
Histogram błędów pozornych
7
Błędy
Uszere
Liczeb Częstoś
Wyniki gowane
Przedzi ności w ci pozorn
pomiaró wyniki
6
ały przedzi względ e
w [m] pomiar
ałach ne v
ów [m]
[mm]
5
1 23456
4
231.231 231.219 231.218 0 0.0000 9
231.228 231.219 231.223 4 0.1905 9
231.235 231.221 231.228 7 0.3333 7
3
231.223 231.221 231.233 5 0.2381 7
231.221 231.223 231.238 4 0.1905 5
231.219 231.223 231.243 1 0.0476 5
2
231.221 231.224 231.248 0 0.0000 4
231.232 231.225 3
231.225 231.226 2
1
231.226 231.226 2
231.234 231.227 1
231.227 231.228 0 0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
231.226 231.229 -1
231.229 231.231 -3
231.231 231.231 -3
231.224 231.232 -4
231.233 231.233 -5
231.219 231.233 -5
231.239 231.234 -6
231.233 231.235 -7
231.223 231.239 -11
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
24
Histogramy
v v v
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
25
częstość względna
częstość względna
częstość względna
Gauss
" Carl Friedrich Gauss lived
from 1777 to 1855.
" Gauss worked in a wide
variety of fields in both
mathematics and physics
including number theory,
analysis, differential
geometry, geodesy,
magnetism, astronomy and
optics.
" His work has had an
immense influence in many
areas.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
26
Krzywa Gaussa
f()
" Wielu uczonych od lat
próbowało opisać histogram
krzywą.
" Ostatecznie powszechnie
h
zaakceptowano model
Ą
podany przez Gaussa
(krzywa Gaussa), której
-
+
analityczny wzór jest
h
f(0) =
2
Ą
h
f() = e-h 2
+ "
Ą
()d = 1
+"f
- "
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
27
Krzywa Gaussa
" parametr h całkowicie opisuje
kształt krzywej Gaussa.
" Parametr h zazwyczaj jest
zwany wskaznikiem precyzji .
" Pole powierzchni pod krzywą
Gaussa równa się jedności:
im krzywa jest wyższa (większe
h) tym bardziej staje się
ścieśniona, co oznacza wyższą
precyzję, gdyż przedział, w
którym zawarte są wyniki
pomiaru jest mniejszy.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
28
Własności
" Krzywa jest symetryczna
względem = 0.
f( )
" Prawdopodobieństwo
występowania błędów o tej
samej wartości bezwględnej
jest jednakowe.
" Oznacza to, że
P(+ ) = P(- )
+
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
29
Własności
" Prawdopodobieństwo
wystąpienia błędu większego
niż + jest równe
prawdopodobieństwu
wystąpienia błędu
mniejszego niż .
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
30
Własności
" Prawdopodobieństwo występowania błędów
dodatnich i ujemnych jest jednakowe,
" Prawdopodobieństwo występowania małych błędów
jest bardzo duże,
" Prawdopodobieństwo występowania bardzo dużych
błędów jest praktycznie niemożliwe.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
31
Ocena Wyniku Pomiaru
" Precyzja: pomiaru jest to stopień wzajemnej bliskości
pomiarów tej samej wielkości. Precyzja pomiaru jest obarczona
wpływem tylko błędów przypadkowych.
" Dokładność: stopień zbliżenia pomiarów do wielkości
prawdziwej. Dokładność pomiaru jest obarczona zarówno
błędami przypadkowymi jak i systematycznymi.
" Niepewność: jest to wielkość przedziału wewnątrz którego
mieszczą się błędy pomiarowe.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
32
Precyzja i dokładność
" pomiary precyzyjne ale
niedokładne
" pomiary nieprecyzyjne ale
dokładne
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
33
Precyzja i dokładność
" pomiary nieprecyzyjne i
niedokładne
" pomiary precyzyjne i
dokładne
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
34
Precyzja i dokładność
Wewnętrzna
Precyzja
niezawodność
Dokładność
" W przypadku braku występowania błędów systematycznych,
pojęcie dokładności pomiaru jest równoważne z pojęciem
precyzji.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
35
Miary Precyzji
" Błąd przeciętny
" Błąd prawdopodobny
" Błąd średni (estymator odchylenia standardowego)
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
36
Błąd przeciętny
próbka losowa
L= niewiadome L = znane
n
n
1
1
e =
e = vi
"
"
i
n -1 i=1 n i=1
" Błąd przeciętny e jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych
wartości błędów próbki losowej (serii pomiarowej)
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
37
Błąd prawdopodobny
" połowa błędów pomiarowych jest mniejsza od Pe
natomiast druga połowa błędów jest większa od
błędu Pe.
