Drgania harmoniczne proste i tłumione
Zad.1
Ciało o masie 10 g wykonuje drgania, które w układzie SI opisać można równaniem: x = 0.2 sin(π/2( t+1/3)).
Znaleźć liczbowe wartości energii kinetycznej i potencjalnej ciała po upływie 4 s od chwili początkowej. Jaka
jest całkowita energia ciała? Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia drgań energia kinetyczna jest równa potencjalnej.
Zad.2
Drgania punktu materialnego odbywają się zgodnie ze wzorem: x = 0.03 sin(π ( t-0.5)). Znaleźć największe wartości szybkości i przyspieszenia. Jakie będzie wychylenie, prędkość, energia kinetyczna, potencjalna i całkowita po czasie 2/3 s od chwili rozpoczęcia drgań? Masa ciała jest równa 0.01 kg.
Zad.3
Znaleźć masę ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie 0.1 m, częstotliwości 2 Hz i fazie początkowej 30°, jeżeli całkowita energia ciała jest równa 7,7·10-3 J. Po ilu sekundach od chwili początkowej
energia kinetyczna będzie równa energii potencjalnej?
Zad.4
Znaleźć amplitudę drgań harmonicznych punktu materialnego, jeżeli całkowita energia jest równa E a siła
działająca przy wychyleniu równym połowie amplitudy jest równa F.
Zad.5
Jaki jest stosunek energii kinetycznej punktu drgającego harmonicznie do jego energii potencjalnej w chwilach,
gdy wychylenie punktu z położenia równowagi wynosi: a) x = A/4; b) x = A/2; c) x = A (A – amplituda drgań).
Okres drgań wynosi T.
Zad.6
Znaleźć okres wahań ciężarka na wadze sprężynowej, jeżeli w stanie równowagi przesuwa on wskaźnik wagi
o Δ x od podziałki zerowej.
Zad.7
Jeden koniec sprężyny przymocowano do ściany, a do drugiego końca przyczepiono ciało o masie m. Ciało to
leży na doskonale gładkiej powierzchni. Następnie ciało wychylono z położenia równowagi o x 0. Współczynnik
sprężystości sprężyny wynosi k. Obliczyć: a) okres drgań; b) maksymalną prędkość drgającego ciała; c) mak-
symalne przyspieszenie ciała; d) całkowitą energię układu drgającego w punktach x = A (A - amplituda drgań)
i x = 0.
Zad.8
Na dwóch sprężynach o współczynnikach sprężystości k1 i k2 połączonych a) równolegle, b) szeregowo powieszono ciało o masie m. Pomijając opory ruchu oraz masy sprężyn znaleźć w obu przypadkach okres
drgań masy m.
Zad.9
Klocek o masie M przymocowano do sprężyny o współczynniku sprężystości k. Drugi koniec sprężyny przymocowano do ściany. Z boku, w kierunku klocka wystrzelono pocisk o masie m. Pocisk uderza w klocek
z prędkością v. Po zderzeniu pocisk pozostaje w klocku. Obliczyć amplitudę powstałego ruchu harmonicznego.
Klocek może się ślizgać po podłożu bez tarcia.
Zad.10
Zlewkę postawiono na płytce umocowanej na sprężynie tak, że całość może wykonywać ruch harmoniczny
prosty z okresem T. Gdy do zlewki spadła jedna kropla rtęci, to okres drgań układu wynosił T1. Ile wynosił by
okres drgań Tn, gdyby do zlewki spadło jednocześnie n takich samych kropel rtęci?
Zad.11
W rurce zgiętej w kształcie litery U znajduje się słup wody o długości L, przy czym w chwili początkowej
poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie okres drgań słupa wody(pominąć
siły lepkości)? Napisać kinematyczne równanie ruchu drgającego, tzn. zależność wychylenia x od czasu, jeżeli
największa różnica poziomów cieczy jest w chwili początkowej i wynosi h.
Zad.12
Wyznacz stosunek okresów drgań areometru w cieczach o gęstościach d 1 i d 2.
Zad.13
Walec o polu podstawy S i masie m zanurzono w cieczy o gęstości ρ. Obliczyć okres małych drgań walca jeżeli
wiadomo, że w chwili początkowej walec nieznacznie pchnięto w kierunku pionowym. Wszelkie opory ruchu
pominąć.
Zad.14
Probówka obciążona śrutem pływa częściowo zanurzona w wodzie o gęstości ρ. W pewnej chwili probówka
została wepchnięta na pewną głębokość do wody i puszczona swobodnie. Obliczyć okres T drgań własnych
probówki, jeśli pole przekroju poprzecznego probówki wynosi S, a masa probówki za śrutem wynosi m.
Dwa wahadła matematyczne wykonują w tym samym czasie odpowiednio n1=10 drgań i n2=6 drgań. Różnica
długości wahadeł wynosi Δl=16cm. Obliczyć długości l1 i l2 wahadeł.
Zad.16
W ruchu harmonicznym prostym tłumionym po czasie t1=4T amplituda zmalała dwukrotnie. Ilu krotne zmalała
w tym czasie energia układu i po jakim czasie zmaleje ona dwukrotnie?
