Zestaw III – wielomiany, funkcje wymierne i potęgowe
- BUDOWNICTWO I -
1
Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać samemu w domu.
Zadanie 1. Oblicz 3W (x) − W (x) · (2Q(x) − 6) wiedząc, że W (x) = 2x − 1 i Q(x) = x3 − 2x2 + 3.
Zadanie 2. Co należy podstawić za x aby otrzymać sumę wszystkich współczynników wielomianu W (x)?
Oblicz sumy współczynników wielomianów:
a) W (x) = (x5 − 3x2 + 4)3(x7 + 3x4 − 7x + 2)2011, b) W (x) = (x − 6)(x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2)(x − 1).
Zadanie 3. Zaproponuj szybki sposób obliczania sumy współczynników stojących przy x podniesionym do parzystej potęgi w dowolnym wielomianie.
Zadanie 4. Wykonaj pisemne dzielenie wielomianów:
a) (3x5 − x4 + x3 + 7x2 − 6x + 8) : (x3 − x + 2),
b) (x7 + 1) : (x + 1),
c) (2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6) : (x2 − 3x + 1),
d) (x4 + 3x3 + 6x2 + 5x + 3) : (x2 + x + 1),
e) (x4 + 4x3 + 6x2 + 5x + 2) : (x2 + x + 1),
f) (x4 − 2x3 + 4x2 − 6x + 8) : (x − 1).
Zadanie 5. Podziel korzystając ze schematu Hörnera:
a) (3x3 − 42 + x − 7) : (x − 1),
b) (2x4 − x3 + 3x2 − x − 1) : (x + 1),
c) (5x3 + 8x2 − 3x + 4) : (x + 2),
d) (3x3 − 2x2 − 3x + 2) : (x − 2 ),
e) (x3 − 5x2 + 8x − 2) : (x − 5).
3
Zadanie 6. Jeżeli W (x) jest wielomianem, to r = W (x0) jest resztą z dzielenia W (x) : (x − x0). Korzystając z tego faktu, sprawdź czy dobrze policzyłeś reszty z dzielenia w poprzednim zadaniu.
Zadanie 7. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x2007 + 13x133 + 7x + 22 przez dwumian (x + 1).
Zadanie 8. Równanie x4 + x3 + ax2 + bx + 10 = 0 ma pierwiastki x1 = −1 i x2 = 2. Znajdź pozostałe pierwiaski tego równania.
Zadanie 9. Wielomian W (x) przy dzieleniu przez (x + 1)(x − 2) daje resztę 10x + 27, zaś przy dzieleniu przez (x − 1)(x + 2) daje resztę 10x + 7. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez (x + 1)(x + 2).
Zadanie 10. Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia.
a) (x333 + x33 + x3 + 1) : (x2 − 1),
b) (x2 − x − 1)2007 : (x2 − x),
c) (x2 + x − 1)2011 : (x2 − 1).
Zadanie 11. Rozwiąż nierówności:
a) x(x + 2)5(x − 1)4(x − 3)7 ≥ 0,
b) (x2 − 9)2(x + 1)(x2 − 2x − 3)(x − 1) ≤ 0,
c) (2 − x)(x + 1)2(3 − x)2 < 0,
d) x8 − 1 ≤ 0.
Zestaw III – wielomiany, funkcje wymierne i potęgowe
- BUDOWNICTWO I -
2
Zadanie 12. Znajdź pierwiastki i rozwiąż równania i nierówności: a) x3 − 5x2 − x + 26 = 0,
b) x4 − x3 − 20x2 − 8x + 40 = 0,
c) x4 − 4x3 − 8x2 + 36x − 9 = 0,
d) x5 − 2x4 − x + 2 = 0,
e) x3 − x2 − x + 1 > 0,
f) x3 − 5x2 − 8x + 48 > 0,
g) x3 − 14x2 + 65x − 100 ≥ 0,
h) x3 + 2x2 − x + 6 < 0.
Zadanie 13. Oblicz najmniejszą wartość wielomianów i określ x, dla którego jest ona osiągalna.
a) W (x) = (x − 1)(x − 3)(x − 7)(x − 9) + 40,
b) W (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 5.
