FUNKCJE
DWÓCH I TRZECH
ZMIENNYCH
ZBIORY NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
Definicja 1 (płaszczyzna, przestrzeń)
R 2 = (
{ x, y) : x, y∈ }
R
R 3 = (
{ x, y, z) : x, y, z∈ }
R
Definicja 2 (odległość punktów)
P P =
x − x
+ y − y
1 2
( 2
)2
1
( 2
)2
1
P P =
x − x
+ y − y
+ z − z
1 2
( 2
)2
1
( 2
)2
1
( 2
)2
1
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 2 / 34
Definicja 3 (otoczenie punktu)
Otoczeniem o promieniu r>0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór:
O( P , r
: ,
.
0
) = { P P P 0 < r}
W R 2 otoczeniem punktu jest koło otwarte o środku w tym punkcie.
W R 3 otoczeniem punktu jest kula otwarta o środku w tym punkcie.
Definicja 4 (sąsiedztwo punktu)
Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór:
S( P , r = O P , r \ P .
0
)
( 0 ) { 0}
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 3 / 34
Definicja 5 (zbiór ograniczony i nieograniczony)
JeŜeli istnieje punkt P 0 i istnieje liczba r>0 takie, Ŝe zbiór A jest zawarty o otoczeniu O( P , r tego punktu, to zbiór A jest 0
)
ograniczony.
W przypadku przeciwnym mówimy, Ŝe zbiór A jest
nieograniczony.
Definicja 6 (punkt wewnętrzny zbioru, wnętrze zbioru)
JeŜeli istnieje otoczenie punktu P zawarte w zbiorze A, to P jest punktem wewnętrznym zbioru A.
Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru nazywamy jego
wnętrzem.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 4 / 34
JeŜeli kaŜdy punkt zbioru jest jego punktem wewnętrznym, to
zbiór jest otwarty.
Definicja 8 (punkt brzegowy zbioru, brzeg zbioru)
JeŜeli kaŜde otoczenie punktu P zawiera punkty naleŜące do
zbioru A i punkty nie naleŜące tego zbioru (czyli naleŜące do dopełnienia A), to punkt P jest punktem brzegowym zbioru A.
Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru nazywamy jego
brzegiem.
Definicja 9 (zbiór domknięty)
JeŜeli zbiór zawiera swój brzeg, to jest domknięty.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 5 / 34
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH
Definicja 1 (funkcja dwóch zmiennych)
Funkcją dwóch zmiennych określoną na
2
A ⊂ R o wartościach
w ℜ nazywamy przyporządkowanie kaŜdemu punktowi ze zbioru
A dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
Oznaczamy: f : A → R lub z = f ( x, y) gdzie ( x, y) ∈ A.
f ( x, y) oznacza wartość funkcji f w punkcie ( x, y).
Definicja 2 (funkcja trzech zmiennych)
Funkcją trzech zmiennych określoną na
3
A ⊂ R o wartościach
w ℜ nazywamy przyporządkowanie kaŜdemu punktowi ze zbioru
A dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
Oznaczamy: f : A → R lub u = f ( x, y, z) gdzie ( x, y, z) ∈ A.
f ( x, y, z) oznacza wartość funkcji f w punkcie ( x, y, z).
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 6 / 34
Definicja 3 (dziedzina, dziedzina naturalna)
Niech f będzie funkcją określoną na podzbiorze płaszczyzny
(przestrzeni). Zbiór ten nazywamy dziedziną funkcji f
i oznaczamy Df.
JeŜeli funkcja jest określona tylko wzorem, to zbiór tych punktów
płaszczyzny (przestrzeni), dla których wzór ten ma sens
nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład 1
Wyznaczyć i naszkicować dziedziny funkcji:
1. f ( x y) = 1
,
+ y ,
x
1
2. f ( x, y) =
.
2
2
1− x − y
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 7 / 34
Definicja 4 (wykres i poziomica funkcji dwóch zmiennych) Wykresem funkcji z = f ( x, y) nazywamy zbiór: ({ x, y, z) 3
∈ R : ( x, y)∈ D , z = f ( x, y .
f
})
Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R
nazywamy zbiór:
{( x, y) ∈ D : f ( x, y) = }
h .
f
Przykład 2
Naszkicować wykresy funkcji:
1. z = 4( 2
2
x + y ),
2.
2
2
z = 4 x + y .
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 8 / 34
Definicja 5 (ciąg na płaszczyźnie)
Ciągiem punktu na płaszczyźnie nazywamy przyporządkowanie
kaŜdej liczbie naturalnej punktu płaszczyzny.
Symbolem ( P oznaczamy taki ciąg, gdzie P =
,
jest n-tym
n
( x y)
n )
wyrazem ciągu. Zbiór wyrazów tego ciągu (
{ x , y : ∈
n
n )
n
N}
oznaczamy krótko przez { P lub (
{ x , y .
n
n )}
n }
Definicja 6 (granica właściwa ciągu)
lim P = P
⇔ ( lim x = x ora z lim y = y ) n
0
n
0
n
0
n→∞
n→∞
n→∞
Uwaga 1
Czyli, ciąg ( P jest zbieŜny do punktu P , jeŜeli w dowolnym n )
0
otoczeniu punktu P znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.
0
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 9 / 34
Definicja 7 (Heinego granicy właściwej funkcji) Niech ( x , y ∈ R oraz funkcja f będzie określona przynajmniej 0
) 2
0
na sąsiedztwie S( x , y .
0
0 )
Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie ( x , y , 0
0 )
co zapisujemy
lim
f ( x, y) =
(
x, y )→( x y
0 , 0 )
g
wtedy i tylko wtedy, gdy
∧ ( lim( x , y = , ⇒ lim ,
.
0
0
=
n
n )
( x y )) (
f ( x y
n
n )
g)
(( x , y
→∞
→∞
n
n ))
n
n
({ x , y ⊂
n
n )} S ( x , y
0
0 )
Uwaga 2
Granicę niewłaściwą definiuje się analogicznie.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 10 / 34
Twierdzenie 1 (arytmetyka granic funkcji)
JeŜeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie ( x , y , to 0
0 )
1.
lim
[ f ( x, y)+ g( x, y)]=
lim
f ( x, y) +
lim
g( x, y)
( x, y)→( x , y
→
→
0
0 )
( x, y) ( x , y
0
0 )
( x, y) ( x , y
0
0 )
2.
lim
[ f ( x, y)⋅ g( x, y)]= lim f ( x, y)⋅
lim
g( x, y)
(
x, y )→( x , y
→
→
0
0 )
( x, y) ( x , y
0
0 )
( x, y) ( x , y
0
0 )
lim
,
f ( x, y)
f ( x y)
( x, y)→( x , y
0
0 )
3.
=
lim
g( x, y) ≠
(
lim
, o ile
0.
x, y )→( x , y
( x, y)→( 0 x, y 0 )
0
0 ) g ( x, y )
lim
g( x, y)
( x, y)→( x , y
0
0 )
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 11 / 34
Twierdzenie 2 (granica funkcji złoŜonej)
JeŜeli funkcje p, q i f spełniają warunki:
1.
lim
p( x, y) =
lim
q( x, y) =
(
p ,
q ,
0
x, y )→( x
( x, y)→( x ,0 y 0 )
0 y 0 )
0
,
2. ( p( x, y), q( x, y)) ≠ ( p , q dla kaŜdego ( x, y)∈ S( p , q , 0
0 )
0
0 )
3.
lim
f ( p, q) =
(
,
p, q )→( p q
0 , 0 )
g
to
lim
f ( p( x, y), q( x, y) =
(
.
x, y )→( x y
0 , 0 )
g
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 12 / 34
W obydwu twierdzeniach dopuszczalne są granice niewłaściwe, o
ile wyniki odpowiednich działań z takimi symbolami są
oznaczone.
