1

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI dla ZB III

dr inż Krzysztof Bryś

Wyk lad 1

Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa.

1. Poj¸ecia wst¸epne.

Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje o zbiorze możliwych wyników tego doświadczenia. Wynik doświadczenia losowego wykluczaj¸acy inne możliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.

UWAGA: Zak lada si¸e, że w wyniku doświadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elementarne.

Zbiór wszystkich zdarzeń losowych nazywamy przestrzeni¸a zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω.

Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik doświadczenia losowego. Każde zdarzenie losowe jest zbiorem zdarzeń elementarnych

UWAGA: Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny podzbiór zbioru Ω

Zdarzenie ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym.

Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.

Jeżeli dla dwóch zdarzeń A i B zachodzi A ∩ B = ∅, to mówimy, że zdarzenia te wykluczaj¸a si¸e (s¸a roz l¸aczne).

Przyk lady. Zdarzenie A = miesi¸ac kwiecień ma 31 dni jest zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie B =

miesi¸ac kwiecień ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzień tygodnia niż niedziela.

Przyk lad. Rozważmy doświadczenie losowe polegaj¸ace na jednokrotnym rzucie monet¸a. Przestrzeń zdarzeń elementarnych sk lada sie z dwóch elementów, zdarzenia ωO polegajacego na wypadni¸eciu or la i ωO, które oznacza wypadni¸ecie reszki. Wypiszmy wszystkie możliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe): A 1 = Ω = {ωO, ωR}, A 2 = {ωO}, A 3 = {ωR}, A 4 = ∅.

Zdarzenie A 1 polega na wypadni¸eciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A 4 polegaj¸ace na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie może zajść w wyniku naszego doświadczenia losowego. Jest to zdarzenie niemożliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A 2 - wypad l orze l jest zdarzenie A 3 - wypad la reszka.

Zwróćmy uwag¸e na to, że A 2 ∪A 3 = Ω (w wyniku rzutu monet¸a wypadnie orze l lub reszka) oraz A 2 ∩A 3 = ∅

(nie może wypaść jednocześnie orze l i reszka).

2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Niech Ω b¸edzie zbiorem skończonym, to znaczy Ω = {ω 1 , ω 2 . . . , ωN}. Dla dowolnego zdarzenia A ⊆ Ω takiego, że A = {ωi , ω , . . . , ω }, gdzie i

1

i 2

ik

1 , i 2 , . . . , ik ∈ { 1 , 2 , . . . N }, definiuje si¸

e funkcj¸e praw-

dopodobieństwa w nast¸epuj¸acy sposób:

P ( A) = P ( {ωi }) + P ( {ω }) + . . . + P ( {ω }) .

1

i 2

ik

W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P ( ω 1) = P ( ω 2) = . . . =

P ( ωN) = 1 , otrzymujemy nast¸epuj¸acy wzór:

N

|A|

k

liczba zdarzeń elementarnych sprzyjaj¸acych zdarzeniu A

P ( A) =

=

=

.

|Ω |

N

liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

Powyższa definicja prawdopodobieństwa nie jest poprawna w ogólności, gdyż zbiór Ω nie musi być skończony a zdarzenia elementarne nie musz¸a by˙c jednakowo prawdopodobne.

2

3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.

Niech Ω b¸edzie przestrzeni¸a zdarzeń elementarnych, Z zbiorem zdarzeń losowych.

Funkcj¸a prawdopodobieństwa nazywamy funkcj¸e P : Z → [0 , 1] spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace trzy aksjomaty: P 1) P ( A) ≥ 0 dla każdego A ∈ Z,

P 2) P (Ω) = 1

P 3) jeżeli A 1 , A 2 , . . . , An . . . jest ci¸agiem zdarzeń roz l¸acznych (to znaczy Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j), to P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ An ∪ . . . ) = P ( A 1) + P ( A 2) + . . . + P ( An) + . . .

Wartość funkcji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A 4. W lasności funkcji prawdopodobieństwa.

1. P ( ∅) = 0.

2. Jeśli A ⊆ B, to P ( A) ≤ P ( B).

3. Dla dowolnego A ⊆ Ω P ( A) ≤ 1.

4. Jeśli A ⊆ B, to P ( B \ A) = P ( B) − P ( A).

5. Dla dowolnego A ⊆ Ω P ( A) + P ( A) = 1.

6. P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B).

7. Jeżeli zdarzenia A 1 , A 2 , . . . , An s¸a parami roz l¸aczne, to P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ An) = P ( A 1) + P ( A 2) +

. . . + P ( An).

5. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależnoś˙c.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zasz lo zdarzenie B: P ( A ∩ B)

P ( A|B) =

P ( B)

Doświadczenia niezależne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.

