Ruch bryły sztywnej,
dynamika ruchu obrotowego
OPIS RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Bryłą sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (nieskończenie wielu),
których wzajemne poło\
enie nie zmienia się pod wpływem działających sił.
N
Åšrodek masy: ri mi
"
i=1
=
R
sm
N
-dla układu punktów materialnych
mi
"
i=1
n
ri
""mi
+"r dm
i=1
=
R
sm
=
R
sm
-dla bryły sztywnej mc
mc
Ruch postępowy:
n
Ruch bryły sztywnej mo\
na rozło\
yć na: ruch postępowy
Masm = Fi = Fzewn .
"
środka masy i ruch obrotowy
i=1
Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa
układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
1
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É)
É
É
É
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri ×pi
- moment pędu:
Mi = ri ×Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
Dla caÅ‚ej bryÅ‚y - obrót wokół osi (zakÅ‚adajÄ…c L||É):
É
É
É
ëÅ‚ öÅ‚
2
vi = É×ri
L = "mi vi = "mi (rÄ„"iÉ) = ìÅ‚ "mi ÷Å‚É
"rĄ"i "rĄ"i "rĄ"i
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
vi = Éri sin¸i = ÉrÄ„" i
2
I = "mi
"rĄ"i
i
moment
L = ™É
bezwładności:
2
I = d m
+"r
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É)
É
É
É
II zas. dynamiki Newtona dla
dL
M = ruchu obrotowego ogólnie
dt
spełniona
Jeśli: to:
L = ™É
d L d(IÉ) d É
M = = = I = Iµ
d t d t d t
M = Iµ
2
Ruch obrotowy ogólnie
ogólnie gdy:
L ||É
ëÅ‚ Ixx Ixy Ixz Éx
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
L = Î É = I I Iyz Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
yx yy
ìÅ‚
Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
d L
II zas. dynamiki Newtona
M =
dt
Dla ka\
dej bryły sztywnej mo\
na zdefiniować trzy prostopadłe osie, zwane głównymi
osiami bezwładności.
" Moment bezwładności ciała względem jednej z tych osi jest maksymalny, względem
drugiej jest minimalny, zaś względem trzeciej  ma wartość pośrednią: II e" III e" IIII,
" Jeśli ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładności są tak\
e osiami
symetrii ciała.
Ruch obrotowy wokół osi głównych
Î
Transformujemy tensor do układu, którego osie współrzędnych (x ,y ,z ) są równoległe
do osi głównych bezwładności:
ëÅ‚ Ixx Ixy Ixz Éx I'x'x' 0 0 Éx'
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
L = Î É = I I Iyz Éy ÷Å‚ L'= Î'É'= 0 I'y'y 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
yx yy ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚É ÷Å‚
y'
ìÅ‚
ìÅ‚
Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚ 0 0 I'z'z' ÷Å‚ìÅ‚Éz' ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Ć
L'= I'x'x' Éx'î'+I 'y'y' Éy'5
'+I'z'z' Éz'k'
Kiedy L jest równolegÅ‚y do É ?
É
É
É
1) W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do É.
É
É
É
2) L jest równolegÅ‚y do É wówczas, gdy osiÄ…
É
É
É
obrotu jest jedna z głównych osi
bezwÅ‚adnoÅ›ci (wtedy: L = ™É i
M = Iµ
gdzie I jest wartością skalarną).
3
Przykładowe momenty bezwładności wokół osi głównych
Przykład: liczenie momentu bezwładności pręta o masie M i długości L.
Moment bezwładności elementu
o masie dm wynosi x2dm
L / 2
mc I = x2 d m
+"
dm = dx
je\
eli pręt ma stałą gęstość:
L -L / 2
L / 2
mc L / 2 mc x3 mcL2
I = x2 d x = =
+"
L L 3 12
-L / 2
-L / 2
4
Twierdzenie Steinera:
2
™ = ™0 + mcd
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
" ogólnie, gdy wektor É nie jest równolegÅ‚y do \
adnej z osi
É
É
É
głównej (x ,y ,z są głównymi osiami bezwładności):
1
2 2 2
Ek = (I'x'x' Éx' + I'y' y' Éy' + I'z'z' Éz')
2
" przypadek szczególny, gdy wektor É jest równolegÅ‚y do
É
É
É
jednej z osi głównych bezwÅ‚adnoÅ›ci (czyli L||É):
É
É
É
1 1 1 ëÅ‚ öÅ‚
2
Ek = vi2 = (rÄ„"iÉ)2 = ìÅ‚ rÄ„"i ÷Å‚ É2
""mi ""mi ""mi
2 2 2
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
1
2
Ek = IÉ
2
5
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego
Ruch postępowy Ruch obrotowy
Õ, É, µ, I
r, v, a, m
L = r ×p
p = mv
M = r × F
F
dL
dp
M = , L = ™É
F =
dt
dt
M = Iµ
F = ma
1
1
Ek = IÉ2
Ek = mv2
2
2
przypadek szczególny, gdy wektor É jest równolegÅ‚y do jednej z osi głównych
É
É
É
bezwÅ‚adnoÅ›ci (czyli L||É)
É
É
É
PRZYKA
ADY RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne
moment siły II zasada dynamiki
powodujący Newtona dla bryły
ruch: sztywnej:
d2¸
M = -mg d sin¸
M = Iµ = I
d t2
czyli:
d2¸
I = -mgd sin¸
d t2
dla małych wychyleń
¸:
d2¸ mgd
sin¸ H" ¸
poniewa\
:
+ ¸ = 0
d t2 I
d2¸
2
+ É0¸ = 0
rozwiązanie równania oscylatora drgań harmonicznych:
d t2
mgd I
¸ (t) = ¸0 cos(É0t +Õ)
T = 2Ä„
É0 =
mgd
I
6
Przykład ruchu (3): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 równania ruchu
a = µR
Toczenie bez poślizgu:
ruch postępowy
ruch obrotowy
FR - mg cos¸ = 0
a
M = RT = ISM .µ = ISM
mg sin¸ -T = ma
R
np. dla walca:
mg sin¸
a =
2
m + ISM / R2
a = g sin¸
3
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
ruch obrotowy
1 1
2
Ekp = mvSM Eko = ISM É2
2 2
1 1
2
mgh = mvSM + ISMÉ2
2 2
Toczenie bez poślizgu
v = ÉR
4
mgh
vSM = gh
vSM = 2 np. dla walca
3
m + ISM / R2
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU P
DU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO
d L
M = = 0 Ò! L = const.
