Pochodna – co to jest i po jakiego ch*ja nam to potrzebne??

Pochodna funkcji służy do badania zmienności funkcji, czyli kiedy rośnie, maleje, jest stała, oraz sprawdzenia czy istnieją ekstrema funkcji (maksimum i minimum).

Co to jest pochodna nie będę pisał, bo nam to potrzebne jak k*rwie majtki.

Aby obliczyć pochodną dowolnej funkcji złożonej trzeba znać pochodne cząstkowe: Funkcja

Pochodna

c

0

x

1

n

x

n 1

−

nx

ax+b

a

ax2+bx+c

ax + b

a

a

1

−

= a × x

−

x

2

x

sin x

cos x

cos x

− sin x

tgx

1

2

cos x

ctgx

1

−

2

sin x

x

e

x

e

x

x

x x (1 + ln x)

ln x

1

x

log x

1

a

x ln a

x

1

2 x

n x

1

n

n

n x 1

−

I tę tabelkę musimy znać na pamięć

Do obliczenia pochodnych musimy jeszcze znać podstawowe wzory (gdzie f, g, h to funkcje): Funkcja

Pochodna

f ± g

f ′ ± g ′

c × f

c × f ′

f × g

f ′ × g + f × g′

f × g × h

f ′ × g × h + f × g′ × h + f × g × h′

f

f ′ × g − f × g′

g

2

g

f ( g )

f (

′ g)× g′

Przykłady:

1) Funkcja f ( x) = (3 x − ) 1 ( x + 2). Pierwszy nawias to funkcja f, drugi to g.

Korzystamy z trzeciego wzoru z drugiej tabeli.

f (

′ x) = (

′

′

3 x − )

1 ( x + 2) + (3 x − ) 1 ( x + 2) = (

3 x + 2) + (3 x − ) 1 ×1 = 3 x + 6 + 3 x −1 = 6 x + 5

Można oczywiście przed przystąpieniem do liczenia pochodnej wymnożyć te dwa nawiasy, ale chciałem pokazać jak korzystać ze wzorów.

2) Funkcja f ( x) = ln( x ), ln to f, pierwiastek to g Korzystamy z ostatniego wzoru z drugiej tabeli.

f (

′ x)

1

1

1

1

1

=

×

=

=

=

x

2

2

x

2 × 2

4

2 2