TECHNIKA POMIARÓW
(M-1)
www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape
Opracował: Dr in . Jan Około-Kułak
Sprawdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz
Zatwierdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz
1. Cel wiczenia.
Celem wiczenia jest poznanie techniki wykonywania pomiarów oraz
opracowywania wyników tak, aby były one zgodne z przepisami
obowi zuj cymi w Unii Europejskiej. Dokumenty ujednolicaj ce metody
obliczania niepewno ci pomiaru w laboratoriach akredytowanych zostały
opublikowane przez E.A. (Europejska Współpraca w dziedzinie Akredytacji).
Dokumenty te zostały przetłumaczone i wydane przez Zakład Metrologii
Ogólnej Głównego Urz du Miar i zatwierdzone przez Prezesa Głównego
Urz du Miar.
2. Wprowadzenie.
2.1 Technika pomiarów.
Czynno ci wykonywane przed i w czasie pomiarów badawczych powinny by
opisane w sprawozdaniu z pomiarów a je eli laboratorium ma akredytacj i certyfikat tak e w ksi dze jako ci laboratorium (w postaci opisu metody oraz procedury pomiarowej). [3].
Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z technik pomiarów:
Pomiar: Zbiór operacji maj cych na celu wyznaczenie warto ci wielko ci Warto ci wielko ci: Wyra enie ilo ciowe wielko ci równe iloczynowi liczby i jednostki miary.
Metoda pomiarowa: Logiczny ci g wykonywanych podczas pomiaru operacji opisanych w sposób ogólny
Procedura pomiarowa: Zbiór operacji opisanych w sposób szczegółowy i realizowanych podczas pomiaru zgodnie z dan metod
Wielko mierzona: Wielko okre lon stanowi c przedmiot pomiaru Wielko wpływaj ca: Wielko nie b d ca wielko ci mierzon , która ma jednak wpływ na wynik pomiaru
Wynik pomiaru: Warto przypisana wielko ci mierzonej, uzyskana drog pomiaru
Wynik surowy: Wynik pomiaru przed korekcj bł du systematycznego Wynik poprawiony: Wynik pomiaru po korekcji bł du systematycznego Dokładno pomiaru: Stopie zgodno ci wyniku pomiaru z warto ci
prawdziw wielko ci mierzonej
Powtarzalno (wyników pomiaru): Stopie zgodno ci wyników kolejnych pomiarów tej samej wielko ci mierzonej, wykonywanych w tych samych
warunkach pomiarowych
Odtwarzalno (wyników pomiarów): Stopie zgodno ci wyników kolejnych pomiarów tej samej wielko ci mierzonej wykonywanej w zmiennych warunkach 2.2. Niepewno pomiaru.
Niepewno pomiaru musi by okre lona i obliczona zgodnie z przewodnikiem
,,Wyra anie niepewno ci pomiaru” wydanym przez Główny Urz d Miar w 1999
roku [1]. Je eli pomiary s dokonywane w celu wydania wiadectwa
wzorcowania aparatury lub przyrz du przez akredytowane laboratorium
niepewno musi by okre lona zgodnie z dokumentem EA-4/02 (Europejskiej Współpracy w dziedzinie Akredytacji) wydanej po polsku przez G.U.M. w 2001
roku [4].
Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z niepewno ci pomiarów:
Niepewno (pomiaru): Parametr zwi zany z wynikiem pomiaru,
charakteryzuj cy rozrzut warto ci, które mo na w uzasadniony sposób przypisa warto ci mierzonej
Niepewno standardowa: Niepewno wyniku pomiaru wyra ona w formie odchylenia standardowego
Zło ona niepewno standardowa: Niepewno standardowa wyniku pomiaru okre lona, gdy wynik ten otrzymywane jest z pewnej liczby innych wielko ci, równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy wyrazów, b d cych wariancjami
lub kowariancjami tych innych wielko ci z wagami zale nymi od tego jak
wynik pomiaru zmienia si ze zmianami tych wielko ci
Niepewno rozszerzona: Wielko okre laj ca przedział wokół wyniku pomiaru od którego to przedziału oczekuje si , e obejmie du cz
rozkładu
warto ci, które w uzasadniony sposób mo na przypisa wielko ci mierzonej
Współczynnik rozszerzenia, pokrycia, obj cia: Współczynnik zastosowany jako mno nik zło onej niepewno ci standardowej w celu otrzymania
niepewno ci rozszerzonej najcz ciej: K <2÷3>
Obliczanie niepewno ci - metoda typu A: Metoda obliczania drog analizy statystycznej serii obserwacji
Obliczanie niepewno ci - metoda typu B: Metoda obliczania niepewno ci innymi sposobami ni analiza serii obserwacji
Bł d pomiaru: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a warto ci prawdziw wielko ci mierzonej
Bł d wzgl dny: Stosunek bł du pomiaru do warto ci prawdziwej wielko ci mierzonej (lub umownie prawdziwej)
Bł d przypadkowy: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a redni z
niesko czonej liczby wyników pomiarów tej samej wielko ci mierzonej
wykonanej w warunkach powtarzalno ci
Bł d systematyczny: Ró nica mi dzy redni z niesko czonej liczby pomiarów tej samej wielko ci mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalno ci a
warto ci prawdziw wielko ci mierzonej
Poprawka: Warto dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania bł du systematycznego
Współczynnik poprawkowy: Współczynnik liczbowy, przez, który nale y pomno y surowy wynik pomiaru, aby skompensowa bł d systematyczny
ródła niepewno ci pomiaru:
a) Niepełna definicja wielko ci mierzonej
b) Niedoskonała realizacja definicji wielko ci mierzonej
c) Niereprezentatywne próbkowanie
d) Niepełna znajomo oddziaływania otoczenia na pomiar
e) Niedoskonały pomiar warunków otoczenia
f) Subiektywne bł dy w odczytywaniu wskaza analogowych
g) Sko czona rozdzielczo albo próg pobudliwo ci przyrz du
h) Niedokładne warto ci przypisane wzorom
i) Niedokładne warto ci stałych i innych parametrów otrzymywanych ze ródeł
zewn trznych u ywanych w procedurach przetwarzania danych
j) Przybli enia i zało enia upraszczaj ce tkwi ce w metodzie i procedurze pomiarowej
k)Zmiany w powtarzanych obserwacjach wielko ci mierzonej w pozornie
identycznych warunkach
3.
Przykłady podawania zło onej niepewno ci standardowej „uc”
ms - masa odwa nika wzorcowego (100 g)
uc - warto zło onej niepewno ci standardowej
1) ms = 100,02147 g (ze zło on niepewno ci standardow )
uc = 0,35 mg
2) ms = 100,02147(35) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci (zło onej niepewno ci standardowej) uc odniesion do ostatnich cyfr podawanego
wyniku
3) ms = 100,02147(0,00035) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci
(zło onej niepewno ci standardowej) uc wyra onej w tej samej jednostce co wynik
4) ms = (100,02147 ± 0,00035) g - gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest warto ci zło onej niepewno ci standardowej uc, a nie jest przedziałem
ufno ci
U w a g a : 4) jest sposobem najrzadziej stosowanym - grozi pomyleniem z przedziałem ufno ci
Analiz zło onej niepewno ci pomiaru najlepiej jest jednak przedstawi w postaci tabeli zwanej bud etem niepewno ci. Wzór takiej tabeli podano
poni ej:
Symbol Estmata Niepewno Współczynnik Udział w
wielko ci
Wielko ci
standardowa wra liwo ci
zło onej
niepewno ci
standardowej
Xi
xi
u(xi)
f
∂
c =
ui=ci•u(xi)
i
x
∂ i
X1
x1
u(x1)
c1
u1(y)
X2
x2
u(x2)
c2
u2(y)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XN
xN
u(xN)
cN
uN(y)
Y
y
----------------- ------------------ u(y)
Gdzie: Y=f(X1;X2;.....;XN) oraz: y=f(x1;x2;...;xN)
Tabela ilustruj ca bud et zło onej niepewno ci standardowej najcz ciej
uzupełniona jest niepewno ci rozszerzon : U(y) = k•u(y)
z podanym poziomem ufno ci. Poziom ufno ci najcz ciej wynosi 0,95
(warto zalecana). Dla tak przyj tego poziomu ufno ci mo na dobra
współczynnik rozszerzenia ,,k” z tablic lub metod rachunkow (gdy
przyj ty rozkład g sto ci prawdopodobie stwa nie ma stablicowanej
dystrybuanty).
