1. Wyznaczyć okres obrotu T KsięŜyca dookoła Ziemi wiedząc, Ŝe przyspieszenie ziemskie na biegunie
wynosi g = 9,83 m/s2, promień Ziemi Rz = 6370 km oraz odległość między KsięŜycem a Ziemią wynosi
R = 384×108 m .
2. Sztuczny satelita krąŜy dookoła Ziemi, której promień jest równy 6370 km po orbicie kołowej o
promieniu 7938 k. Obliczyć okres obiegu satelity. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi
przyjmij równe 9,8 m/s². Masa ziemi jest nieznana.
3. Na jakiej wysokości cięŜar ciała jest n razy mniejszy od cięŜaru tego ciała na powierzchni Ziemi?
Promień Ziemi R= 6370 km. Szczegółowe obliczenia numeryczne wykonaj dla n= 9.
4. Maksymalna wysokość pierwszego sputnika Ziemi wynosiła h = 947 km. Jaka prędkość liniową v
musiał mieć wtedy sputnik, jeśli dalszy jego ruch odbywał się po orbicie kołowej ? Promień Ziemi jest
równy R z = 6370 km.
5. Wyznaczyć odległość od środka Ziemi do sztucznego satelity oraz wyznaczyć jego prędkość liniową,
jeŜeli satelita porusza się w płaszczyźnie równika w kierunku obrotu Ziemi z taką prędkością, Ŝe jest on
nieruchomy względem Ziemi. Promień Ziemi przyjąć za równy R = 6400 km.
6. Wyznaczyć okres obrotu T sztucznego satelity Ziemi, jeŜeli jego odległość od powierzchni Ziemi jest
równa promieniowi Ziemi R z .
7. W jakiej odległości x od środka Ziemi rakieta kosmiczna podąŜająca w kierunku KsięŜyca, będzie
przyciągana taką sama siła przez KsięŜyc jak i przez Ziemię ? Masa KsięŜyca jest 81 razy mniejsza od
masy Ziemi, a odległość między ich środkami jest 60 razy większa od promienia Ziemi R z .
8. Znaleźć przyspieszenie grawitacyjne panujące na powierzchni planetoidy o średnicy 30 km, zakładając,
Ŝe średnia gęstość planetoidy jest taka sama jak Ziemi. Średnica Ziemi jest równa 12800km.
9. Obliczyć stałą grawitacji g, przyjmując, Ŝe promień Ziemi jest równy R=6370 km, a średnia gęstość
Ziemi ma wartość ρ = 5,5×103 kg/m3 .
10. Wyznaczyć masę Słońca, gdy znany jest okres obrotu Ziemi dookoła Słońca T i promień orbity
ziemskiej r.
11. Wyznaczyć gęstość ρ planety, na której doba wynosi T = 24 godziny, jeŜeli na jej równiku ciała są
niewaŜkie.
12. Wyznaczyć przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Słońca, jeŜeli znany jest rok ziemski T,
odległość R od Ziemi do Słońca i kąt α, pod którym jest widoczna z Ziemi średnica Słońca.
13. Średnica planetoidy jest równa d = 5 km. Zakładając, Ŝe gęstość materii planetoidy wynosi ρ = 5,5×103
kg/m3, znaleźć przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni i obliczyć na jaka wysokość h a
podskoczył człowiek znajdujący się na jej powierzchni, jeŜeli w wykonanie skoku włoŜył tyle samo
wysiłku ile potrzeba, aby podskoczyć na wysokość h = 0,5 m na powierzchni Ziemi.
14. Jaką prędkość v powinno uzyskać ciało, aby mogło ono, startując z powierzchni KsięŜyca, oddalać się
w nieskończoność? Masa KsięŜyca M = 7,3×1022 kg, promień KsięŜyca R=1740 km
15. Z jaka prędkością porusza się Ziemia wokół Słońca, jeŜeli odległość między nimi r=15×1011m, a masa
Słońca 19×1030kg ?
