8.3. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
UKŁADÓW SLS
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność: jψ R
m
R
2 R e
R
j (ψ
ψ
−
R
F )
K =
=
=
e
(8.9)
jψ F
m
F
2 F e
F
j Θ
= K e
moduł transmitancji K
argument transmitancji Θ
określony jest stosunkiem wartości
wyraża kąt przesunięcia fazowego od-
skutecznych odpowiedzi do wymu-
powiedzi w odniesieniu do wymuszenia
szenia
Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy zależność transmitancji lub immitancji układu od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.
Θ
j ( )
K (ω
ω
) = K (ω) e
= P(ω) + jQ(ω)
ω ∈ (0 ÷ ∞) (8.10)
gdzie: K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa
Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa
P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji
Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji
- 1 -
WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK
na przykładzie układu RC (FD)
R
U
U
1
C
2
Zakładamy, że na WE układu podajemy napięcie u t ( ) = U
sin t
1
1
ω
m
.
Wyznaczamy U2 w stanie ustalonym, posługując się rach. symbolicznym: 1
jω C
U =
2
U 1
1
R + j C
ω
Wobec tego transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wy-niesie:
1
jω C
U
1
1
1
R +
U 2
jω C
jω C
1
K =
=
=
=
u
U
U
1
1
1
1
+ j R
ω C
R + jω C
1
Czyli:
K ω =
u (
)
(8.11)
1 + jω RC
lub
− ω
− ω
K ω =
⋅
=
u (
)
1
1
j RC
1
j RC
2
2
2
1 + jω RC 1 − jω RC
1 + ω R C
1
ω RC
=
− j
2
2
2
2
2
2
1 + ω R C
1 + ω R C
1
R
ω C
Zatem:
P(ω) =
,
Q(ω) = −
(8.12)
2
2
2
2
2
2
1 + ω R C
1 + ω R C
- 2 -
2
2
2
ω
2
2
1
R C
K (ω) = P(ω) + Q(ω) =
+
2
2
2 2
2
2
2 2
1
( + ω R C )
1
( + ω R C )
1
=
2
2
2
1 + ω R C
zależność modułu transmitancji od pulsacji opisuje równanie: 1
K (ω) =
(8.13)
2
2
2
1 + ω R C
Natomiast
2
2
2
Q
− ω RC
1 + ω R C
Θ(ω) = arctg = arctg
⋅
P
1 + 2 2 2
ω R C
1
zależność argumentu transmitancji od pulsacji opisuje równanie: Θ ω
( ) = − arctg ω RC
(8.14)
K( )
ω
1
0,707
Im[ (
K ω)]
Re[ K(ω ]
)
ω
ω= 8
P ω=0
g
ω
ω
Θ
g=1/RC
Θ
K
(ω)
ωg
ω
Q
0,5
−π/4
−π/2
- 3 -
WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE
CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH
Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich: czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.
Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charakterystykami logarytmicznymi.
Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o charakterystyce względnej:
K (ω)
K (ω)
K (ω ) =
lub
K (ω) =
(8.15)
K
K (ω )
max
0
Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji ω (lub częstotliwości f) przyjmuje się: • pulsację względną ω /ω 0
• odstrojenie bezwzględne ∆ω=ω-ω 0
• odstrojenie względne
ξ=(ω-ω 0)/ω 0
gdzie: ω0 – jest charakterystyczną pulsacją dla układu.
Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej: xd = lgω
(8.16a)
ω
d
x = lg
(8.16b)
ω0
- 4 -
mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której charakterystyczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadającego zmianie o jedną dekadę częstotliwości.
-1
0
1
2
3
lgf
10-1
1
101
102
103
f[Hz]
-1
0
1
2
3
lg(f/f)0
10-1
1
101
102
103
f/f0
Skale dekadowe
Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze wzorem
K
(
=
dB ω )
20lg K (ω)
(8.17a)
ω
ω
lub
KdB
= 20lg K
(8.17b)
ω
ω
0
0
Niektóre wartoś ci w decybelach
1
K (ω )
− N
10
0,1
1
2
10
N
10
2
20lg K (ω) [dB] − 20 N -20
-3
0
3
20
20 N
- 5 -
W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki częstotliwościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobranej linii łamanej. Tego typu przybliżenie stosuje się głównie do ch-styk ampli-tudowych.
Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane
charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.
Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-fazowej postaci:
jΨ
Ψ
1
L
j L 2
L(ω)
L e
L e
K
1
2
K (ω) =
=
(8.18)
jΨ
Ψ
M 1
j M 2
M (ω)
M e
M e
K
1
2
gdzie czynniki L
M i ω
i (ω ) oraz
( ) są wielomianami o współczynnikach
rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.
j Θ ω
Pamiętając, że:
K (ω ) = K(ω )
( )
e
L L K
możemy zapisać:
1 2
K (ω) =
(8.19)
M M K
1
2
lub
lg K (ω) = ∑lg( i
L ) − ∑lg( Mi )
(8.20)
i
i
Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze decybelowej) opisana jest wyrażeniem:
K
ω
ω
dB (
) = 20lg K ( ) = 20∑ lg( i
L ) − ∑ lg( Mi )
(8.21)
i
i
- 6 -
na przykładzie układu RC (FD)
K (ω ) =
1 + jω RC
ω
L
ω
ω g
1
1
Zal. (8.18)
K
=
=
ω =
ω
gdzie
g
g
ω
ω
RC
M
1 +
j
ω
ω
g
g
ω
1
Zal. (8.19)
K
=
2
ω g
ω
1
+
ω g
2
ω
1
ω
Zal. (8.21)
KdB
= 20lg
= 2
− 0lg 1
+
(8.22)
2
ω
ω
g
g
ω
1
+
ω g
Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia: ω
2
<<
ω
ω
1 ,
+
≅
K
≅
ω
1
1 ,
ω
0
ω
(8.23a)
g
g
g
ω
2
>>
ω
ω
ω
ω
1 ,
+
≅
K
≅ −
ω
1
,
20l
g
(8.23b)
ω
ω
ω
ω
g
g
g
g
g
Dla ω/ωg<<1 oraz dla ω/ωg>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi wzorami (8.23a) i (8.23b). Doprowadzając te półproste do punktu ich przecięcia ω/ωg=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (8.22).
- 7 -
K(ω/ω )
g
ω
[dB]
ωg
0,1
1
10
100
0
-3
-20
-40
PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW
Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół
takie parametry jak:
• częstotliwość graniczna - częstotliwość przy której moduł transmitancji maleje o 3 dB od wartości no-
minalnej dla której umownie przyjęto
poziom 0dB.
• pasmo przenoszenia - zakres częstotliwości, w którym moduł
transmitancji maleje nie więcej niż o
3 dB od wartości nominalnej, a jest to
zakres częstotliwości zawarty między
częstotliwościami granicznymi. Miarą
pasma przenoszenia SP jest
S =
−
P
fg
fd
- 8 -
• selektywność układu - zdolność rozdziału częstotliwościowego przenoszonych sygnałów. Miarą selektywności jest współczynnik prostokąt-
ności
S
3
( dB)
p
P
=
S (20 dB)
P
• nachylenie charakterystyki - określa się liczbą decybeli wyraża-jącą zmianę modułu transmitancji
układu na dekadę w zadanym za-
kresie częstotliwości
K
(
−
dB ω
KdB ω
1)
( 2)
N
=
dB / dek
ω
1
lg ω2
KLASYFIKACJA UKŁADÓW
Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-
na przedstawić następującą klasyfikację układów:
• wą skopasmowy
S <<
P
fs
• szerokopasmowy
S
>
P=fs lub SP fs
• dolnoprzepustowy
f
<
g1=0
fg2 ∞
• górnoprzepustowy
f >
g1 0
fg2 = ∞
• ś rodkowoprzepustowy
f >
<
g1 0
fg2 ∞
• ś rodkowozaporowy
f∉ (f
>
<
g1, fg2) ∧ fg1 0 ∧ fg2 ∞
- 9 -