Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr seria 9

1. Sprawdzić, czy dana funkcja f : 2

2

2

R × R → R jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R : (1) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 − x2y2; (2) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + 2x2y1 + x2y2; (3) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2; (4) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 3x2y2.

2. Sprawdzić, że wzór

Z

1

< f, g > =

f (x)g(x)dx

−1

określa iloczyn skalarny w C[−1, 1] - przestrzeni funkcji ciag lych na przedziale [−1, 1]. Znaleźć

,

kxkk dla k = 0, 1, 2, . . . oraz cos ^(xk, xm) dla k, m = 0, 1, 2, . . . .

3. Wykazac, że w dowolnej przestrzeni euklidesowej jeśli z = x + y, to cos ^(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy kxk2 + kyk2 = kzk2.

4. Przeprowadzić ortogonalizacje bazy kanonicznej przestrzeni 3 z iloczynem skalarnym:

,

R

 4 0 2   y 

1

< [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = [x1, x2, x3]

0 1 0

y



 

2 

2 0 2

y3

5. Przeprowadzić ortogonalizacje bazy {1, x, x3, x3} przestrzeni euklidesowej

,

R[x]3 z iloczynem

skalarnym:

Z

1

< f, g > =

f (x)g(x)dx.

−1

6.

Znaleźć rzut ortogonalny wektora x = [2, −1, 1] na podprzestrzeń Lin{[1, 0, 0], [0, 1, 0]}

przestrzeni

3

R z iloczynem skalarnym danym wzorem: (1) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + x2y2 + x3y3; (2) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3; (3) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + x3y3.

7. Znaleźć rzut ortogonalny wielomianu f (x) = 4 + 3x + x2 − x3 na podprzestrzeń U = Lin{1, x}

w przestrzeni R[x]3 z iloczynem skalarnym: Z

1

< f, g > =

f (x)g(x)dx.

−1

8. Sprawdzić, że funkcje 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . tworza uk lad ortogo-

,

nalny w przestrzeni funkcji ciag lych C[−π, π] z iloczynem skalarnym

,

Z

π

< f, g > =

f (x)g(x)dx.

−π

1