Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
1
ZADANIE 1
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
ZADANIE 1
Z2/1.1. Kratownica numer 1
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.1 jest układem geometrycznie niezmiennym.
Rys. Z2/1.1. Kratownica płaska
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.2.
3
5
7
10
12
14
6
10
19
23
2
5
1
1
7
9
11
3
15
8
22
3
16
24
20
1
4
8
6
12
14
17
21
1
13
2
4
8
9
11
Rys. Z2/1.2. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 24, liczba węzłów kratownicy wynosi 14. Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać 2⋅14=24211 .
(Z2/1.1)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Jak widać na rysunkach Z2/1.1 i Z2/1.2 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z2/1.3 przedstawia zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z2/1.2. Na rysunku Z2/1.3 oznaczymy go jako A. Tarcze sztywne są podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać
3⋅2=4⋅11⋅2 .
(Z2/1.2)
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
2
ZADANIE 1
I
II
1
A
2
3
4
Rys. Z2/1.3. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer I jest podparta do podłoża trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza numer I jest więc geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla tarczy numer II. Przedstawia to rysunek Z2/1.4.
II
A
4
Rys. Z2/1.4. Zastępcza tarcza sztywna numer II
Tarcza sztywna numer II podparta jest do podłoża przegubem rzeczywistym A i prętem podporowym numer 4. Przegub A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza numer II jest więc także geometrycznie niezmienna.
Możemy więc stwierdzić, że zastępczy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie niezmiennym. Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc ostatecznie układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z2/1.2. Kratownica numer 2
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.5 jest układem geometrycznie niezmiennym.
Rys. Z2/1.5. Kratownica płaska
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.6.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
3
ZADANIE 1
3
6
5
10
7
10
19
12
2
5
1
1
20
7
9
11
3
15
8
3
16
1
4
8
6
12
14
17
1
2
4
8
9
11
Rys. Z2/1.6. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 20, liczba węzłów kratownicy wynosi 12. Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać 2⋅12=20211 .
(Z2/1.3)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
I
II
1
A
4
2
3
Rys. Z2/1.7. Zastępczy układ tarcz sztywnych
II
A
4
Rys. Z2/1.8. Zastępcza tarcza sztywna numer II
Jak widać na rysunkach Z2/1.5 i Z2/1.6 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z2/1.7 przedstawia zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z2/1.6. Na rysunku Z2/1.7 oznaczymy go jako A. Tarcze sztywne są podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać
3⋅2=4⋅11⋅2 .
(Z2/1.4)
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
4
ZADANIE 1
Tarcza numer I jest podparta do podłoża trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza numer I jest więc geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla tarczy numer II. Przedstawia to rysunek Z2/1.8.
Tarcza sztywna numer II podparta jest do podłoża przegubem rzeczywistym A i prętem podporowym numer 4. Przegub A leży jednak na kierunku pręta podporowego. Nie został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza numer II jest więc geometrycznie zmienna.
Możemy więc stwierdzić, że zastępczy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie zmiennym.
Nie został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej.
Kratownica ta jest więc układem geometrycznie zmiennym.
Z2/1.3. Kratownica numer 3
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.9 jest układem geometrycznie niezmiennym.
Rys. Z2/1.9. Kratownica płaska
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.10.
3
6
5
10
7
10
19
12
23
14
20
2
5
1
1
7
9
11
3
15
8
22
3
16
24
1
4
8
12
14
9
17
21
1
13
2
4
6
8
11
Rys. Z2/1.10. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
I
II
1
A
B
∞
2
3
4
C
Rys. Z2/1.11. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 24, liczba węzłów 14. Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla tej kratownicy płaskiej ma postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
5
ZADANIE 1
2⋅14=24211 .
(Z2/1.5)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony. Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Jak widać na rysunkach Z2/1.9 i Z2/1.10 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z2/1.11 przedstawia zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z2/1.10. Na rysunku Z2/1.11 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać
3⋅2=4⋅11⋅2 .
(Z2/1.6)
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem niewłaściwym C powstałym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz sztywnych jest więc geometrycznie niezmienny.
Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc ostatecznie układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z2/1.4. Kratownica numer 4
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.12 jest układem geometrycznie niezmiennym.
Rys. Z2/1.12. Kratownica płaska
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.13.
Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 20, liczba węzłów 12. Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać
2⋅12=20211 .
(Z2/1.7)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony. Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
6
ZADANIE 1
3
6
5
10
7
10
19
12
2
5
1
1
20
7
9
11
3
15
8
3
16
1
4
8
12
14
17
1
2
4
6
8
9
11
Rys. Z2/1.13. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
4
I
II
∞
C
1
A
B
3
2
Rys. Z2/1.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunkach Z2/1.12 i Z2/1.13 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z2/1.14 przedstawia zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z2/1.13. Na rysunku Z2/1.14 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są podparte czterema prętami podporowymi i jednym przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać
3⋅2=4⋅11⋅2 .
(Z2/1.8)
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem niewłaściwym C powstałym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby jednak leżą na jednej prostej. Nie został
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz sztywnych jest więc geometrycznie zmienny.
Nie został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie zmiennym.
Z2/1.5. Kratownica numer 5
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.15 jest układem geometrycznie niezmiennym.
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.16. Liczba prętów kratownicy wynosi 18, liczba węzłów 11. Dwie podpory przegubowo-nieprzesuwne odbierają po dwa stopnie swobody każda. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać 2⋅11=182⋅2 .
(Z2/1.9)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
7
ZADANIE 1
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Rys. Z2/1.15. Kratownica płaska
3
5
6
7
9
6
7
11
13
4
15
1
14
5
8
0
12
9
3
2
16
4
8
10
17
2
1
18
1
11
Rys. Z2/1.16. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
B
I
II
1
4
A
C
2
3
Rys. Z2/1.17. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunkach Z2/1.15 i Z2/1.16 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z2/1.17 przedstawia zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
8
ZADANIE 1
Jest to przegub numer 6 na rysunku Z2/1.16. Na rysunku Z2/1.17 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać
3⋅2=4⋅11⋅2 .
(Z2/1.10)
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem fikcyjnym C powstałym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz sztywnych jest więc geometrycznie niezmienny.
Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z2/1.6. Kratownica numer 6
Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z2/1.18 jest układem geometrycznie niezmiennym.
Rys. Z2/1.18. Kratownica płaska
W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek Z2/1.19.
Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 14, liczba węzłów kratownicy wynosi 9. Podpory przegubowo-nieprzesuwne odbierają po dwa stopnie swobody każda. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać
2⋅9=142⋅2 .
(Z2/1.11)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony. Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Jak widać na rysunkach Z2/1.18 i Z2/1.19 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o strukturze prostej. Jednak nie cała kratownica tworzy tarczę sztywną. Pręt kratownicy numer 1 musimy traktować jako pręt podporowy numer 1. Rysunek Z2/1.20 przedstawia zastępczą tarczę sztywną. Tarcza sztywna jest podparta trzema prętami podporowymi. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać
3⋅1=3⋅1 .
(Z2/1.12)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z2/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
9
ZADANIE 1
Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępcza tarcza sztywna może być geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Zastępcza tarcza sztywna jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępcza tarcza sztywna jest więc geometrycznie niezmienna.
2
1
4
5
6
9
8
6
1
2
8
10
3
4
12
3
7
11
14
1
3
5
7
9
Rys. Z2/1.19. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej
1
I
2
3
Rys. Z2/1.20. Zastępcza tarcza sztywna
Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński