Test t Studenta dla prób niezale nych Zało enia:

• Rozkład cechy jest normalny w obu populacjach (zało enie tym wa niejsze, im mniejsze s próby).

• Wariancje w obu populacjach s równe, 2

2

σ = σ (zało enie tym wa niejsze, im

1

2

wi ksza jest ró nica liczebno ci prób).

Hipotezy:

H : µ = µ

H

: µ > µ

H

: µ < µ

0

1

2

1

A

1

2

A 2

1

2

Próby losowe o liczebno ciach: n i n

1

2

x − x

Statystyka testu:

2

1

t =

0

2

2

n s + n s  1

1 

1 1

2 2 

+



n + n − 2  n

n 

1

2

1

2

Warto krytyczna w te cie dwustronnym: tα przy df = n + n − 2 stopniach swobody.

1

2

Rozstrzygni cie mi dzy alternatywami na poziomie istotno ci α : Gdy t ≤ t

− , przyjmujemy hipotez H .

0

α

1

A

Gdy t ≥ t , przyjmujemy hipotez 0

α

H .

A 2

Gdy t ∈

t

− , t , to brak jest mo liwo ci rozstrzygni cia mi dzy H i H .

0

( α α )

1

A

A 2

Test sumy rang Kruskala i Wallisa (opis dla przypadku 2 prób) Zało enia. Brak zało e na temat postaci rozkładu.

Hipotezy:

H0: (mediana w populacji #1) = (mediana w populacji #2)

HA1: (mediana w populacji #1) > (mediana w populacji #2)

HA2: (mediana w populacji #1) < (mediana w populacji #2) Próby losowe o liczebno ciach: n1 i n2.

Rangowanie. warto ci z obu prób ł cznie, od najmniejszej do najwi kszej. W przypadku grupy jednakowych warto ci ka da z nich otrzymuje redni z rang, które by miały, gdyby nie były jednakowe. Rangi sumujemy osobno dla ka dej próby.

T oznacza sum rang i-tej próby ( i=1,2), za N = n + n .

i

1

2

Sprawdzenie rachunków: suma wszystkich rang powinna by równa sumie liczb naturalnych N ( N + )

1

od 1 do N, czyli T + T =

.

1

2

2

2

12

Ti

Statystyka testu: H =

∑

−

+

N ( N + )

3( N

)1

1

ni

Warto krytyczna: 2

χ przy jednym stopniu swobody; jest to warto wyznaczona tak, e α

(

2

P χ ≥ χ

= α

α )

, czyli odcinaj ca prawy ogon rozkładu 2

χ o prawdopodobie stwie

(Statystyka H ma w dobrym przybli eniu rozkład 2

χ gdy liczebno ci prób s wi ksze od 5).

Rozstrzygni cie mi dzy alternatywami na poziomie istotno ci jest mo liwe gdy 2

H ≥ χα :

je li T 1/ n 1 > T 2/ n 2 , to przyjmujemy hipotez H A1; je li T 1/ n 1 < T 2/ n 2 , przyjmujemy hipotez H A2.

Natomiast je li H ∈ (

2

0, χα ) , to brak jest mo liwo ci rozstrzygni cia mi dzy H A1 i H A2.