d t
L = ™É = const.
É
É
É
7
1. Swobodny obrót wokół osi nierównoległej do \
adnej z osi głównych
M = 0 L = const.
Precesja  bÄ…ka swobodnego
Precesja osi obrotu Ziemi:
" Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół
osi głównej. Dlatego jej oś obrotu podlega precesji.
" Zmiany poło\
enia osi obrotu,sÄ… bardzo niewielkie
mcR2
mcR2
(ok. 15 m).
Ix' = I = Iz' =
y '
4 2
" Okres obiegu wynosi średnio ok. 427 dni.
2. Stała wymuszona oś obrotu
L `" const.
d L
M = `" const.
d t
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą ło\
ysk ustalimy w przestrzeni oÅ› obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dą\
ył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a ło\
yskami. Momenty sił reakcji ło\
ysk spowodujÄ… precesjÄ™ wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba ło\
ysk poniewa\
momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dą\
y do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji ło\
ysk.
8
3. Precesja pod wpływem działającego momentu bezwładności
Precesja bąka pod wpływem siły cię\
kości
M = r × mg
"L
M =
"t
M = ÉpL sin¸
"Õ "L 1 M
Ép = E" =
"t L sin¸ "t Lsin¸
M = É × L
p
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą ró\
nych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (NMR)
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest bÄ…kiem swobodnym.
Niejednorodności pola grawitacyjnego w
którym się porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powodujÄ… precesjÄ™ astronomicznÄ…
wektora momentu pędu (w przybli\
eniu
*
równoległą do osi obrotu Ziemi ). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia siÄ™ w
czasie (wpływ Księ\
yca) co powoduje nutacjÄ™.
*
uwaga w punkcie 1. opisano niewielką precesję osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora
momentu pędu (Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)
9
śyroskop
Jeśli \
yroskop jest w równowadze przy L = 0 to
będzie tak\
e w równowadze dla L `" 0.
Jak zachowa siÄ™ \
yroskop gdy zwiększymy lub
zmniejszymy przeciwwagÄ™?
M = É × L
p
Częstość precesji
(podobnie jak dla
bÄ…ka):
M mgr
Ép = =
Lsin¸ L
¸ = 90o
jest proporcjonalna do
odjętej/ dodanej masy m.
L = Î É
UZUPEA
NIENIE  WYPROWADZENIE ZWI
ZKU
vi = É×ri
(NADOBOWI
ZKOWO !)
L = = ×pi = × "mivi )= ri ×(É ×ri )]
"Li "ri "(ri "["mi
i i i i
L = ["mi(É Å" ri2 - ri(ri " É))]
"
i
A×(B×C)= B(A " C)- C(A " B)
L = ["mi(Éri2 - ri(xiÉx + yiÉy + ziÉz))]
"
i
Å„Å‚
x ""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚L = Éx ri2 -Éx xi2 -Éy xi yi -Éz xi zi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚L = Éy ri2 -Éx yixi -Éy yi2 -Éz yizi
òÅ‚
y ""mi ""mi ""mi ""mi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚Lz = Éz ri2 -Éx zixi -Éy zi yi -Éz zi2
""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚
ół i i i i
ëÅ‚ Ixx Ixy Ixz Éx
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Lx = Éx (ri2 - xi2)-Éy xi yi -Éz xizi
""mi ""mi ""mi
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
i i i
144244 1424 1424
3 3 3
L = Î É = I I Iyz Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
yx yy
I Ixy Ixz
xx
ìÅ‚
Ixy = I = - xi yi Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
Ixx = (ri2 - xi2)= (yi2 + zi2) yx ""mi
""mi ""mi íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
i
i i
Ixz = Izx = - xizi
I = (ri2 - yi2)= (xi2 + zi2)
""mi
yy ""mi ""mi
ogólnie:
i L ||É
i i
Izz = (ri2 - zi2)= (xi2 + yi2)
Izy = I = - zi yi
""mi ""mi
yz ""mi
i i i
ri2 = xi2 + yi2 + zi2
10