Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
Zad.1. Dla zadanej ramy statycznie niewyznaczalnej: a) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych korzystając z metody sił.
b) wykonać sprawdzenie kinematyczne.
c) obliczyć przemieszczenie poziome pktu A.
d) wyznaczyć wypadkowe przemieszczenie pktu A.
Zad.1a)
1. Schemat konstrukcji:
SSN=1;
EI=const
E=205Gpa;
I160:
Ix=935cm4
EI=1916,75kNm2
EI
k=
α
6
2. Układ podstawowy:
Układ spełnia warunki
statycznej wyznaczalności
i geometrycznej niezmienności.
α
3. Układ równań kanonicznych sprowadza się do równania : δ11 · X1 + δ1P = 0
gdzie: współczynniki δik, δiP:
l
l
δ
M M
M M
dx ;
δ
dx ;
iP = ∑ ∫
i
P
ik = ∑ ∫
i
k
EI
EI
0
0
gdzie: Mi – momenty zginające od obciąŜenia siłą jednostkową Xi=1,0 (w ukł. podst.) Mp – momenty zginające od obciąŜenia zewnętrznego (w ukł. podst.) www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 1
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
3.1. Stan X1 = 1:
α
3.2. Stan „P”:
α
3.3. Obliczenie współczynników δik, δiP
l
2
δ
11 = ∑ ∫ M1 dx
EI
0
1 1
2
1
2
6
30
δ =
⋅ 3⋅3⋅ ⋅ 3 + ⋅ 5⋅3⋅ ⋅ 3 +1⋅1⋅
=
11
EI 2
3
2
3
EI
EI
l M1 ⋅ M
δ
1
= ∑∫
p dx
P
EI
0
1 1
2
2 8 ⋅ 32
1
1
2
1
216
δ =
⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 36 − ⋅
⋅3⋅ ⋅3 + ⋅5⋅ 3⋅ ⋅ 42 − ⋅ 30 =
1P
EI 2
3
3
8
2
2
3
3
EI
3.4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych: 30/EI · X1 + 216/EI = 0 ⇒ X1 = -7,200 kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 2
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
4. Wykresy sił wewnętrznych w ramie: α
Zad.1b)
Kontrola kinematyczna.
- kąt obrotu pktu B:
l
(n)
(n
M
M )
1 ⋅ϕ = ∑ ∫
p
dx
B
EI
0
- zgodnie z tw. redukcyjnym:
l
(n)
(n)
l
(n
M
M
M ) M 0
1 ⋅ϕ = ∑ ∫
p
dx
dx
B
=∑∫ p
EI
EI
0
0
- poniewaŜ
0
M
= M :
1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 3
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
l
(n
M ) M
1 ⋅ϕ = ∑ ∫
p
1 dx
B
=
EI
0
1 1
2
2 8 ⋅ 32
1
1
1
2
1
6
0
=
⋅ 3 ⋅1⋅ − ⋅ ,
14 4 +
⋅
⋅3⋅ ⋅1+ ⋅ 5⋅1⋅ ( ⋅ 30 − ⋅ ,
20 )
4 + ⋅ ,
7 20 ⋅
=
= 0
EI 2
3
3
8
2
2
3
3
3
EI
EI
Zad.1c)
Przemieszczenie poziome punktu A (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych): l
(n)
(n
M
M )
1 ⋅ H
δ
dx
A
= ∑∫ pEI
0
Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.1. wykresu momentów zginających: l
(n)
(n)
l
(n
M
M
M ) M 0
1 ⋅ H
δ
dx
dx
A
= ∑ ∫ p
=∑ ∫ p
EI
EI
0
0
α
1 1
2
1
132
H
δ
=
⋅5⋅ 4 ⋅ ( ⋅ 30 − ⋅ ,
20 )
4
=
A
EI 2
3
3
EI
Wymiarowanie przekroju:
M
potrz
ekstr
3000
3
w
=
=
=
53
,
139
cm
x
σ
5
,
21
x
dla I 180: Wx = 161,0 cm3 (Wx potrz. = 139,53 cm3) Ix = 1450 cm 4
EI = 2972,50kNm2
132
M
δ
=
= 0444
,
0
m = ,
4
cm
44
A
EI
Przemieszczenie poziome punktu A (dla I180) wynosi: H
δ = ,
4 44 cm
A
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 4
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
Zad.1d)
Przemieszczenie pionowe punktu A równa się wydłuŜeniu spręŜyny
- reakcja w podporze spręŜynowej: RA = x1 = 7,2 kN
1
6
- podatność spręŜyny
=
k
EI
6
,
43 2
V
1 ⋅δ
= ,
7 2 ⋅
=
=
m
0145
,
0
= ,1 cm
45
A
EI
EI
Przemieszczenie pionowe punktu A (dla I180) wynosi: H
δ = ,145 cm
A
Przemieszczenie wypadkowe pktu A
2
2
δ
= δ
+ δ
=
,
4 442 + ,
1 452 = ,
4 67
A
( HA ) ( VA )
cm
Przemieszczenie wypadkowe punktu A (dla I180) wynosi: δ = 67
,
4
cm
A
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 5
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons 6