Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Powtórzenie
⎛
1 ⎞
1. Do wykresu funkcji wykładniczej f należy punkt A =
1,
−
⎜
⎟ . Rozwiąż równanie f ( x ) − 8 = f (0) .
⎝
3 ⎠
2. Naszkicuj wykres funkcji f ( x) = log 4 , podaj jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały 2 ( x )
monotoniczności.
1
3. Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) = log x + 2 +
.
1
4 x
2
3 − 9
4. Wykaż, że jeżeli log 2 = , to również log 8 = .
7
a
343
a
5. Wyznacz liczbę x tak, aby liczby 2 x , 4 x , 8 x tworzyły ciąg arytmetyczny.
6. Oblicz wartość wyrażenia
1−2log3 2
log25 4
W = 9
+ 5
.
7. Dla jakich wartości parametru m równanie 4 x + ( + 2) ⋅ 2 x m
− m = 0 ma dwa pierwiastki?
⎧log y − x <1
⎪
3 (
)
8. Rozwiąż graficznie układ ⎨
.
⎪⎩ y > 2 x
9. Wyznacz liczbę x tak, aby liczby dodatnie log x −1 , 3log x −1 , 6 tworzyły ciąg geometryczny.
8 (
)
8 (
)
10. Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej jeśli wiesz, że do wykresu należy punkt A = (4, − ) 1 . Podaj wzór tej
funkcji:
a) po przesunięciu o wektor u = [−3, − 5], b) po przekształceniu symetrycznym względem osi OX.
11.
2
3
Przedstaw liczbę a = log 9 + log 9
+ log 9 +… w najprostszej postaci.
27
( 27 ) ( 27 )
12. Dana jest funkcja f ( x) = log
−
+ . Wyznacz wartości parametrów
1 ( x
a) b
a i b jeśli wiesz, że dziedziną funkcji 2
⎛ 1 ⎞
jest (5; + ∞) i do jej wykresu należy punkt A = 5 , 9
⎜
⎟ . Podaj wzór tej funkcji.
⎝ 8 ⎠
13. Wykaż, że dla liczb spełniających odpowiednie założenia (podaj te założenia) prawdziwy jest wzór 1
log b = log
.
a
1 b
a
14. Dla jakich wartości parametru m równanie 2 x − (log m x +1 = 0 ma pierwiastek należący do przedziału 2
)
(1; + ∞) ?
15. Rozwiąż równanie 2log x + log x = 1.
16. Wyznacz elementy zbioru A = {
2
x : log x < 9 ∧
∈
.
4
x
C}
17. Dla jakich wartości parametru m równanie 9 x − ⋅3 x m
+ m −1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek?
18. Przedstaw na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek log ( 2
2
x − 8 x + y
≥ −2 .
1
)
3
19. Rozwiąż równanie log x + log 4 = 2 .
4
x
20. Przedstaw w najprostszej postaci liczbę
1
−
2
−
3
x 1 2
2
2−
= +
+
+
+… .
1
21. Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) = log( x − 2) + log( x − 3) −
.
log(
2
16 − x )
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Powtórzenie
1
22. Wykaż, że dodatnie rozwiązania równania log tg 3
x = −
tworzą ciąg arytmetyczny.
2
23. Wyznacz log 6 jeśli wiesz, że log 12 = .
16
2
a
24. Wyznacz parametr m tak, aby wykres funkcji y = x log m − 3 był prostopadły do wykresu funkcji y = 2 x + 7 .
49
25. Dla jakich wartości parametru m funkcja ( ) = ( m f x
− ) 2
2
4 x + 4 x +1 posiada minimum i dwa różne miejsca zerowe?
26. Dla jakich wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu ( ) 3 a 2 2
=
+ 4
− 3 a
W x
x
x
x + 1 przez dwumian x − 1
jest równa 2?
27. Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania f ( x − ) 1 = m w zależności od wartości
parametru m. Odpowiedź uzasadnij.
+
28.
x
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ( )
1
2 x
f x
+
=
i g ( x)
1
=
. Na podstawie
x
wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania f ( x) = g ( x) .
29. Zbadaj, czy wykresy funkcji
4 x 3 2 x
y =
− ⋅ i
25 2 x
y
−
=
⋅
+ 5 mają wspólne punkty.
30. Wyznacz wartość wyrażenia log 2 ⋅ log 3⋅…⋅ log 9 .
3
4
10
31. Funkcja h jest określona wzorem h( x) = log ( 2
x − 4 − log
x − 5 . Wyznacz wszystkie wartości parametru 2
)
2 (
)
k,
dla których równanie h( x) − log k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
2
32. Wykaż, że równanie
2
− x − 3 x − 2 = log
2 −
nie ma pierwiastków rzeczywistych.
2
x
x 1
− (
)
33. Wykaż, że równanie log (− x) = x nie ma rozwiązań.
34. Dla jakich wartości a liczby log 9, log a, log 2 ⋅ log 25 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?
4
2
5
9
1 ( 2 x− x) 3
−
35. Dla jakich wartości parametru m równanie 4
m 1
2
4
9
3 −
=
ma takie dwa różne pierwiastki, że suma
odwrotności ich kwadratów jest równa 8?