Elektrostatyka

Prawo Coulomba

Natężenie pola elektrycznego

Energia potencjalna pola elektrycznego
1
Prawo Coulomba
nie-naelektry-
#"q1#"#"q2#"
1
zowana
Śą
naelektryzowane
 odpychanie #"F#"=
miedz

szkło 4 Ćąą0 r2
ÏÄ…0=8.85×10-12 C2/śąN m2źą
naelektryzowany
(q1,q2 + ) lub (q1,q2 - )
plastik
q1 q2
F F
r
naelektryzowane
 przyciÄ…ganie
szkło
( q1+ i q2- ) lub ( q1- i q2+ )
q2
q1
naelektryzowany plastik
F F
2
Superpozycja sił pochodzących od kilku
ładunków
-q4
+q5 Fnet
wektorowe sumowanie sił
i=n
Śą Śą Śą Śą Śą
F1=F12ƒÄ…F13ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…F1n= F1i
"
i=1
+q1
-q2
+q3
aƒÄ…Śą=c
b
Śą Śą
a
Śą
Śą
b
3
Co to jest  pole
" A
adunek może wywierać siłę na inny ładunek. Mówimy że wokół ładunku
rozpościera się  pole elektryczne
" Co to jest  pole w języku fizyki ?
rozkład temperatury,
rozkład opadów,
rozkład wiatru
" Pole - matematycznie : to przestrzenny rozkład liczb (pole skalarne),
lub przestrzenny rozkład wektora, (pole wektorowe)
" Pole - fizycznie: to przestrzenny rozkład wielkości fizycznej
4
Pole  charakterystyczne cechy
Pole może mieć swoją geometrię. W danym punkcie przestrzeni pole opisane jest
przez pewnÄ… funkcjÄ™:
f = f (x, y, z)
Pole może być płaskie lub przestrzenne.
Stałe wartości pola są wyznaczone przez
izopowierzchnie lub izolinie.
Pole wektorowe scharakteryzowane jest
przez wektor pola
rð rð
v(r )
Liniami pola wektorowego nazywamy linie
wyznaczajÄ…ce kierunek pola.
Wektor pola jest w każdym punkcie styczny
Temperatura (pole skalarne) do linii pola.
Kierunek wiatru (pole wektorowe)
.
5
Pole elektryczne  jak wyglÄ…da?
To co charakteryzuje pole elektryczne to
wektor natężenia pola
Liniami sił pola elektrycznego nazywamy linie wyznaczające
kierunek pola.
Wektor natężenia pola jest w każdym punkcie styczny do
6
linii pola.
Natężenie pola elektrycznego
Schemat oddziaływania: ładunek "! pole elektryczne "! ładunek
Pole elektryczne wytwarzane przez Å‚adunek Q jest polem wektorowym.
Jego wektor to natężenie pola el.
Śą
E
jest określony jako:
q
+Q
0
Śą Śą
F r F
Śą
E=
q0
Śą Śą
E F
-Q q
0
Wartość E dla ładunku punktowego Q
Q
Śą Śą
E=
F=E q0
4 ĆąÏÄ…0 r2
gdzie q0 jest pewnym dodatnim ładunkiem próbnym.
Natężenie E zależy od ładunku, który wytwarza pole, nie od ład. próbnego!
7
Superpozycja pól od wielu ładunków
Jeśli pole wytwarzane jest przez kilka
+Q3
+Q1
ładunków Q1,Q2,... Qn to natężenie pola w
+Q2
dowolnym punkcie przestrzeni jest równe
sumie wektorowej natężeń pól wytworzonych
przez każdy ładunek osobno w tym punkcie.
i=n
Śą Śą Śą Śą Śą
E=E1ƒÄ…E2ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…En= Ei
"
i=1
Uwaga! Tutaj sumujemy wektory!
i=n
Śą=EŚą1ƒÄ…EŚą2ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…EŚąn= Ei
E
"Śą
i=1
Śą
E3
Śą
E2
Śą
E
8
Rozkłady ładunków
Aby wyznaczać natężenie pola elektrycznego często nie operujemy  osobnymi
ładunkami lecz raczej rozkładem ładunku.
Ze względu na sposób rozłożenia ładunku wprowadzamy:
liniową gęstość ładunku
dq=ÉÄ… dx
ÉÄ…=dq
dx
powierzchniową gęstość ładunku
ÈÄ…=dq
dq=ÈÄ… ds
ds
dq
objętościową gęstość ładunku
ÇÄ…=
dq=ÇÄ…dV
dV
Natężenie pola pochodzące od
gdzie dE oznacza natężenie pola pochodzącego
pewnego rozkładu ładunku,
od ładunku dq w jednostkowej długości,
powierzchni lub objętości
Śą Śą
E= d E
+"
1 dq
Śą
d E=
4 ĆąÏÄ…0 r2
9
Przykład  Natężenie pola elektrycznego w odległości R od
naładowanego przewodnika z prądem
dEy
dE
dEx = - dE sinÄ…
dEy = dE cosÄ…
dEx
Ä…
r = R2 + x2
R
+
dq
dx
x
10
Przykład  Natężenie pola elektrycznego w odległości R od
naładowanego przewodnika z prądem
Gęstość liniowa ładunku jest jednorodna więcwięc:
ÉÄ…
dE = sin ·Ä… d ·Ä…
x
4ĆąÏÄ…0 R
Wartość natężenia pola od dq:
ÉÄ…
dE = cos ·Ä… d ·Ä…
y
4ĆąÏÄ…0 R
dq ÉÄ…dx
dE= =
-Ćą/ 2
ÉÄ…
4 ĆąÏÄ…0 r2 4 ĆąÏÄ…0śąR2ƒÄ…x2źą
Ex = sin ·Ä… d ·Ä…=0
+"
4Ćą ÏÄ…0 R
-Ćą/ 2
Staramy się zamienić zmienną
-Ćą/ 2
całkowania dx na dą
ÉÄ…
E = cos ·Ä…d ·Ä…
+"
y
R 4Ćą ÏÄ…0 R
-Ćą/ 2
dx= d ·Ä…
x=R tg ·Ä… wiÄ™c:
cos2·Ä… ÉÄ… ÉÄ…
E = 2=
y
4Ćą ÏÄ…0 R 2ĆąÏÄ…0 R
ÉÄ…
dE= d ·Ä…
zatem
ÉÄ…
4ĆąÏÄ…0 R
E = E2ƒÄ…E2 = E =
ćą
x y y
2 ĆąÏÄ…0 R
11
Pole elektryczne dipola
E = Eśą+źą-Eśą-źą =
q q
- =
2 2
4ĆąÏÄ…0 rśą+źą 4ĆąÏÄ…0 rśą-źą
2 2
rśą-źą-rśą+źą
q
=
2 2
4ĆąÏÄ…0 rśą+źąrśą-źą
śą źą
śąrśą-źą-rśą+źąźąśąrśą-źąƒÄ…rśą+źąźą
q 2dq
H"
2 2
4ĆąÏÄ…0
śą źą
rśą+źąrśą-źą 4Ćą ÏÄ…0 z2 z
p
E =
2Ćą ÏÄ…0 z3
Śą
gdzie p = d q
Śą
12
Praca w polu elektrycznym
praca jaką wykonuje siła zewnętrzne aby przesunąć ładunek
Siła zewnętrzna, która działa przeciwko sile Coulomba
próbny.
B B