Zadanie 14. Rozwiąż W (W (x)) < 4x3 − 27x2 + 53x − 25, jeżeli W (x) = x2 − 3x + 1.
Zadanie 15. Rozwiąż −6 ≤ x3 − x < 24.
x3 + 3x2 − 4x > 12
Zadanie 16. Rozwiąż
.
x3 − 2x2 − x + 2 < 0
Zadanie 17. Wyznacz wartości parametru a, dla których równanie (5 − x)(x + 1) = a ma tylko pierwiastki dodatnie.
Zadanie 18. Wyznacz wartości parametru m, dla których pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 równania x2 + (3m − 2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x2 + x2 > 1.
1
2
Zadanie 19. Sprowadź następujące funkcje homograficzne do postaci kanonicznej, wyznacz punkty przecięcia ich wykresów z osiami układu współrzędnych i narysuj te wykresy. Następnie określ zadane obrazy i przeciwo-brazy.
a) y =
x
, f ([− 1 , 1 ]) =?, f −1([− 1 , 1 ]) =?,
x+1
2
2
2
2
b) y = x+1 , f ([2, 4]) =?, f −1([2, 4]) =?,
x−1
c) y = 3x+2 , f ([ 1 , 3 ]) =?, f −1([− 2 , − 1 ]) =?,
2x+3
3
2
3
3
d) y = 2x−3 , f ([2, 3)) =?, f −1((2, 3]) =?.
x−3
Zadanie 20. Znajdź funkcje odwrotne do funkcji z Zadania 19. Znajdź punkty przecięcia ich wykresów z osiami układu współrzędnych.
Zadanie 21. Niech f (m) oznacza liczbę rozwiązań równania a) | x | = m, b) |x+1| = m w zależności od x−1
x2−1
parametru m. Znajdź wzór funkcji f (m) i sporządź jej wykres.
Zadanie 22. Rozwiąż równania i nierówności:
a)
6
+ x
=
18
,
b)
3
−
1
=
2
, c) x−2 ≤
1
, d) 1 ≥ 1, e) x ≤ 3 − 1 ,
x+3
x−3
x2−9
x3+8
x2−4
x2−2x+4
x+3
(x+3)2
x3
x−1
f) 2x2 + 2x + 1 −
15
≤ 0, g)
1
≤ 2 .
x2+x+1
x+2
x−3
Zestaw III – wielomiany, funkcje wymierne i potęgowe
- BUDOWNICTWO I -
3
Zadanie 23. Dana jest funkcja f (x) = 5−x . Rozwiąż f (x + 5) > f (x − 3).
2x+1
Zadanie 24. Rozwiąż nierówności z wartością bezwzględną: a) | 2x−1 | ≥ 2, b) | 2x−3 | ≤ 1.
x−1
x−3
Zadanie 25. Wyznacz dziedzinę funkcji:
5
7
q
a) y = x(x − 2) 3 + x3(3 − x) 4 ,
b) y = x2(x2 − 5x)− 53 +
1 − 1 ,
x−1
√
3
2
5
4
c) y = (x − 2)
2
2 (x − 3) 3 − (4 − x) 4 (5 − x) 5 ,
d) y = x15(5 − x)
.
Zadanie 26. Rozwiąż równania i nierówności:
√
√
√
√
√
a)
11x + 6 = 8 − x,
b) 3 x − 2 < −3,
c)
11 − x > x − 9,
d) 3 −
x − 1 =
3x − 2,
√
√
√
√
√
p
p
e)
x + 3 +
3x − 2 ≤ 7,
f)
x+20 < 1, g)
x + 5 − 4 x + 1 +
x + 2 − 2 x + 1 = 1,
x
√
h) x − 1 <
7 − x.
Większość zadań pochodzi ze skryptu ”Matematyka – podstawy z elementami matematyki wyższej", Wydawnictwo PG, 2009.
Zestaw III – wielomiany, funkcje wymierne i potęgowe
- BUDOWNICTWO I -
4
Wskazówki i odpowiedzi do niektórych zadań
Zadanie 1. −4x4 + 10x3 − 4x2 + 6x − 3.
Zadanie 2. a) −8, b) 0.