16. Znaleźć średnią gęstość Ziemi ρ, jeŜeli wiadomo, Ŝe jej promień R=6370 km, a przyspieszenie
swobodnego spadku g=9,81 m/s2 .
17. Znaleźć masę Ziemi M, jeŜeli wiadomo, Ŝe sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości h = 1000 km
w czasie T = 106 min. Promień Ziemi R=6370 km.
18. Wykorzystując dane zawarte na karcie wzorów maturalnych wyznaczyć wartość liczbową pierwszej
prędkości kosmicznej, tj. takiej prędkości, jaką naleŜy nadać ciału w kierunku poziomym przy
powierzchni Ziemi, aby zaczęło poruszać się ono po orbicie kołowej wokół Ziemi jako jej satelita.
19. Wykorzystując dane zawarte na karcie wzorów maturalnych wyznaczyć wartość liczbową drugiej
prędkości kosmicznej, tj. takiej prędkości, jaka naleŜy nadać ciału przy powierzchni Ziemi, aby
pokonało ono przyciąganie ziemskie i na zawsze oddaliło się od Ziemi.
20. Znaleźć zaleŜność przyspieszenia siły cięŜkości od wysokości ponad powierzchnią Ziemi. Na jakiej
wysokości h przyspieszenie siły cięŜkości stanowi 25% wartości przyspieszenia siły cięŜkości na
powierzchni Ziemi.
21. Wyznaczyć zmianę przyspieszenia siły cięŜkości przy opuszczaniu ciała na głębokość h. Na jakiej
głębokości przyspieszenie siły cięŜkości stanowi 25% przyspieszenia siły cięŜkości na powierzchni
Ziemi?
Gęstość
Ziemi
uwaŜać
za
stałą.
WSKAZÓWKA. Uwzglę dnić , Ŝ e na ciało, które znajduje się na głę bokoś ci h pod powierzchnią Ziemi, nie działa przycią ganie od wyŜ ej leŜą cej warstwy kulistej o gruboś ci h, gdyŜ przycią ganie przez poszczególne częś ci tej warstwy wzajemnie się
równowaŜ y.
22. Ile razy energia kinetyczna sztucznego satelity Ziemi poruszającego się po torze kołowym jest mniejsza
od jego grawitacyjnej energii potencjalnej ?
23. Masa KsięŜyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi, stosunek zaś promieni KsięŜyca i Ziemi wynosi
3/11. Obliczyć przyspieszenie siły cięŜkości g k na powierzchni KsięŜyca.
24. Czas obiegu Jowisza dookoła Słońca jest 12 razy dłuŜszy od czasu obiegu Ziemi dookoła Słońca. Jaka
jest odległość Jowisza od Słońca, jeŜeli odległość Ziemi od Słońca wynosi 150×106 km? Przyjąć orbity
obu planet jako kołowe.
25. Największa odległość komety Halleya od Słońca wynosi H = 35,4, najmniejsza h = 0,59 odległości
Ziemi od Słońca. Prędkość liniowa komety w połoŜeniu najdalszym od Słońca (aphelium) wynosi u =
0,91 km/s. Jaka jest prędkość liniowa komety, gdy znajduje się ona w połoŜeniu najbliŜszym
(perihelium) ?
26. Jakie przyspieszenie a nadaje Słońce ciałom znajdującym się na Ziemi ?
27. Zaniedbując opór powietrza obliczyć wartość najmniejszej pracy, jaką trzeba zuŜyć, aby przenieść masę
m = 1 kg z powierzchni Ziemi na powierzchnię KsięŜyca, Promień Ziemi wynosi 6400 km, promień
KsięŜyca 1740 km; przyspieszenie grawitacyjne na KsięŜycu, spowodowane jego własnym
przyciąganiem, wynosi 0,16 g, gdzie g = 9,8 m/s2 jest przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni
Ziemi. Wpływu Słońca i planet pod uwagę nie bierzemy.
28. Obliczyć pracę, jaką naleŜy wykonać, aby pocisk znajdujący się na powierzchni Ziemi umieścić na stałe
na kołowej orbicie okołoziemskiej o promieniu 3R, gdzie R oznacza promień Ziemi. Masa pocisku
wynosi m , przyspieszenie ziemskie (na powierzchni Ziemi) wynosi g. Pomijamy pracę potrzebną na
pokonanie oporu powietrza.
29. Satelita Ziemi o masie m zmienił orbitę kołową o promieniu R1 na orbitę kołową o promieniu R2 > R1.
Obliczyć zmianę energii mechanicznej satelity. Promień Ziemi wynosi R, a przyspieszenie grawitacyjne
na powierzchni Ziemi – g.
30. Okres drgań wahadła matematycznego na powierzchni Ziemi wynosi T0=3s. Obliczyć, jaki będzie okres
drgań tego wahadła umieszczonego na wysokości h=2R/3 nad powierzchnią Ziemi (R – promień
Ziemi).
31. Satelita krąŜy tuŜ przy powierzchni pewnej planety będącej jednorodną kulą o objętości V. Okres
obiegu satelity wynosi T. Obliczyć okres wahań wahadła matematycznego o długości l umieszczonego
na biegunie tej planety.
32. Jak zaleŜy okres obiegu satelity krąŜącego wokół planety tuŜ nad jej powierzchnią od gęstości tej
planety?
33. Dwa pojazdy kosmiczne A i B o jednakowych masach krąŜą po orbitach kołowych wokół Ziemi, pojazd
A tuŜ przy powierzchni Ziemi, zaś pojazd B na wysokości h. Obliczyć wysokość h, jeŜeli wiadomo, Ŝe
energia kinetyczna pojazdu B jest czterokrotnie mniejsza od energii kinetycznej pojazdu A (wyrazić h w
funkcji promienia Ziemi R).
34. Dana jest planeta o masie n=1000 razy mniejszej od masy Ziemi. Oblicz potencjał grawitacyjny na
powierzchni tej planety, jeśli wiadomo, Ŝe na powierzchni Ziemi wynosi on V, rekord skoku wzwyŜ na
tej planecie, jeśli wiadomo, Ŝe na Ziemi jest on równy h. Przyjąć, Ŝe zarówno planeta jak i Ziemia są
kulami o tej samej gęstości. ZałoŜyć ponadto, Ŝe prędkość początkowa skoczka na Ziemi i na tej
planecie byłaby jednakowa.
35. Satelita Ziemi o masie m=1000 kg porusza się po orbicie kołowej w odległości od powierzchni Ziemi
równej jej promieniowi. Jaką pracę W naleŜy wykonać by umieścić go na orbicie o promieniu równym
trzem promieniom Ziemi? Przyjąć, Ŝe promień Ziemi jest równy R=6370 km, a wartość przyspieszenia
ziemskiego g=10 m/s2.
36. Obliczyć prędkość ucieczki (drugą prędkość kosmiczną) z planety, której powierzchnia jest n=100 razy
większa od powierzchni Ziemi. Zakładamy, Ŝe planeta i Ziemia są jednorodnymi kulami o tej samej
gęstości. Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi wynosi v=11,3 km/s.
Zad. Odp.
1
27,4 doby
2
1h 59 min
3
12740 km
4
7,3 km/s
5
424500km, 3,1 km/s
54 Rz
8
2,3 cm/s2
9
6,7*10-11 [m2/(kgs2)]
11
19 kg/m3
13
0,385*10-2 m/s2; 127m
14
2,4 km/s
15
29,8 km/s
16
5500 kg/m3
20
R
21
0,75R
22
2 razy
23
0,166g
24
786*106km
25
54,5 km/s
26
0,6 cm/s2
27
Około 6*107 J