W =
+"Foð dl = - q0+"Eoð dl
A A
Praca pola el. wynosi W el.= - W
Okazuje się, że:
" Praca wykonana przy przemieszczeniu
ładunku próbnego nie zależy od toru a jedynie
od początkowego i końcowego położenia
" Praca po torze zamkniętym = 0
A
Mówimy, że
pole elektryczne jest polem zachowawczym,
potencjalnym

W =
+"Foð dl = - q0 +"Eoð dl = 0
kontur kontur
13
Energia potencjalna pola elektrycznego
Dla pola zachowawczego (podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego)
można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej
Praca jaką musi wykonać pole przy
" "

przenoszeniu ładunku z nieskończoności
U (R) =
do danego punktu pola R
+"Foð dr = - q+"Eoð dr
albo
R R
Praca jaką muszą wykonać siły
- jest to energia naładowanego obiektu
zewnętrzne, przy przenoszeniu ładunku od
w polu elektrycznym (precyzyjniej 
R do nieskończoności
energia układu : obiekt i pole
elektryczne)
Np. dla Å‚adunku punkowego Q wytwarzajÄ…cego pole
el. en. pot. Å‚adunku q wynosi:
o
" "

Q Qq R
U (R) = - q
+"Eoð dr = - q+"4Ä„ µ0r2 dr = 4Ä„ µ0R
R R
en. jest dodatnia gdy Å‚adunki sÄ… jednoimienne
en. jest ujemna gdy ładunki są różnoimienne
14
Siła jako gradient energii potencjalnej
Praca siły zewnętrznej przy przemieszczaniu ładunku z R1 do R2 jest równa różnicy
energii potencjalnej tego ładunku między R1 i R2
Siła zewnętrzna, która działa przeciwko sile Coulomba
R2
Śą
Śą
W śą R1Śą R2źą= FÅ"dr=U śą R2źą-U śą R1źą
+"
R1
Praca sił elektrycznych
W śą R1Śą R2źą=-[U śą R2źą-U śą R1źą]
el
(ma przeciwny znak)
Dlatego można zapisać, że siła el. Fdr=-dU , F =-dU
dr

W ogólności trzeba zapisać
F = - grad(U ) = - " U

ëÅ‚ öÅ‚
" U " U " U
czyli
F = - ìÅ‚ x + w
+ Ä™ ÷Å‚
Ć
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " z
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie oznaczają jednostkowe wektory wzdłuż osi x,y,z
( x, w
, Ä™)
Ć
15
 16
 17