50% z |vi|>Pe , 50% z |vi|
Pe = V# n+1 ś#
ś# ź#
" W przypadku parzystej liczby błędów.
2
# #
" W przypadku nieparzystej liczby błędów.
1 Ą# n n ń#
# ś# # ś#
Pe = ź# ź#
ó#V ś# 2 # + V ś# 2 + 1 #Ą#
# #
2
Ł# Ś#
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
38
Przykład liczbowy 3
nr. obserwacje v |v|
Błąd prawd.
[m] [cm] [cm]
1 65.43 -4.8 4.8 - 4.8
2 65.49 +1.2 1.2 - 0.8
3 65.52 +4.2 4.2 0.2
4 65.47 -0.8 0.8 1.2
5 65.48 +0.2 0.2 4.2
średnia =65.478 bł.praw.=0.2
suma =0.0 bł. prz. =2.8
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
39
Błąd średni
próbka losowa
L= niewiadome L = znane
n
n
1
1
2
2 2
m2 = vi
m =
"
"
i
n -1 i=1
n i=1
" Błąd średni m jest definiowany jako pierwiastek kwadratowy
średniej arytmetycznej sumy kwadratów błędów.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
40
Przykład liczbowy 3
nr. obserwacje v v2
[m] [cm] [cm2]
1 65.43 -4.8 23.0
2 65.49 +1.2 1.4
3 65.52 +4.2 17.6
4 65.47 -.8 0.6
5 65.48 +0.2 0.0
Średnia =65.478 Suma = 0.0 Suma = 42.8
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
41
"
E( )= f ( )d = 0
+"
- "
"
1
2 2
= f ( )d =
+"
2h2
- "
1
=
h 2
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
42
Cenna właściwość
" Prawdopodobieństwo wystąpienia
błędu przypadkowego:
w przedziale << jest równe
0.683,
f()
w przedziale 2<<2 wynosi
0.954,
w przedziale 3<<3 jest równe
0.997.
" W praktyce przedział 3 jest
uważany jako granica występowania
błędów i uważa się, że obserwacje
obarczone błędami przekraczającymi
- +
-3 -2 -
2 3
te granice powinny być odrzucone
jako obserwacje błędne.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
43
Obserwacje bezpośrednie jednakowo i nie
jednakowo dokładne
" Przez obserwacje bezpośrednie jednakowo dokładne
rozumiemy obserwacje wykonane w tych samych
warunkach, to znaczy, że obserwator, instrument i
środowisko jest takie same
" Przez obserwacje bezpośrednie nie jednakowo
dokładne rozumiemy obserwacje bezpośrednie
wykonane w odmiennych warunkach, oznacza to, że
obserwator, instrument lub warunki środowiska
uległy zmianie.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
44
Wagi
" W celu uwzględnienia różnicy w dokładności pomiarów
wprowadzono nowe pojęcie zwane wagą
k
p =
m2
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności.
