Zadania z teorii liczb - Liczby naturalne 1. Poda¢ przykªady zbiorów nie speªniaj¡cych Aksjomatu Dobrego Porz¡dku.

2. Znale¹¢ bª¡d w dowodzie, »e ∀n ∈ N w ka»dym zbiorze n kotów wszystkie s¡ w tym samym kolorze.

3. Pokaza¢, »e

(a) dla dowolnego naturalnego n mamy tn = n(n+1).

2

(b) stosunek dªugo±ci przek¡tnej kwadratu do jego boku nie jest sto-sunkiem liczb naturalnych.

(c) je±li jedna z liczb 2n2 ±1 jest liczb¡ kwadratow¡, to (nm)2 jest liczb¡

trójk¡tn¡.

(d) liczba n jest liczb¡ trójk¡tn¡ wtedy i tylko wtedy gdy 8n + 1 jest liczb¡ kwadratow¡.

(e) suma dwóch kolejnych liczb trójk¡tnych jest liczb¡ kwadratow¡.

1