Oscylator harmoniczny wymuszony

Równanie ruchu, rozwiązanie

opis formalny:

struktura rozwiązania:

φ ( ω” ) – wg definicji kąt, o jaki maksimum wychylenia wyprzedza maksimum czynnika wymuszającego

należy określić nieznane parametry xm( ω” ) i φ ( ω” ) − w tym celu należy podstawić rozwiązanie do równania ruchu

pojęcia „wychylenie” i „prędkość” należy rozumieć ogólniej; mogą reprezentować różne wielkości fizyczne, np.

x – wychylenie liniowe, wychylenie kątowe, ładunek elektryczny, υ – prędkość liniową, prędkość kątową, natężenie prądu elektrycznego) obliczamy pierwszą pochodną dx/ dt (wyłączamy czynnik stały przed znak pochodnej, korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej u ( ( f '

)) = '

u ( f ) ⋅ f ' ): dx = d ( x cos(

m

ω" t + φ)) = ω

− " x sin (

m

ω" t + φ)

dt

dt

obliczamy drugą pochodną d 2 x/ dt 2 (zasady j.w.): 2

d x

d  dx 

d

=



 =

( ω

− " x sin (

m

ω' t + φ))

2

= ω

− " x cos(

m

ω' t + φ)

2

dt

dt  dt 

dt

podstawiamy wyrażenia na dx/ dt i d 2 x/ dt 2 do równania ruchu: 1

− "

ω 2 x cos( "

ω t + φ) −

"

ω x sin( "

ω t + φ) + ω 2 x cos( "

ω t + φ) = α cos "

ω t

m

m

m

m

τ

po wykorzystaniu wzorów na funkcje trygonometryczne sumy kątów:

si α

n(

+ β ) = sin α cos β + cos α sin β

co α

s( + β ) = cos α cos β − sin α sin β

otrzymujemy:

ω

( 2 − "

ω 2 ) x cos "

ω t cos φ − ω

( 2 − "

ω 2 ) x sin "

ω t sin φ +

m

m

"

ω

"

ω

−

x sin "

ω t cos φ −

x cos "

ω t sin φ = α cos "

ω t

m

m

m

τ

τ

porządkujemy wyrazy ze względu na cos ω”t i sin ω”t



"

ω



( 2

2

ω − "

ω ) x cos φ

φ α

ω

m

−

x sin

m

−

cos " t

m

+







τ





(1)

"

ω



− ( 2

2

ω − "

ω ) x sin φ

φ

ω

m

+

x cos

sin " t

m

= 0







τ



warunkiem spełnienia równania (1) jest jednoczesne zerowanie współczynników przy cos ω”t i sin ω”t:

"

ω

( 2

2

ω − "

ω ) x cos φ

φ α

m

−

x sin

m

− m = 0

τ

(2)

ω"

( 2

2

ω − ω" ) x sin m

φ +

x cos

m

φ = 0

τ

(3)

z (3):

"

ω τ

2

2

ω"

ω

(

− ω" )sin φ = −

cos φ

tg φ = −

τ

→

2

2

ω −

(4)

"

ω

z tg φ obliczamy sin φ i cos φ (można skorzystać z gotowych wzorów zamieszczonych np.

w tablicach matematycznych):

tg φ

1

sin φ =

,

cos φ =

tg2 φ + 1

tg2 φ + 1

podstawiamy (4) do powyższych wzorów: ω" τ

− 2

2

ω − ω

ω" τ

sin φ

"

=

= −

2

2

2 2

2

(



ω" τ

ω − ω" ) + ( ω" τ )

−





+1

2

2

 ω − ω" 

2

2

1

ω − ω"

cos φ =

=

2

2

2 2

2

(



ω" τ

ω − ω" ) + ( ω" τ )

−





+1

2

2

 ω − ω" 

podstawiamy wyrażenia na sin φ i cos φ do (2):



2

2



ω − "

ω

( 2

2

ω − "

ω ) 



xm

+





( 2

2

ω − "

ω )2 + ( "

ω τ )2





"

ω



"

ω τ



−

α

m

x

−

− m = 0

τ





( 2

2

ω − "

ω )2 + ( "

ω τ )2





1

[ ω 2

(

− "

ω 2 2

) + ( "

ω τ 2

) ] x

= α

m

m / : ...

