Przykład 5.4. Układ przestrzenny II

Wyznaczyć reakcje i siły w prętach zakończonych obustronnie przegubami, w ramie przestrzennej o podanym schemacie.

Rozwiązanie.

Uwalniamy układ z więzów wprowadzając odpowiadające im reakcje.

Przedmiotowy układ przestrzenny możemy potraktować jako dwa elementy przestrzenne połączone ze sobą za pośrednictwem tulei. Element I oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w punkcie A i na podporze nieprzesuwnej B za pośrednictwem pręta dwuprzegubowego. Element II oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w punkcie C i na podporze nieprzesuwnej D za pośrednictwem pręta dwuprzegubowego. W

prętach (obustronnie zakończonych przegubami), które nie są obciążone w przęśle występują tylko siły osiowe. Z równowagi węzła B wynika, że siła S1 ma tę samą wartość i kierunek działania co reakcja RB. Podobnie z równowagi węzła D wynika, że siła S2 ma tę samą wartość i kierunek działania co reakcja RD. Nie znamy dwunastu reakcji i oddziaływań: RAx, RAy, RAz, RB (lub S1), RCx, RCy, RCz, RD (lub S2), R2x, R2z, M2x i M2z . Dla przedstawionego na schemacie układu ramowego można zapisać dwanaście warunków równowagi (2 x 6). Zatem układ jest statycznie wyznaczalny. Zapisując kolejne równania równowagi należy dążyć do tego, aby były to równania z jedną niewiadomą (o ile to możliwe). Pamiętać należy przy tym, że moment siły (siła ≠ 0) względem osi jest równy zeru, jeśli wektor siły jest równoległy do osi lub linia działania siły przecina się z osią. Należy zauważyć, że do rozwiązania niniejszego zadania wystarczy wykorzystać osiem równań, bez konieczności obliczania oddziaływań w tulei.

Element I

2

Element II

Dowolny przestrzenny układ sił P znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów i

wszystkich sił na trzy osie układu są równe zeru i sumy momentów wszystkich sił względem trzech osi układu są równe zeru:

∑ P = ,0

P

P

ix

∑ = ,0

iy

∑ = 0

iz

∑ M = ,0

M

M

ix

∑

= ,

0

iy

∑

= 0

iz

Zapisujemy warunki równowagi. Należy zauważyć, że z uwagi na sposób połączenia elementów (tuleja), obciążenia poziome równoległe do osi y z elementu I na II i z elementu II na I nie przekazują się.

∑ IP = 0 R = 0

iy

Ay

∑ II

P = 0 R + P = 0 → R = − P = − ql iy

Cy

Cy

Znak minus oznacza, że zwrot wektora siły RCy jest przeciwny do założonego.

Warunek równowagi dla całości ∑ P = 0 spełniony jest tożsamościowo.

iy

Tuleja nie przenosi także momentu skręcającego ( M = 0 ). Zatem 1 y

∑ I

M

= 0 − R ⋅ 2 l = 0 → R = 0

iy 1

Ax

Ax

Równania równowagi możemy zapisywać zarówno dla całego układu przestrzennego, jak i dla każdej z części z osobna.

2

ql

− M +

∑

l

ql

M

= 0 − ql ⋅ + M + R ⋅ 2 l = 0 →

2

R =

= −

ix 1

2

Cz

Cz

2 l

4

3

∑

RCz

ql

II

M

= 0 − S ⋅ 2 l + R ⋅ l = 0 → S = R =

= −

iy 1

2

Cz

2

D

2

8

∑

ql

5

P = 0 − ql + R + R = 0 → R = ql +

= ql

iz

Az

Cz

Az

4

4

∑

1

M

= 0 R ⋅ 2 l + S ⋅ 2 l − R ⋅ l = 0 → S = R = − ql iz 1

Ax

1

Cy

1

B

2

Znak minus oznacza, że zwroty wektorów sił: RB, RCz i RD są przeciwne do założonych.

∑

5

P = 0 R + S + R + R = 0 → R = ql ix

Ax

1

Cx

D

Cx

8

W celu sprawdzenia poprawności obliczeń korzystamy z warunku równowagi, z którego nie korzystaliśmy poprzednio

∑ M = 0 ql ⋅ l − R ⋅2 l − R ⋅ l = 0 → 2

ql − 2 2

2

ql + ql = 0

iz 2

Cx

Cy

1

W prętach zakończonych obustronnie przegubami występują siły: S = − ql (rozciągająca) i 1

2

ql

S = −

(rozciągająca).

2

8

4