Zad.17
Dekrement logarytmiczny tłumienia wahadła matematycznego jest równy 0.2. Ile razy zmaleje amplituda wahań w ciągu jednego całkowitego wahania wahadła.
Zad.18
Wahadło matematyczne o długości 0.5 m wyprowadzone z położenia równowagi wychyla się podczas
pierwszego wahnięcia o 5 cm a podczas drugiego (w tę samą stronę) o 4 cm. Znaleźć czas relaksacji, to jest
czas podczas którego amplituda maleje e razy.
Zad.19
Na wodzie pływa spławik i porusza się ruchem harmoniczny prostym tłumionym. W chwili t=0 spławik ma
maksymalne wychylenie A0. Po czasie t1=2T wychylenie spławika zmalało dwukrotnie. Ile wynosi logaryt-
miczny dekrement tłumienia? Jakie będzie wychylenie spławika po czasie 3T?
Zad.20
Szarpnięty przez rybę spławik (w kształcie patyka) wpadł w drgania tłumione. Po czasie t8=4T=4s (T – okres
drgań) amplituda drgań zmalała 8 razy. Oblicz logarytmiczny dekrement tłumienia oraz częstotliwość drgań
własnych.
Zad.21
W odstępie czasu Δt1 energia drgań w ruchu harmonicznym słabo tłumionym zmalała n-krotnie. Ile razy zmaleje amplituda drgań w tym ruchu w odstępie czasu Δt2?
Zad.22
Na pionowo wiszącej sprężynie wisi ciężarek, sprężyna wydłużyła się o 9.81 cm. Ciężarek ten wprawia się
w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia, aby:
a) drgania ustały po 10 s (założyć, że drgania ustają, gdy amplituda zmaleje do 1% wartości początkowej),
b) dekrement logarytmiczny tłumienia był równy 6.
Zad.23
Amplituda drgań ciężarka zmalała cztery razy w czasie 2 min. Ile razy zmaleje w czasie 3 min.
Zad.24
Wahadło matematyczne o długości 25 cm wykonuje wahania tłumione. Po jakim czasie energia wahań zmaleje
16 razy. Dekrement logarytmiczny tłumienia jest równy 0.1.
Zad.1
Fala o długości 25cm rozchodzi się w pewnym ośrodku z prędkością 5km/s. Ile wynosi częstość tej fali?
Zad.2
Fala stojąca o częstotliwości f=200Hz powstaje w ośrodku, w którym jej prędkość wynosi V=400m/s. Ile
wynosi odległość między sąsiednimi strzałkami tej fali?
Zad.3
Częstość tonu podstawowego wydawanego przez strunę wynosi f o. Jaką częstotliwość otrzymamy, skracając
strunę o ∆l=¼ długości?
Zad.4
Długość struny gitarowej wynosi L=0,5m, a dźwięk wydawany przez nią ma częstotliwość f = 3kHz. Ile wynosi prędkość rozchodzenia się dźwięku w strunie?
Zad.5
Jaka jest długość struny, jeżeli po skróceniu jej o d = 3,6cm (przy zachowaniu stałego napięcia) częstotliwość
drgań wzrosła 1,059 razy?
Zad.6
Dwie gitarowe struny E1, stalowa i nylonowa, nastrojone są na tą samą częstotliwość (329,6kHz). Ich długość
jest taka sama, a struna stalowa ma siedmiokrotnie większą gęstość i dwukrotnie mniejszą średnicę . Która
struna jest napięta większą siłą?
Zad.7
Częstotliwość najniższego dźwięku wydawanego przez organy w Katedrze Oliwskiej wynosi f = 27,5 Hz. Jaka
jest długość piszczałki organowej odpowiadającej tej częstotliwości? Prędkość dźwięku w powietrzu w warunkach normalnych wynosi v = 340m/s.
Zad.8
Dwa elektrowozy zbliżają się do siebie, jadąc po sąsiednich torach z prędkościami v1=30m/s i v2=10m/s.
Pierwszy pojazd daje sygnał, którego wysokość tonów odpowiada częstotliwości f=500Hz. Znaleźć częstotli-
wość odbieraną przez drugiego pasażera przed i po minięciu się pojazdów. Jakie byłyby to częstotliwości, jeśli
sygnał wysyłałby drugi pojazd, a odbierał go pasażer pierwszego elektrowozu?
Zad.9
Okręt podwodny płynący ze stałą prędkością v z = 10m/s wysyła w kierunku swojego ruchu impuls ultradźwię-
kowy o częstotliwości f = 30kHz, który wraca po upływie czasu t = 0,6s i ma częstotliwość f 1 = 30,3kHz. W
jakiej odległości znajduje się obiekt, od którego odbił się impuls i z jaką prędkością się porusza? Prędkość
dźwięku w wodzie wynosi c = 1450m/s.
Zad.10
Kierowca samochodu jadąc autostradą z prędkością 108 km/h mija jadący, z tą sama prędkością, w przeciwnym
kierunku samochód straży pożarnej. Emituje on sygnał akustyczny o częstotliwości f = 500 Hz. Jaką częstotliwość dźwięku będzie słyszał kierowca samochodu, gdy:
a)
samochód straży pożarnej zbliża się do niego
b)
samochód straży pożarnej oddala się od kierowcy.