ω 2

(

− "

ω 2 2

) + ( "

ω τ 2

)

α

x

m

=

m

(5)

2

2 2

2

( ω − ω" ) + ( ω" τ ) α ω

υ

"

m

=

m

2

2

2

2

(6)

( ω − ω" ) + ( ω" τ ) Częstość rezonansowa

• dla wychylenia

2

d x

d x

x

m = ,

m <

m – max →

0

0

2

d "

ω

d "

ω

wystarczy obliczyć pochodne wyrażenia podpierwiastkowego w mianowniku α

x

m

=

m

X ( "

ω )

2

d X

d X

x

= ,

>

m – max →

0

0

2

d "

ω

d "

ω

obliczamy pierwszą pochodną dX / dω”

d X = d [

d

d

( 2

ω −

2

"

ω )2 + ( "

ω τ )2]=

[( 2

ω −

2

"

ω )2]+

[( "ω τ)2]=

d "

ω

d "

ω

d "

ω

d "

ω

2

2

 1

2

2 

= (

2 ω − "

ω )(−2 "

ω ) + 2( "

ω τ 1

)( τ ) = 2 "

ω  − (2 ω − "

ω )

2



 τ



obliczamy drugą pochodną d 2 X / dω” 2

2

d X

d 

 1

2

2 

=

2 "

ω

2( ω

"

ω )

2



−

−

2

 =

d "

ω

d "

ω 

 τ



 d

  1

2

2 

=

d

(2 "

ω ) ⋅

− 2( ω − "

ω ) + [2 "

ω ] 

 1

2

2 

⋅

− (

2 ω − "

ω ) =



  2





 2



 d "

ω

  τ



d "

ω  τ







 1

2

2 

= 2

− (

2 ω − "

ω ) + 2 "

ω ⋅(−2) ⋅ (−2 "

ω ) =

 2



 τ



 1

2

2

2 

= 2 − (2 ω − "

ω ) + 4 "

ω

2



 τ



d X

1

= 0

2 "

ω = 0 ∨

− (

2

2

2

ω − "

ω ) =

d "

ω

→

0

2

τ

pierwszy przypadek nie jest interesujący (zerowa częstość wymuszająca – brak drgań wymuszonych), zatem

d X

1

= 0

− 2( 2

2

ω − "

ω ) =

d "

ω

→

0

2

τ

po podstawieniu do wyrażenia na drugą pochodną: 1

2

d X

− (

2

2

2

ω − "

ω ) = 0 →

= 2 ⋅ 4 2

"

ω > 0

2

τ

2

d "

ω

tzn.

2

d X

d X

= 0 ,

> 0

2

d "

ω

→ X – min → xm – max d "

ω

obliczamy wartość ω” spełniającą warunek 1

1

2

1

− (

2

2

2

ω − "

ω ) = 0 → 2

2

ω − ω" =

→ ω"rez = ω −

(7)

2

τ

2

2

2 τ

2 τ

• dla prędkości

2

d υ

d υ

υ

m = 0 ,

m <

m – max →

0

2

d "

ω

d "

ω

wystarczy licznik i mianownik podzielić przez ω”

α

υm =

m

[

( ω ω" ) − ]2

2

2

1

+ 1

( τ )

i obliczyć pochodne wyrażenia podpierwiastkowego w mianowniku αm

υ =

m

V ( "

ω )

2

d V

d V

υ

= ,

>

m – max →

0

0

2

d "

ω

d "

ω

obliczamy pierwszą pochodną dV / dω”

2

2



2

2 



2



2

d V

d

 ω





 1 

d







 ω





d 





 1 



=



 −1 +   =



 −1

+

   =

d "

ω

d "

ω   "

 ω







 τ   d "

ω   "



 ω 

 d "









ω



 τ







  



2

2

 ω





ω 

1





 ω





ω

= 2

 −1 ⋅ 2

⋅ −

 = −4

 −1 ⋅

=

2

3

 "

 ω 

"



 ω 

"

ω 

 "



 ω 

"



 ω



2

( ω

"

ω ) −1

= −4 ω

3

"

ω

obliczamy drugą pochodną d 2 V / dω” 2 – korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu

′

 f 

f ' g − f '

g

=

 

:

2

g

 

g

2

d V

d 

( ω ω" )2 − 1

=

ω

2

− 4

3

 =

ω

d "

ω

d " 

ω"



2

2

4 ω 





d

 ω 

= −

ω

d





 − 

1  ω"

ω"

6

[⋅ 3] 









−   − 

1 ⋅ 

[ 3]=

ω"  dω"  ω"











 ω"

  ω

d "







2

4 ω   ω  

ω 

= −

ω



ω"

ω"

6

 

2

 ⋅−

 [⋅



3

2

] 



−  



 − 

1 [3 2]

⋅

 =

ω"   ω"  ω" 

 ω"









2



= − 4 ω −

ω

2 2

ω

3

2

ω" 

−





− 

1 

6

ω" 

 ω"







2

d V

 ω 

= 0



 −1 =

d "

ω

→

0

 "

ω 

po podstawieniu do wyrażenia na drugą pochodną: 2

d V

 4 ω 

= −

 ⋅(−2 2

ω ) > 0

2

6

dω"

 ω" 

tzn.

2

d V

d V

= 0 ,

> 0

2

d "

ω

→ V – min → υm – max d "

ω

obliczamy wartość ω” spełniającą warunek 2

 ω 



 −1 = 0 → ω"rez = ω

(8)

 "

ω 