Nie ma odpowiednika reguły de’Hospitala
do obliczania granic wyraŜeń nieoznaczonych
funkcji dwóch i trzech zmiennych.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 13 / 34
Obliczyć granice, jeŜeli istnieją:
2
x + y
1. lim
,
2
3
x
1
→ 2 x + y
y→2
2
x y
2. lim
.
3
3
x→0 x + y
y→0
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 14 / 34
Definicja 8 (funkcja dwóch zmiennych ciągła w punkcie) Niech ( x , y ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona 0
) 2
0
przynajmniej na otoczeniu O( x , y . Funkcja f jest ciągła 0
0 )
w punkcie ( x , y wtedy i tylko wtedy, gdy
0
0 )
lim
f ( x, y) = f ( x , y .
0
0 )
( x, y)→( x ,0 y 0 )
Twierdzenie 3 (ciągłość sumy, iloczynu i ilorazu funkcji)
JeŜeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie ( x , y , to w tym punkcie 0
0 )
ciągłe są takŜe funkcje:
1. f + g ,
2. f ⋅ g ,
f
3.
, o ile g( x , y ≠ .
0
0 )
0
g
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 15 / 34
Twierdzenie 4 (ciągłość funkcji złoŜonej)
JeŜeli funkcje p, q oraz f spełniają warunki: 1. p i q są ciągłe w punkcie ( x , y , 0
0 )
2. f jest ciągła w punkcie ( p , q = p x , y , q x , y
,
0
0 )
( ( 0 0) ( 0 0)
to funkcja f ( p( x, y), q( x, y)) jest ciągła w punkcie ( x , y .
0
0 )
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 16 / 34
FUNKCJI DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH
Definicja 9 (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
punktu ( x , y . Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f 0
0 )
względem x w punkcie ( x , y określamy wzorem: 0
0 )
f
∂ (
,
,
0 + ∆
0
−
x , y
lim
.
0
0 )
f ( x
x y )
f ( x y
0
0 )
=
x
∂
x
∆ →0
x
∆
Podobnie jest określona pochodna cząstkowa względem y:
f
∂ (
,
,
0
0 + ∆
−
x , y
lim
.
0
0 )
f ( x y
y)
f ( x y
0
0 )
=
y
∂
∆ x→0
y
∆
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 17 / 34
Definicja 10 (pochodne cząstkowe na zbiorze otwartym) JeŜeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w
kaŜdym punkcie zbioru otwartego
2
D ⊂ R , to funkcje
f
∂ (
f
∂
x, y),
( x, y), gdzie ( x, y)∈ D,
x
∂
y
∂
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu na zbiorze
f
∂
f
∂
D i oznaczamy odpowiednio przez
,
lub f , f .
x
∂
y
∂
x
y
Uwaga 3
Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej
pozostałe zmienne traktujemy jako stałe.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 18 / 34
Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:
1. f ( x, y) = 2 3
x + y − 3
2
xy − 1,
x 2
2
y 2
2. f ( x, y) =
−
,
y
x
3. f ( x, y)
y
= x ,
4.
−
f ( x, y) = e cox sin y.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 19 / 34
Definicja 11 (pochodne cząstkowe drugiego rzędu) f
∂
f
∂
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe
,
przynajmniej
x
∂
y
∂
na otoczeniu punktu ( x , y . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu 0
0 )
funkcji f w punkcie ( x , y określamy wzorami: 0
0 )
2
∂ f (
f
∂ f
∂
x , y
= x , y ,
2
0
0 )
( 0 0)
∂
x
∂ x
x
∂
2
∂ f (
f
∂ f
∂
x , y
= x , y ,
0
0 )
( 0 0)
x
∂ y
∂
x
∂ y
∂
2
∂ f (
f
∂ f
∂
x , y
= x , y ,
0
0 )
( 0 0)
y
∂ x
∂
y
∂ x
∂
2
∂ f (
f
∂ f
∂
x , y
= x , y .
