Dotychczas omówione metody w przypadku układów złoŜonych naleŜą do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń moŜna uzyskać wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóŜmy tymczasowo, Ŝe energia spręŜysta układu pochodzi tylko od momentów gnących.
RozwaŜmy belkę spoczywającą na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciąŜoną siłami F1, F2, …., Fi, …., Fn.
F1
F2
Fi
Fn
A
B
x
RA
i
RB
l
Energia spręŜysta belki w przedziale i wynosi: 1
V
M 2 dx
i = ∫
gi
i
2 EI
li
gdzie:
Mgi – moment gnący w przekroju określonym współrzędną xi belki. Symbol li przy znaku całki oznacza całkowanie na długości przedziału xi belki
Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciąŜoną w punkcie C jednostkową siłą fikcyjną Ffik = 1. Dla tak obciąŜonej belki moŜna łatwo wyznaczyć wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną xi moment gnący oznaczamy jako M’gi. Dla dowolnej wartości siły Ffik moment gnący w przekroju xi belki wyniesie M’giFfik.
Ffik = 1
A
B
C
RA’
xi
RB’
l
M’
g(x)’
M’gi
+
x
JeŜeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę fikcyjną Ffik, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji, w przekroju określonym współrzędną xi belki wyniesie Mgi + M’giFfik.
Wartość energii spręŜystej w przedziale i określi wówczas zaleŜność:
V
M
M F
2 dx
i = ∫
( gi + ′ gi fik ) i
2 EI
i
l
Ffik = 0
F
F
F
3
F
1
2
n
A
B
C
u
RA
R
B
x
i
l
Jeśli uwzględni się, Ŝe energia spręŜysta w całej belce jest sumą energii dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie z twierdzeniem Castigliano wynosi:
1
u = ∫
( M + M′ F
′
g
g
fik ) M dx
EI
g
0
PoniewaŜ w rzeczywistości siła fikcyjna Ffik jest równa zeru ( Ffik = 0) to otrzymujemy wyraŜenie zwane wzorem Maxwella-Mohra:
l M M ′
u
g
g
= ∫
dx
EI
0
Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której
występuje
moment
gnący
spowodowany
rzeczywistym
obciąŜeniem zewnętrznym Mg, oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa
siła
fikcyjna
( Ffik = 1) odpowiadającą temu
przemieszczeniu M ′ g .
Nietrudno udowodnić, Ŝe jeśli energia spręŜysta układu będzie zaleŜeć od następujących obciąŜeń zewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zaleŜnością: l NN ′ M M ′
M M ′
M M ′
β T T ′
β
′
gy
gy
gz
gz
y
y
y
T T
u
S
S
z
z
z
= ∫
+
+
+
+
+
dx
EA
GI
EI
EI
GA
GA
0
S
y
Z
gdzie:
N ′ , M ′
M ′
M ′
T ′
T ′
s ,
gy ,
gz ,
y ,
z ,
– odpowiednie składowe sił
wewnętrznych przy obciąŜeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik = 1.
Przykład. Belka o długości 3 l i sztywności EI, podparta przegubowo na obu końcach, obciąŜona jest siłami skupionymi F i 2 F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C przyłoŜenia siły 2 F .