4.
Podstawowe poj cia statystyczne
U w a g a : wszystkie całkowania powinny by rozci gni te na cały przedział
zmiennej losowej
Warto oczekiwana (warto rednia): µz zmiennej losowej „z” o funkcji g sto ci prawdopodobie stwa p(z) definiuje si wzorem:
z
Estymata µz jest redni arytmetyczn z „n” niezale nych obserwacji: n
1
z =
z
n
i
1
Wariancj zmiennej losowej z o funkcji g sto ci prawdopodobie stwa p(z) definiuje si wzorem:
σ 2 z = z − µ 2
( )
(
z ) . p( z) dz
Estymat wariancji pojedynczej obserwacji zi pomiaru jest:
1
s 2 ( z) =
( z
− z 2
)
n
1
− 1
Estymat wariancji redniej z niezale nych pomiarów jest 2
s ( z =
1
)
( z
i −
2
z)
.
n ( n − )
1
Odchylenie standardowe: jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z wariancji
Kowariancja dwóch zmiennych losowych „y” i „z” jest miar ich wzajemnej zale no ci je eli przez p(y; z) oznaczymy dwuwymiarow g sto
prawdopodobie stwa zmiennych „y” i z to kowariancj definiuje si wzorem cov( y, z) =
( y − µ
− µ
y )( z
z ) p( y, z). dydz
Estymat kowariancji zmiennych „y” i „z” wyznaczonych na podstawie
„n” niezale nych obserwacji jest:
1
s( y , ) =
( − )( − )
i zi
yi y zi z
n − 1
Estymat kowariancji dwóch rednich y i z jest:
1
s( y; z) =
.
( y − )( − )
i
y zi z
n( n − )
1
Współczynnik korelacji jest miar wzgl dnej wzajemnej zale no ci dwóch zmiennych y i z. Jest on równy stosunkowi kowariancji tych zmiennych do dodatniego pierwiastka kwadratowego z iloczynu ich wariancji. Definiuje si go wzorem:
cov( yz)
( yz) =
δ( y, z) ∈ − ;1.1
σ 2( y σ
) 2 ( z)
estymat współczynnika korelacji jest:
s( y , )
i z
r( y
i
, ) =
r( y ) ∈ − ;11
i z
i zi
s 2 ( y ). 2 ( )
i
i
s zi
3.
Przebieg wiczenia.
a) Wykorzystuj c wyniki pomiarów oraz dane dotycz ce aparatury pomiarowej i procedur pomiarowych (wzi tych z wiczenia M-4 lub podanych przez prowadz cego) obliczy standardow niepewno pomiarow metodami typu
,,A” i ,,B”.
b) Oszacowa współczynniki korelacji pomi dzy zmiennymi.
c) Korzystaj c z wyników ,,a” i ,,b” obliczy standardow niepewno zło on .
d) Wyniki analizy niepewno ci przedstawi w tabeli (bud et niepewno ci).
e) Na podstawie liczby stopni swobody (wynikaj cych z ilo ci pomiarów
u ytych przy obliczaniu niepewno ci metod ,,A”) przyj tego poziomu
istotno ci (n.p.: 0,05) oszacowa współczynnik rozszerzenia ,,k” i obliczy niepewno rozszerzon .
f) Korzystaj c z wyników pomiarów dobra metod najmniejszych kwadratów prost wzorcowania, narysowa jej wykres zaznaczaj c na niej ,,słupki
niepewno ci”.
UWAGA: Zaleca si do oblicze wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego Excel lub innego dost pnego programu matematycznego lub statystycznego.
wiczenie mo na równie wykona przy u yciu kalkulatora naukowego.
Literatura:
[1]Wyra anie niepewno ci pomiaru - Przewodnik – G.U.M. 1999
[2]Mi dzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii
[3]Wzorcowanie aparatury pomiarowej – Janusz Piotrowski, Krystyna
Kostyrko.
[4] Wyra anie niepewno ci pomiaru przy wzorcowaniu – G.U.M. 2001