2
0
0 )
( 0 0)
∂
y
∂ y
y
∂
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 20 / 34
Definicja 12 (pochodne cząstkowe na zbiorze otwartym) JeŜeli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu
w kaŜdym punkcie zbioru otwartego
2
D ⊂ R , to funkcje
2
∂ f (
2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
x, y),
( x, y),
( x, y),
( x, y),
x 2
∂
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
y 2
∂
gdzie ( x, y)∈ D,
nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu na zbiorze D
2
∂ f ∂2 f
∂2 f
2
∂ f
i oznaczamy odpowiednio przez
,
,
,
2
x
∂
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
2
y
∂
lub f , f , f , f .
xx
xy
yx
yy
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 21 / 34
Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
1. f ( x, y)
2
= x y − 2 3 2
y x + x − y −1,
2. f ( x, y) = x sin y ,
3. f ( x, y) = ln( 2
2
x y − y ).
Pokazać, Ŝe spełnione są następujące związki:
1. xz
z
gdy
y
z = xe ,
x −
y = 0
2. z
z
gdy z = ln( x
y
e + e ).
x +
y = 1
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 22 / 34
Twierdzenie 5 (Schwartza o pochodnych mieszanych)
∂2 f
∂2 f
JeŜeli pochodne cząstkowe
,
są ciągłe w punkcie
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
( x , y , to są równe, tj.
0
0 )
2
∂ f (
∂ f
x , y
=
x , y .
0
)
2
0
( 0 0)
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
Uwaga 4
Prawdziwe są takŜe analogiczne równości dla pochodnych
mieszanych drugiego rzędu funkcji trzech zmiennych,
a takŜe pochodnych mieszanych wyŜszych rzędów.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 23 / 34
Definicja 13 (róŜniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
w punkcie ( x , y .
0
0 )
RóŜniczką funkcji f w punkcie ( x , y nazywamy funkcję 0
0 )
df ( x , y zmiennych ( x
∆ , y
∆ ) określoną wzorem:
0
0 )
∂
∂
df ( x , y
,
,
,
.
0
0 )(
x
∆ ∆ )
f
y =
( x y
0
0 )
f
x
∆ +
( x y
0
0 ) y
∆
x
∂
y
∂
Fakt 1 (zastosowanie róŜniczki funkcji do obliczeń przybliŜonych) Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
w punkcie ( x , y . Wtedy
0
0 )
f ( x
.
0 +
x
∆ , y 0 + y
∆ ) ≈ f ( x , y
0
0 ) + df ( x , y
0
0 )(
x
∆ ,∆ y)
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 24 / 34
Obliczyć przybliŜone wartości wyraŜeń:
1. ( 0
,
1 7)2,97,
2.
0
,
2 2 ⋅ 0
,
7 6 ,
3.
2( 0
,
1
)3
3 + ( 9
,
2 7)2 .
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 25 / 34
Niech funkcja f ma na otoczeniu punktu ( x , y pochodne 0
0 )
cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech ( x, y) będzie dowolnym punktem z tego otoczenia.
Wtedy na odcinku łączącym punkty ( x , y i ( x, y) istnieje punkt 0
0 )
( x , y taki, Ŝe
c
c )
−
−
−
−
f (
2
df x y
x
x y
y
d f x y
x
x y
y
x, y) = f ( x , y +
+
0
0 )
( ,0 0)(
,
0
0 )
( ,0 0)(
,
0
0 )
!
1
!
2
n 1
−
d
f ( x , y
x − x y − y
d n f x y
x − x y − y
0
0 )(
,
0
0 )
( , c c)(
,
0
0 )
+ ... +
(
+
n − )
1 !
!
n
Uwaga 5
Dla ( x , y =
będzie to oczywiście wzór Maclaurina.