x
x
x
F
2 F
A
B
C
R
A
RB
l
l
l
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
∑ F
F
F
R
R
y =
;
0
+ 2 − A − B = 0
∑ M
Fl
F l
R
l
( A
= ;
0
)
+ 2 2 −
3
B
= 0
stąd
R =
F
A
3
5
R = F
B
3
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 ≤ x ≤ l
4
M
=
=
g 1 ( x )
R x
Fx
A
3
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego l ≤ x ≤ l
2
1
M
2
=
−
− =
+
g ( x )
R x
F
A
( x l)
Fx
Fl
3
Przedział 3 dla układu zasadniczego
l
2 ≤ x ≤ l
3
5
M
=
−
− − 2
− 2 = −
+ 5
g 3 ( x )
R x
F
A
( x l) F( x l)
Fx
Fl
3
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
∑ F
F
R
R
y =
;
0
fik −
′ A − ′ B = 0
F
l
R
l
( A) =
;
0
2
fik
−
3
'
B
= 0
x
x
Ffik = 1
A
B
C
R’
A
R’B
l
l
l
stąd
1
R′ A = 3
2
R′
B = 3
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
0 ≤ x ≤ l
2
1
M ′
= ′
= ′ =
g 1 ( x )
M g 2 ( x) R x
x
A
3
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
l
2 ≤ x ≤ l
3
2
M ′
= ′ −
− 2 = −
+ 2
g 3 ( x )
R x
F
A
fik ( x
l )
x
l
3
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie uC w punkcie C
wynosi:
l
2 l
3 l
1
uC =
∫ M g 1( x) M ′ g 1( x) dx + ∫ M g 2( x) M ′ g 2( x) dx + ∫ M g 3( x) M ′ g 3( x)
dx
EI
0
l
2 l
czyli
l
2 l
1
4
1
1
3 l 10
20
u
Fx 2 dx
Fx 2
Flx dx
Fx 2
Flx
10 Fl 2 dx
C =
∫
+
∫
+
+
∫
−
+
EI 9
9
3
9
3
0
l
2 l
po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:
8
4
1
1
3
3
3
3
3
uC =
Fl +
Fl +
Fl −
Fl − Fl +
EI 24
27
6
27
6
270
180
80
80
3
3
3
3
3
3
+
Fl −
Fl + 30 Fl −
Fl +
Fl − 20 Fl
27
6
27
6
stąd
23 Fl 3
u =
C
18 EI
Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz obciąŜona równomiernie na długości 2 r obciąŜeniem q. Wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.
x
q
B
RC
C
2r
r α
R
A
Ay
R
Ax
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
∑ F
R
x =
;
0
Ax = 0
∑ F
qr
R
R
y =
;
0
2
− Ay − C = 0
∑ M
qr r
R
r
( A
= ;
0
)
(2 ) − 2
C
= 0
R
= 0
Ax
R
= qr
Ay
R = qr
C
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 ≤ x ≤ 2 r
1
M
=
−
= −
2
1
+
g ( x )
R x
C
( ) x
qx
qx
qrx
2
2
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego 0 ≤ α ≤ π
M
= − R r
= − qr
g 2 (α )
sin
Ay
α
2 sinα
3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1
∑ F
R
x =
;
0
'
Ax = 0
∑ F
R
R
y =
;
0
Ay −
'
'
C = 0
∑ M
M
R
r
( A
= ;
0
)
fik −
2
'
C
= 0
stąd
Ax
1
R '=
Ay
2 r
1
R '=
C
2 r
x
RC’
B
C
Mfik = 1
2r
r α
A
RAx’
RAy’
4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1
Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym
0 ≤ x ≤ 2 r
M ′ x
g
= R′ x
C
− M fik =
x −
1 (
)
1
1
2 r
Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym
0 ≤ α ≤ π
M ′ g
= R′ r
Ay
=
2 (α )
α 1
sin
sin α
2
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu uC w punkcie C
wynosi:
2 r
π
1
uC =
∫ M g 1( x) M ′ g 1( x) dx + ∫ M g 2 (α ) M ′ g 2 (α )
dα
EI
0
0
czyli
2 r
π
1
1
1
2
3
u
qx
qrx
qx
dx
qr 3
2
sin α dα
C =
∫
−
−
+ ∫−
( )
EI
4 r
2
0
0
stąd
3
qr 1
π
u
C = −
+
EI 3
4
Znak minus oznacza, Ŝe przekrój C obróci się w stronę przeciwną w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego.
Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra MoŜna udowodnić, Ŝe całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra dla typowych przypadków obciąŜeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest to iloczyn Ω pola wykresu momentów gnących Mg od obciąŜenia zasadniczego oraz rzędnej M’gc wykresu momentów gnących M’g od obciąŜenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka geometrycznego C pola Ω, czyli:
l∫ M M′ dx = Ω M′
g
g
gc
0
Mg
C
Ω - pole
x
wykresu Mg
xc
Mgc’ = axc + b
Mg’
prosta y = ax + b
Wykres Mg’ dla uogólnionej siły jednostkowej Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia.
Wówczas korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.
Lp.
Mg
b
Mg’
l
a
l
a
l
a
a
l
Lp.
1
2
3
4
5
1
1
1
1
adl
adl
adl
( a + b) dl
l
d
2
2
2
1
1
1
1
2
adl
adl
adl
(2 a + b) dl
l
d
2
3
6
6
1
1
1
1
3
adl
adl
adl
( a + b
2 ) dl
l
d
2
6
3
6
e
1
1
1
4
a( d + e) l
a(2 d + e) l
a( d + 2 e) l 1 l[ a(2 d + e)+ b( d + e)]
d
l
2
6
6
6
d
1
1
1
5
adl
adl
adl
( a + b) dl
l/2 l/2
4
4
4
Lp.
Mg
b
c
a
a
Mg’
a
l
l
a
l
l
Lp.
1
6
7
8
9
1
2
1
2
1
adl
adl
adl
adl
l
d
2
3
3
3
1
1
1
1
2
ad ( l + c)
adl
adl
adl
l
d
6
3
4
4
1
1
1
5
3
ad ( l + b)
adl
adl
adl
l
d
6
3
12
12
e
1
1
1
1
4
a[ d ( l + c)+ e( l + b)]
6
a( d + e)
al( d
3 + e)
al( d
3 + e
5 )
d
l
l
3
3
3
d
1 adl l
b
2 2
1
1
1
5
−
adl
adl
adl
l/2 l/2
2 c 2
l
3
2
6
2
Przykład. Belka o długości 3 l i sztywności EI, podparta na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciąŜona jest siłami skupionymi F i 2 F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C
przyłoŜenia siły 2 F .
x
x
x
F
2 F
A
B
C
R
A
RB
l
l
l
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
F
F
R
R
y =
;
0
+ 2 − A − B = 0
∑ M
Fl
F l
R
l
( A
= ;
0
)
+ 2 2 −
3
B
= 0
stąd
4
R =
F
A
3
5
R = F
B
3
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 ≤ x ≤ l
4
M
=
=
g 1 ( x )
R x
Fx
A
3
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
l ≤ x ≤ l
2
1
M
2
=
−
− =
+
g ( x )
R x
F
A
( x l)
Fx
Fl
3
Przedział 3 dla układu zasadniczego
l
2 ≤ x ≤ l
3
5
M
=
−
− − 2
− 2 = −
+ 5
g 3 ( x )
R x
F
A
( x l) F( x l)
Fx
Fl
3
x
x
x
F
2 F
A
B
C
RA
RB
l
l
l
5
Mg(x)
Fl
3
4
Fl
3
+
x
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
∑ F
F
R
R
y =
;
0
fik −
A −
'
'
B = 0
∑ M
F
l
R
l
( A) =
;
0
2
fik
−
3
'
B
= 0
x
x
Ffik = 1
A
B
C
R
A’
RB’
l
l
l
stąd
R '
A = 3
2
R '
B = 3
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
0 ≤ x ≤ l
2
1
M '
=
'
=
' =
g 1 ( x )
M g 2 ( x) R x
x
A
3
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
2 ≤ x ≤ l
3
2
M
'
=
' −
− 2 = −
+ 2
g 3 ( x )
R x
F
A
fik ( x
l )
x
l
3
x
x
Ffik = 1
A
B
C
RA’
RB’
l
l
l
2
Mg’( x) l
3
1
l
+
3
x
5. Wyznaczenie przemieszczenia uC
Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli moŜna określić ugięcie w punkcie C:
Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli: 1
1 4
1
4
3
C = adl = ⋅ Fl ⋅ l ⋅ l =
Fl
1
3
3 3
3
27
Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli: 1
1
4
1
2
5
1
2
C 2 = l[ a(2 d + e) + b( d + 2 e)]
= l Fl 2 l + l + Fl l + 2 l =
6
6 3
3
3
3
3
3
3
=
Fl
54
Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli: 1
1 5
2
10
3
C = adl = ⋅ Fl ⋅ l ⋅ l =
Fl
3
3
3 3
3
27
stąd
1
3 4
41
10
69
3
23
3
u =
+
+
=
+
+
=
=
C
( C C C
1
2
3 )
Fl
Fl
Fl
EI
EI 27
54
27
54 EI
18 EI