Zadanie 4. a) 3x2 − x + 4, b) x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1, c) 2x2 + 3x + 11 + 25x−5 , d) x2 + 2x + 3, x2−3x+1
e) x2 + 3x + 2, f) x3 − x2 + 3x − 3 + 5 .
x−1
Zadanie 5. a) 3x2 − x − 7 , b) 2x3 − 3x2 + 6x − 7 + 6 , c) 5x2 − 2x + 1 + 2 , d) 3x2 − 3, e) x2 + 8 + 38 .
x−1
x+1
x+2
x−5
Zadanie 7. 1.
√
√
Zadanie 8. −1 −
6, −1 +
6.
Zadanie 9. 30x + 47.
Zadanie 10. a) 3x + 1, b) −1, c) x.
Zadanie 11. a) x ∈ [−2, 0] ∪ {1} ∪ [3, ∞), b) x ∈ [1, 3] ∪ {−1, −3}, c) x ∈ (2, 3), d) x ∈ [−1, 1].
√
√
Zadanie 12. a) x = −2, b) x ∈ {−2, 5, −1 ±
5}, c) x ∈ {±3, 2 ±
3}, d) x ∈ {−1, 1, 2}, e) x ∈ (−1, ∞)\{1},
f) x ∈ (−3, ∞)\{4}, g) x ∈ [4, ∞), h) x ∈ (−∞, −3).
√
√
Zadanie 13. a) min = 4 dla x ∈ {5 ±
10}, b) min = 4 dla x ∈ { 5± 5 }.
2
Zadanie 14. x ∈ (1, 2) ∪ (3, 4).
Zadanie 15. x ∈ [−2, 3).
Zadanie 16. x ∈ (−3, −2).
Zadanie 17. a ∈ (5, 9).
Zadanie 18. m ∈ (−∞, − 2 ) ∪ (2, ∞).
9
Zadanie 19. a) y = 1 −
1
, x
], [− 1 , 1], b) y = 1 +
2
, x
, 3], [3, 5 ],
x+1
0 = y0 = 0,
[−1, 13
3
x−1
0 = y0 = −1,
[ 53
3
5
c) y = 3 −
4
, x
, y
[ 9 , 13 ], [− 12 , − 9 ],
d) y = 2 + 3 , x
, y
2
x+ 3
0 = − 2
3
0 = 2
3
11
12
13
11
x−3
0 = 3
2
0 = 1,
(−∞, −1], [6, ∞).
2
5
Zadanie 20. a) y−1 = −1 − 1 ,
b) y−1 = 1 + 2 , c) y−1 = − 3 −
4
,
d) y−1 = 3 + 3 .
x−1
x−1
2
x− 3
x−2
2
0
m < 0
0
m ∈ (− 1 , 0]
2
Zadanie 21. a) f (m) =
1
m ∈ {0, 1}
, b) f (m) =
1
m ∈ (−∞, − 1 ] ∪ ( 1 , ∞) .
2
2
2
m ∈ (0, ∞)\{1}
2
m ∈ (0, 1 ]
2
√
√
Zadanie 22. a) x = −12, b) x ∈ { 2 , 1}, c) x ∈ [ −1− 29 , −1+ 29 ]\{−3}, d) x ∈ (0, 1], e) x ∈ (−∞, 1) ∪ {2}, 3
2
2
f) x ∈ [−2, 1], g) x ∈ [−7, −2) ∪ (3, ∞).
Zadanie 23. x ∈ (− 11 , 5 ).
2
2
Zadanie 24. a) x ≥ 3 , b) x ∈ [0, 2] ∪ {3}.
4
Zadanie 25. a) x ∈ (−∞, 3], b) x ∈ (−∞, 1) ∪ [2, ∞)\{0, 5}, c) x ∈ [2, 4], d) x < 5.
√
Zadanie 26. a) x = 27− 753 , b) x < −25, c) x < 10, d) x = 2, e) x ∈ [ 2 , 6], f) x ∈ [−20, 0) ∪ (5, ∞), g) 2
3
√
x ∈ [0, 3], h) x ∈ (−∞, 3). WSK: g) podstaw t =
x + 1.
Nikt nie jest nieomylny – jeżeli znajdziesz błąd w odpowiedziach, napisz do mnie!