**.Identyfikacja stochastyczna u( t), y( t), z( t) - stacjonarne (ergodyczne?) procesy stochastyczne, m

m

m

- wartości średnie procesów, u =

y =

z ≡ 0

**.Charakterystyki procesów stochastycznych

Charakterystyki statyczne gę stość prawdopodobień stwa (dystrybuanta prawdopodobień stwa)

Gęstość prawdopodobieństwa określona jest przez wzór:

def

≤

< +

∆

f

= lim

x ( x )

{

P x

x( t) x

}

x

∆ x→0

∆ x

wzór określa prawdopodobieństwo Ŝe proces x( t) znajdzie się w „rurce” ( x, x +

∆ x).

Dystrybuantę dla procesu x( t) określa następny wzór: x

d F x

F

= ∫ ξ ξ =

≤

f

=

x ( x )

x (

)

x ( x )

f x ( ) d

{

P x( t)

}

x

d x

0

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta posiadają następujące własności:

∞

∫ f

x ( x )

dF

x

dx ≡

1 l

im Fxx ( x)

xx ( )

≡ 1

≥ 0

x→∞

dx

0

Charakterystyki dynamiczne funkcja korelacji (gę stość widmowa)

Funkcja korelacji własnej dla stacjonarnego ergodycznego procesu x( t)o wartości średniej m

dana jest wzorem, funkcja ta osiąga swoją maksymalną wartość dla τ = 0 .

x ≡ 0

R τ =

∫ x t ⋅ x t +τ dt R

= R

xx ( )

1 T

lim

( ) ( ) MAX

xx

xx (0)

T →∞ T 0

Funkcja określa jaki jest związek pomiędzy wartością funkcji x( t) a jej wartością x( t + t

∆ ).

Wprowadza się równieŜ funkcję korelacji wzajemnej w postaci: 1

R τ

lim

x t

y t τ d

t

xy ( )

T

=

∫ ( )⋅ ( + )

T →∞ T 0

Transformata Fouriera funkcji korelacji własnej zwana jest gęstością widmową własną sygnału x( t):

+∞

Φ

xx ( jω )

∫ Rxx(τ ) −

=

jωτ

e

dτ

−∞

Funkcja gęstości widmowej własnej jest funkcją rzeczywistą i symetryczną: Φ

j

= Φ

Φ

=

−

xx ( jω )

Φ xx ( jω)

xx ( ω )

xx (ω )

Podobnie transformata Fouriera funkcji korelacji wzajemnej zwana jest gęstością widmową wzajemną sygnałów x( t) i y( t) :

+∞

Φ

xy ( jω )

∫ Rxy(τ ) −

=

jωτ

e

dτ

−∞

Charakterystyki statyczne i dynamiczne sygnału stochastycznego x( t) powiązane są zaleŜnością:

+∞

Φ

∫

jω d ω = πσ

xx (

)

2

2

x

−∞

2

σ - wariancja sygnału x( t).

x

Oczywiście poprzez odwrotną transformatę Fouriera prawdziwe są dwa następne równania:

+∞

+∞

1

R

R

xx (τ )

∫ Φ xx( jω) −

=

ω

j τ

e

dω

xy (τ )

1 ∫ Φ xy( jω) −

=

ω

j τ

e

dω

2π

π

−∞

2 −∞