Przykład: m1=0.5, m2=0.25,
k=1 p1=2, p2=4
k=4 p1=8, p2=16
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
45
Wagi
" Jeśli pewna obserwacja ma wagę równą jedności (p=1), to
kwadrat błędu średniego oznaczany jest przez m0 i wynosi:
2
1 = k m0
" Z czego wynika, że
2
k = m0
" A zatem współczynnik proporcjonalności jest niczym innym jak
kwadratem błędu średniego obserwacji o wadze równej
jedności. Dlatego ostatecznie mamy
2
p = m0 m2
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
46
Wagi
" Wagi są definiowane:
Wagi są to liczby odwrotnie proporcjonalne do wartości
kwadratu błędu średniego,
Wagi są to liczby dodatnie, które wyrażają liczby jednakowo
dokładnych obserwacji.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
47
Ogólna średnia arytmetyczna
" Jeżeli rozważymy n obserwacji l1, l2, l3 & z wagami p1, p2, p & to
wówczas warunek ma postać
v2 = min pv2 = min
" "
czyli pierwsza pochodna musi być równa zero
2
d( pv ) dv1 dv
"
2
= 2p1v1 + 2p2v + ... = 0
2
dx dx dx
Ć Ć Ć
p v + p v + ... =
"pv = 0
1 1 2 2
p1(x - l1)+ p2(x - l2 )+ ... = 0
Ć Ć
p1l1 + p2l2 + ... pl
"
pv2
"
(p1 + p2 + ...)x = p1l1 + p2l2 + ... mo =
x = =
Ć
Ć
(n -1)
p1 + p2... p
"
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
48
Przykład
ą
K t Waga
nr "=l-l0 p " v pv pvv
l p
1 23.4067 67 1 67 -13 -13 161
2 23.4011 53 2 106 1 3 3
3 23.4042 42 3 126 12 37 454
4 23.4093 61 4 244 -7 -27 180
suma = 10 543 -6 0 798
x=23.4000+0.0054=23.4054g m0 =0.0016g
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
49
Prawo przenoszenia się błędów
" Przez przenoszenie się błędów rozumiemy proces polegający na ocenie
błędów obliczonych wielkości niewiadomych y będących funkcją
wielkości mierzonych x.
" Rozważmy prosty przykład. Wielkość y została wyznaczona z pomiaru
wielkości x z zależności
y = ax + b
Jeśli xL wielkość prawdziwa, x wielkość mierzona, dx błąd pomiaru to
yL = axL + b
x = xL + dx y = a x + b = a (xL + dx) + b = a xL + b + a dx = yL + a dx
dy
dy = dx
dy = a dx
dx
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
50
Funkcja liniowa i dowolna
2 2 2
m = m + m +...
y = l + l + ...
y 1 2
1 2
Przykład. Odcinek AB składa się z dwóch części. Pierwszą
część pomierzono z błędem średnim ą3 cm, drugą część
pomierzono z błędem średnim ą8 cm. Oblicz błąd średni
odcinka AB?
2 2 2
y = a l + a l + ....
m = a m + a m + ....
1 1 2 2
y 1 1 2 2
Przykład. Odległość pomierzona dalmierzem oblicza się
według wzoru d=k l, gdzie l jest mierzonym odcinkiem na łacie
z błędem średnim ą3 mm. Oblicz błąd mierzonej odległości d
jeśli stała k = 100.
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
51
Dowolna funkcja
2 2 2
# ś# # ś# # ś#
m , m .....m "f "f "f
x1 x2 xn
y = f(x1, x2.....)
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
m2 = m2 + m2 + ...ś# m2
y
ś# ź#
"x1 x1 ś# "x2 ź# x2 # "xn ź# xn
# # # # #
Przykład. Pomierzono działkę w kształcie prostokąta o
bokach a = 123.54 m, i b= 54.34 m. Bok a pomierzono z
błędem średnim ą3 cm, a bok b z błędem średnim ą6 cm.
Oblicz błąd powierzchni działki mP .
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
52
Błąd średni z pary pomiarów
" l1 obserwacja z błędem
prawdziwym 1, l2
obserwacja z błędem
prawdziwym 2, to
d1 = -1 +
l1 + 1 = l2 + 2 l1 - l2 = -1 + 2
2
2
Zgodnie ze wzorem na błąd średni
"
m = ą
n
2
2
d
"
md
"d
md = ą
mo = ą = ą
md = ąmo 2
2n
2
n
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
53
Przykład
d [cm] d^2
" Pewną odległość 7 grup 24.0
studenckich pomierzyło
416.0
dwukrotnie i otrzymało
636.0
następujące pewne różnice.
24.0
" Oblicz błąd średni
749.0
pojedynczego spostrzeżenia
11.0
z tych par pomiarów
636.0
m0 = 3.2 cm
Wykład 2 "Podstawowe wiadomości z teorii błędów"
54
Thank you for attention
Wyszukiwarka