Zdarzenia niezależne = zdarzenia A, B, dla których:

P ( A ∩ B) = P ( A) · P ( B)

albo

P ( A|B) = P ( A) lub P ( B|A) = P ( B) Informacja o zajściu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸apienia drugiego.

5. Zupe lny uk lad zdarzeń. Wzór Bayesa

Zdarzenia A 1 , . . . , An tworz¸a zupe lny uk lad zdarzeń jeśli: 1. A 1 ∪ . . . ∪ An = Ω,

2. Ai ∩ Aj = ∅ dla każdego i 6= j, i, j = 1 , 2 , . . . , n

3

Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupe lnym

Jeśli zdarzenia A 1 , . . . , An tworz¸a zupe lny uk lad zdarzeń, to dla każdego zdarzenia B : P ( B) = P ( A 1 ∩ B) + . . . + P ( An ∩ B) = P ( A 1) · P ( B|A 1) + . . . + P ( An) · P ( B|An) Wzór Bayesa

Jeśli zdarzenia A 1 , . . . , An tworz¸a zupe lny uk lad zdarzeń, to dla każdego zdarzenia B takiego, że P ( B) > 0

oraz dowolnego j = 1 , 2 , . . . , n zachodzi wzór :

P ( A

P ( A

j ∩ B)

j |B) =

=

P ( A 1 ∩ B) + . . . + P ( Aj ∩ B) + . . . + P ( An ∩ B) P ( A

=

j ) · P ( B|Aj )

P ( A 1) · P ( B|A 1) + . . . P ( Aj) · P ( B|Aj) + . . . + P ( An) · P ( B|An) Zmienna losowa jednowymiarowa

Intuicyjnie: zmienna, która przyjmuje pewn¸a wartość liczbow¸a w wyniku doświadczenia losowego.

Formalnie: Funkcja X : Ω → R przyporz¸adkowuj¸aca każdemu zdarzeniu losowemu pewn¸a wartość liczbow¸a

Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja FX : R → R zdefiniowana nast¸epuj¸aco: F ( x) = P ( X < x) dla każdego x ∈ R

Zmienna losowa typu skokowego

Zmienna X, dla której zbiór wartości przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest skończony lub przeliczalny, tzn WX = {x 1 , x 2 , . . . , xn} albo WX = {x 1 , x 2 , . . . , xn, ldots}

Rozk lad prawdopodobieństwa: funkcja P , która każdemu punktowi skokowemu xi ∈ WX przyporz¸adkowuje skok prawdopodobieństwa pi = P ( X = xi) w taki sposób, że: 1) dla każdego i : pi > 0 oraz

X

2)

pi = 1

i

.

Zmienna losowa typu ci¸ag lego

Zmienna X, dla której zbiór wartości przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest przedzia lem liczbowym lub sum¸a przedzia lów.

Rozk lad prawdopodobieństwa: funkcja f zwana g¸estości¸a prawdopodobieństwa taka, że 1) dla każdego x ∈ R : f ( x) ≥ 0 oraz

Z + ∞

2)

f ( x) dx = 1

−∞

.

Podstawowe parametry zmiennej losowej

1. Wartość oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) b¸ed¸aca średnia ważon¸a rozk ladu prawdopodobieństwa przy za lożeniu, że wag¸a jest prawdopodobieństwo (dla zmiennej losowej typu skokowego) albo środkiem ci¸eżkości rozk ladu prawdopodobieństwa przy za lożeniu, że g¸estości¸a jest funkcja g¸estości prawdopodobieństwa (dla zmiennej losowej typu ci¸ag lego).

4

2. Wariancja zmiennej losowej X= D 2( X) = wartość oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej od jej wartości oczekiwanej - miara średniego odchylenia kwadratowego.

3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D( X)= pierwiastek z wariancji - miara średniego odchylenia zmiennej od jej wartości oczekiwanej.

4. Kwantyl rz¸edu p = xp = punkt, w którym skumulowane prawdopodobieństwo (dystrybuanta) osi¸aga (przekracza) wartość p.

mediana= Me=kwantyl rz¸edu 12

kwartyl dolny= Q 1=kwantyl rz¸edu 14

kwartyl dolny= Q 3=kwantyl rzedu 34

i-ty decyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu ( i − 1) · 0 . 1 a kwantylem rz¸edu i · 0 . 1

i-ty percentyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu ( i − 1) · 0 . 01 a kwantylem rz¸edu i · 0 . 01

5. Moda (dominanta; wartoś˙c modalna) = punkt, w którym funkcja prawdopodobieństwa osi¸aga najwi¸eksz¸a wartoś˙c.