0
0 )
( 0,
0 )
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 26 / 34
Definicja 14 (minimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja ma w punkcie ( x , y minimum lokalne, jeŜeli istnieje 0
0 )
otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego ( x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność
f ( x, y) ≥ f ( x , y , 0
0 )
2. Funkcja ma w punkcie ( x , y minimum lokalne właściwe, 0
0 )
jeŜeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego
( x, y) z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność
f ( x, y) > f ( x , y .
0
0 )
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 27 / 34
Definicja 15 (maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja ma w punkcie ( x , y maksimum lokalne, jeŜeli 0
0 )
istnieje otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego ( x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność
f ( x, y) ≤ f ( x , y , 0
0 )
2. Funkcja ma w punkcie ( x , y maksimum lokalne właściwe, 0
0 )
jeŜeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego
( x, y) z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność
f ( x, y) < f ( x , y .
0
0 )
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 28 / 34
Twierdzenie 7 (warunek konieczny istnienia ekstremum)
JeŜeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie ( x , y ,
0
0 )
f
∂
f
∂
2. istnieją pochodne cząstkowe
( x , y , ( x , y ,
0
0 )
0
0 )
x
∂
y
∂
to
∂ f (
∂ f
x , y
= , ( x , y = .
0
0 )
0
0
0 )
0
∂ x
∂ y
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 29 / 34
Twierdzenie 8 (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu ( x , y oraz niech
0
0 )
∂ f
∂ f
1.
( x , y = , ( x , y = ,
0
0 )
0
0
0 )
0
∂ x
∂ y
2
∂ f
∂ f
(
2
x , y
x y
2
0
0 )
( ,0 0)
∂ x
∂ x∂ y
2. det
> 0.
2
∂ f (
2
∂ f
x ,
y
x y
0
0 )
( ,
2
0
0 )
∂ y∂ x
∂ y
Wtedy w punkcie ( x , y funkcja ma ekstremum lokalne właściwe: 0
0 )
2
∂ f
minimum, gdy
( x , y > ,
2
0
0 )
0
∂ x
2
∂ f
maksimum, gdy
( x , y < .
0
0 )
0
2
∂ x
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 30 / 34
Wyznaczyć ekstrema funkcji:
1. z = x 2 + 2 y 2 − 4 x + 4 y , 2. z = x 3 + xy 2 + 6 xy.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 31 / 34
Definicja 16 (wartość najmniejsza i największa funkcji na zbiorze) 1. Liczba m jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A ⊂ D , jeŜeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym funkcja f
przyjmuje wartość m oraz dla dowolnego punktu ( x, y)∈ A zachodzi nierówność
f ( x, y) ≥ m,
2. Liczba M jest wartością największą funkcji f na zbiorze A ⊂ D , jeŜeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym funkcja f
przyjmuje wartość M oraz dla dowolnego punktu ( x, y)∈ A zachodzi nierówność
f ( x, y) ≤ M .
Liczby m i M nazywamy odpowiednio minimum i maksimum
globalnym funkcji f na zbiorze A.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 32 / 34
ALGORYTM SZUKANIA EKSTREMÓW GLOBALNYCH
NA OBSZARZE DOMKNIĘTYM
1. Na obszarze otwartym szukamy punktów, w których funkcja
moŜ e mieć ekstrema lokalne.
2. Na brzegu obszaru badamy zmienność funkcji, co sprowadza się
do poszukiwania ekstremów funkcji jednej zmiennej.
3. Porównujemy wartości funkcji w otrzymanych punktach
i wybieramy wartość najmniejszą i największą.
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 33 / 34
Wyznaczyć wartość najmniejszą i wartość największą funkcji
w danym zbiorze:
1.
2
z = x − xy + 2 2
y + 3 x + 2 y +1, w trójkącie ograniczonym
liniami x = 0, y = 0, y = − x − 5;
2.
2
2
z = x − y , D = {( x, y) : 2
2
x + y ≤ }
4 .
FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 34 / 34