Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
1
ZADANIE 17
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 17
Z5/17.1. Zadanie 17
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/17.1. Wymiary belki podane są w metrach.
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
6,0
3,0
[m]
Rys. Z5/17.1. Belka prosta
Z5/17.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/17.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
B
C
1
2
I
3
Rys. Z5/17.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Jak widać na rysunku Z5/17.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/17.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/17.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/17.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
2
ZADANIE 17
16,0 kN/m
8,0 kN
HA
A
B
C
Y
[m]
X
VA
VB
6,0
3,0
Rys. Z5/17.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu B.
1
1
M = V ⋅6,0− ⋅16,0⋅6,0⋅ ⋅6,08,0⋅3,0=0
B
A
2
3
.
(Z5/17.2)
V =12,0 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
2
M =− V ⋅6,0 ⋅16,0⋅6,0⋅ ⋅6,08,0⋅9,0=0
A
B
2
3
.
(Z5/17.3)
V =44,0 kN
B
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
1
Y = V V − ⋅16,0⋅6,0−8,0=12,044,0−48,0−8,0=0 .
(Z5/17.4)
A
B
2
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/17.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
Z5/17.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/17.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
3
ZADANIE 17
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
[m]
12,0 kN
44,0 kN
6,0
3,0
Rys. Z5/17.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej q(x)
A
N(x)
X
T(x)
M(x)
12,0 kN
x
Rys. Z5/17.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem (5.3), postać
16,0
8
q x=
⋅ x = ⋅ x .
(Z5/17.5)
6,0
3
Jak widać na rysunku Z5/17.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
1
1 8
4
T x=12,0− ⋅ q x⋅ x=12,0− ⋅ ⋅ x⋅ x=12,0− ⋅ x 2 .
(Z5/17.6)
2
2 3
3
Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą T 0,0=12,0 kN
4
.
(Z5/17.7)
T 6,0=12,0− ⋅6,02=−36,0 kN
3
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
4
ZADANIE 17
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w przedziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości 4
12,0− ⋅ x 2=0
3 0
(Z5/17.8)
x =3,0 m
0
od początku przedziału czyli od punktu A. Współczynnik przy x2 jest ujemny więc parabola siły poprzecznej będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie A, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
1
1
1 8
1
4
M x=12,0⋅ x− ⋅ q x⋅ x⋅ ⋅ x=12,0⋅ x− ⋅ ⋅ x⋅ x⋅ ⋅ x=12,0⋅ x− ⋅ x 3 .
(Z5/17.9)
2
3
2 3
3
9
Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu ekstremum wynoszą
M 0,0 =0,0 kNm
4
M 3,0 =12,0⋅3,0− ⋅3,03=24,0 kNm
9
.
(Z5/17.10)
4
M 6,0 =12,0⋅6,0− ⋅6,03=−24,0 kNm
9
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze, dodatnie zaś na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać
dT x
8
=− ⋅ x =− q x ,
(Z5/17.11)
dx
3
dM x
4
=12,0− ⋅ x 2= T x .
(Z5/17.12)
dx
3
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/17.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/17.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
5
ZADANIE 17
M(x)
8,0 kN
T(x)
X
C
N(x)
x
Rys. Z5/17.6. Siły działające w przedziale BC
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
[m]
12,0 kN
44,0 kN
6,0
3,0
8,0
12,0
T(x) [kN]
,036
3,0
3,0
,024
M(x) [kNm]
0,0
0,0
24,0
3,0
3,0
Rys. Z5/17.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/17.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=8,0 kN .
(Z5/17.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M x=−8,0⋅ x .
(Z5/17.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z5/17.15)
M 3,0 =−8,0⋅3,0=−24,0 kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
6
ZADANIE 17
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−8,0=− T x .
(Z5/17.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński