Zajmiemy si ę teraz problemem istnienia rozwiązania tzw. zagadnienia początkowego Cauchy’ego, które zdefiniujemy poniżej. Rozważmy równanie
x′ = f (t, x) ,
(2.1)
gdzie x (t) ∈ Rm, f : D → Rm gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym zaś f ∈ C (D) tzn. f jest ciągła na D. Jeżeli do równania (2.1) dołożymy warunek x (t0) = x0
(czyli warunek początkowy), gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem, to otrzymamy zagadnienie początkowe Cauchy’ego
x′ = f (t, x) , .
(2.2)
x (t0) = x0
Rozwiązaniem (2.2) nazywamy każdą funkcję ϕ b ędącą rozwiązaniem równania (2.1) i taką, że ϕ (t0) = x0.
Uwaga 2.1 Dla równania rz ędu n postaci normalnej (1.4), ze wzgl ędu na (1.5), warunek początkowy przybiera postać
x (t0) = x(1)
0 , x′ (t0) = x(2)
0 , x′′ (t0) = x(3)
0 , . . . , x(n−1) (t0) = x(n)
0 .
2.1. Twierdzenie Peano.
Dla x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm wprowadźmy normę x :
x =
x21 + x22 + . . . + x2 .
m
Można udowodnić, że dla dowolnych x, y ∈ Rm prawdziwa jest tzw. nierówność trójkąta:
|x − y| ≤ x + y ≤ x + y .
oraz, że funkcja ̺ (x, y) = x − y jest metryką w Rm.
Poniższe twierdzenie mówi o istnieniu rozwiązania zagadnienia (2.2).
11
Twierdzenie 2.1 (Peano) Niech f : D → Rm, gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym, b ędzie funkcją ciągłą na D. Określmy zbiór K = {(t, x) ∈ R × Rm : t ∈ [t0, t0 + a] ∧ x − x0 ≤ b} ⊂ D,
gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem zbioru, zaś a, b > 0 są takimi liczbami, że K ⊂ D. Wówczas zagadnienie (2.2) ma rozwiązanie określone przedziale [t0, t0 + α]
gdzie α = min a, b
i M = sup f (t, x) .
M
(t,x)∈K
W dowodzie Twierdzenia Peano wykorzytamy Twierszenie Arzeli-Ascoli’ego. Przypomnijmy poniżej jego treść.
Twierdzenie 2.2 (Arzeli-Ascoli’ego) Niech dany b ędzie ciąg funkcyjny {gn}
gdzie
n∈N
gn : [a, b] → RN . Załóżmy, że {gn}
jest ciagiem funkcji wspólnie ograniczonych tzn.
n∈N
istnieje liczba A > 0, że dla dowolnych n ∈ N i t ∈ [a, b] prawdziwea jest nierówność
gn (t) ≤ A.
Załóżmy również, że funkcje gn są jednakowo ciągłe na [a, b] tzn. dla dowolnie ustalonego t0 ∈ [a, b] , dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0, że jeśli t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) ⊂ [a, b] , to dla dowolnego n ∈ N prawdziwa jest nierówność gn (t) − gn (t0) < ε. Wówczas, przy powyższych założeniach, istnieje podciąg {gn }
ciągu {g
zbieżny jednostajnie do
k
k∈N
n}n∈N
pewnej funkcji ciągłej g na [a, b] .
Przejdźmy obecnie do dowodu Twierdzenia Peano.
Dowód. Wykorzystamy tutaj pewne łamane (łamane Eulera) przybliżające rowiązanie.
Dla dowolnej liczby k ∈ N niech dana b ędzie liczba nk. Dzielimy przedział [t0, t0 + α] na nk mniejszych przedziałów punktami:
t0 = t(k)
0
< t(k)
1
< t(k)
2
< . . . < t(k) = t
n
0 + α.
k
Konstruujemy łamaną ϕ , b ędącą k−tym przybli
k
żeniem rozwiązania, w nast ępujący sposób:
ϕ (t
k
0) = x0,
ϕ (t) = ϕ
t(k) + f t(k), ϕ
t(k)
t − t(k) , dla t ∈ t(k), t(k) , i = 1, 2, . . . , n
k
k
i
i
k
i
i
i
i+1
k − 1.
B ędziemy dokonywali przejścia granicznego gdy n
k → ∞ tak, że sup t(k)
i+1 − t(k)
i
→ 0.
i
Zauważmy, że {ϕ }
jest ciągiem funkcji ciągłych na przedziale [t
k k∈N
0, t0 + α].
Funkcja
ϕ jest ró
na (t
, i = 1, 2, . . . , n
k
żniczkowalna ϕk
0, t0 + α) z wyjątkiem punktów t(k)
i
k − 1.
Ponadto {ϕ }
jest ciągiem funkcji wspólnie ograniczonych na przedziale [t
k k∈N
0, t0 + α]
bowiem dla dowolnego k ∈ N i dowolnego t ∈ t(k), t(k) , i = 1, 2, . . . , n i
i+1
k − 1 zachodzi
oszacowanie
ϕ (t) =
t(k) + f t(k), ϕ
t(k)
t − t(k)
k
ϕk
i
i
k
i
i
≤
(2.3)
≤
ϕ
t(k)
t(k), ϕ
t(k)
t − t(k) .
k
i
+ f
i
k
i
i
Ponieważ t, ϕ
t(k)
∈ K zatem
t(k) − x
k
i
ϕk
i
0 ≤ b, a stąd z nierówności trójkąta
dla normy otrzymujemy
ϕ
t(k)
k
i
≤ b + x0. Ostatecznie (2.3) przybiera postać
ϕ (t) ≤ b + x
k
0 + M α,
co oznacza wspólną ograniczoność ciągu funkcji {ϕ }
przedziale [t
}
k k∈N
0, t0 + α] . Ciąg {ϕk k∈N
jest ciągiem funkcji jednakowo ciągłych na [t0, t0 + α] . Bowiem dla t1 < t2 takich, że
t1 ∈ t(k), t(k) i t
t(k), t(k)
gdzie i ≤ j, definicji ϕ mamy
i
i+1
2 ∈
j
j+1
k
ϕ (t
t(k) + f t(k), ϕ
t(k)
t
,
k
1) = ϕk
i
i
k
i
1 − t(k)
i
oraz
ϕ (t
t(k) + f t(k), ϕ
t(k)
t
=
k
2) = ϕk
j
j
k
j
2 − t(k)
j
= ϕ
t(k)
+ f t(k) , ϕ
t(k)
t(k) − t(k)
+ f t(k), ϕ
t(k)
t
=
k
j−1
j−1
k
j−1
j
j−1
j
k
j
2 − t(k)
j
j−1
= . . . = ϕ
t(k) +
f t(k), ϕ
t(k)
t(k)
+ f t(k), ϕ
t(k)
t
.
k
i
s
k
s
s+1 − t(k)
s
j
k
j
2 − t(k)
j
s=i
Stąd otrzymujemy
ϕ (t
(t
t(k), ϕ
t(k)
t
+
k
1) − ϕk
2) ≤ f
i
k
i
·
1 − t(k)
i
j−1
+
f t(k), ϕ t(k) · t(k)
+
t(k), ϕ
t(k)
t
≤
s
k
s
s+1 − t(k)
s
f
j
k
j
2 − t(k)
j
s=i
j−1
≤ M
t1 − t(k) +
t(k)
+ t
= M · (t
i
s+1 − t(k)
s
2 − t(k)
j
2 − t1) .
s=i
Zatem dla dowolnych t1, t2 ∈ [t0, t0 + α] zachodzi
ϕ (t
(t
k
1) − ϕk
2) ≤ M · |t2 − t1| ,
co implikuje jednakową ciągłość ciągu funkcji {ϕ }
na [t
k k∈N
0, t0 + α] . Z twierdzenia Arzeli-
Ascoli’ego wynika, że istnieje podciąg
ϕ
ciągu {ϕ }
zbie
k
żny jednostajnie do
j
k k∈N
j∈N
pewnej funkcji ciągłej ϕ na przedziale [t0, t0 + α] . Pokażemy, że ϕ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (2.2). Ponieważ ϕ (t
k
0) = x0 dla ka żdego k, wi ęc ϕ (t0) = x0.
Pozostaje wykazać, że ϕ jest rowiązaniem równania (2.1) czyli, że dla dowolnego t ∈
[t0, t0 + α] zachodzi równość
ϕ′ (t) = f (t, ϕ (t)) .
(2.4)
Pochodne na końcach przedziału [t0, t0 + α] rozumiemy jako pochodne jednostronne. Równość (2.4) jestrównoważna następującej równości
ϕ (t + h) − ϕ (t)
lim
= f (t, ϕ (t)) .
h→0
h
Pokażemy więc, że dla dowolnego ε > 0 istnieje h0 takie, że jeśli |h| < h0 to dla każdego t ∈ [t0, t0 + α] zachodzi nierówność
ϕ (t + h) − ϕ (t)
− f (t, ϕ (t))
h
< ε.
Ustalmy wi ęc dowolne ε > 0 i liczb ę naturalną kj. Wówczas ϕ (t + h) − ϕ (t)
ϕ (t + h) − ϕ (t + h)
ϕ (t) − ϕ (t)
kj
kj
− f (t, ϕ (t))
h
≤
h
+
h
+
ϕ (t + h) − ϕ (t)
k
k
+
j
j
f t, ϕ (t) − f (t, ϕ (t))
− f t, ϕ (t)
k
+
j
h
kj
.
Ze zbieżności jednostajnej ϕ
→ ϕ na [t
k
0, t0 + α] , przy ustalonej dowolnie liczbie h,
j
dla dostatecznie dużej liczby k
j zachodzi oszacowanie ϕ (s) − ϕ
(s)
k
< ε |h| /4 dla
j
dowolnego s ∈ [t0, t0 + α] . Zatem dla ustalonej dowolnie liczby h, dla dostatecznie dużej liczby kj prawdziwe są oszacowania
ϕ (t + h) − ϕ (t + h)
ε
kj
,
h
< 4
ϕ (t) − ϕ (t)
ε
kj
.
h
< 4
Z jednostajnej ciągłości f na K (jako odwzorowania ciągłego na zbiorze zwartym K) wiemy, że dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0, że jeśli p1, p2 ∈ K oraz p1 − p2 < δ, to f (p1) − f (p2) < ε/4. Ze zbieżności jednostajnej ϕ
→ ϕ na [t
k
0, t0 + α] wnosimy,
j
że jeśli kj jest dostatecznie dużą liczbą, to punkty p1 =
t, ϕ (t)
i p
k
2 = (t, ϕ (t))
j
spełniają p
1 − p2 = ϕ
(t) − ϕ (t)
k
< δ, przy dowolnie ustalonym t ∈ [t0, t0 + α] . A
j
stąd prawdziwe jest oszacowanie
f t, ϕ (t) − f (t, ϕ (t))
k
< ε/4,
j
przy dowolnie ustalonym t ∈ [t0, t0 + α] i dostatecznie dużej liczbie kj. Oszacowanie (2.1) przybiera wi ęc postać
ϕ (t + h) − ϕ (t)
3
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f (t, ϕ (t))
ε +
− f t, ϕ (t)
h
< 4
h
kj
.
Oszacujemy teraz składnik
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f t, ϕ (t)
h
kj
.
Rozważmy przypadek t = t(kj), i = 1, 2, . . . , n − 1. Dla dostatecznie małego h, punkty i
kj
t,t + h należą do tego samego przedziału t(kj), t(kj) dla pewnej liczby i. Wówczas z i
i+1
definicji łamanej ϕ mamy równość
k
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
= f t(kj), ϕ
t(kj)
,
h
i
kj
i
i wówczas
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f t, ϕ (t)
t(kj), ϕ
t(kj)
− f t, ϕ (t)
h
k
f
.
j
=
i
kj
i
kj
Ponieważ przechodzimy do granicy gdy n
k
→ ∞ gdy k
− t(kj)
j
j → ∞ tak, że sup t(kj)
i+1
i
→
i
0, uwzgl ędniając jednostajną zbieżność ϕ → ϕ na [t
k
0, t0 + α] , wnosimy, że punkty p1 =
j
t(kj), ϕ
t(kj)
i p
t, ϕ (t) , dla dowolnie ustalonego t ∈ [t
i
k
2 =
0, t0 + α] spełniają
j
i
kj
p1 − p2 < δ. Podobnie jak wcześniej, z jednostajnej ciąglości f otrzymujemy wi ęc oszacowanie
ϕ (t + h) − ϕ (t)
ε
kj
kj
− f t, ϕ (t)
t(kj), ϕ
t(kj)
− f t, ϕ (t)
.
h
k
f
<
j
=
i
kj
i
kj
4
Rozważmy teraz przypadek t = t(kj), i = 0, 1, 2, . . . , n . Gdy t = t(kj) i
kj
0
= t0 lub t =
t(kj)
n
= t
k
0 + α rozważać b ędziemy odpowiednie pochodne jednostronne tzn. w pierwszym j
przypadku b ędziemy zakładać, że h > 0 zaś w drugim, że h < 0. W obu tych przypadkach,
dla dostatecznie małego h, mamy t + h w tym samym przedziale co t, wi ęc prowadząc analogiczne rozważania jak wyżej otrzymyjemy oszacowanie
ϕ (t + h) − ϕ (t)
ε
kj
kj
− f t, ϕ (t)
.
h
kj
< 4
Załóżmy teraz, że t = t(kj), gdzie i = 1, 2, . . . , n − 1. Ustalmy dostatecznie małe h > 0.
i
kj
Wówczas t + h ∈ t(kj), t(kj) i stąd otrzymujemy równość
i
i+1
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
= f t(kj), ϕ
t(kj)
,
h
i
kj
i
a nast ępnie oszacowanie
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f t, ϕ (t)
h
kj
=
ε
=
f t(kj), ϕ
t(kj)
− f t(kj), ϕ
t(kj)
.
i
k
= 0 <
j
i
i
kj
i
4
Dla dostatecznie małego h < 0, mamy t + h ∈ t(kj)
i stąd otrzymujemy równość
i−1 , t(kj )
i
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
= f t(kj), ϕ
t(kj)
,
h
i−1
kj
i−1
i stąd prawdziwa jest równość
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f t, ϕ (t)
f t(kj), ϕ
t(kj)
− f t(kj), ϕ
t(kj)
.
h
kj
=
i−1
kj
i−1
i
kj
i
Podobnie jak wcześniej, ponieważ przechodzimy do granicy gdy nk → ∞ gdy k j
j → ∞ tak,
że sup
t(kj)
→ ϕ na [t
i+1 − t(kj )
i
→ 0, i mamy zbieżność jednostajną ϕk
0, t0 + α] , wnosimy,
j
i
że punkty p1 =
t(kj), ϕ
t(kj)
i p
t(kj), ϕ
t(kj)
, spełniają p
i−1
k
2 =
1 − p2 < δ.
j
i−1
i
kj
i
Podobnie jak wcześniej, z jednostajnej ciąglości f otrzymujemy wi ęc w rozważanym przypadku oszacowanie
ϕ (t + h) − ϕ (t)
kj
kj
− f t, ϕ (t)
h
kj
=
ε
=
f t(kj)
t(kj)
− f t(kj), ϕ
t(kj)
.
i−1 , ϕk
<
j
i−1
i
kj
i
4
Zatem ostatecznie
ϕ (t + h) − ϕ (t)
ε
kj
kj
− f t, ϕ (t)
,
h
kj
< 4
ϕ (t + h) − ϕ (t)
− f (t, ϕ (t))
h
< ε,
dla dowolnie ustalonego ε > 0, gdzie h jest dostatecznie małą liczbą, co kończy dowód.
2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa.
Twierdzenie Peano mówi o istnieniu rozwiązania zagadnienia początkowego, ale nie wyk-lucza możliwości istnienia wielu takich rozwiązań. Zajmiemy si ę teraz problemem jed-noznaczności rowiązania zagadnienia Cauchy’eg (2.2), czyli stawiamy pytanie przy ja-kich założeniach ma ono dokładnie jedno rowiązanie w dostatecznie małym otoczeniu punktu (t0, x0). Mówi o tym poniższe twierdzenie b ędące warunkiem dostatecznym jed-noznaczności rowiązania zagadnienia Cauchy’eg (2.2).
Twierdzenie 2.3 (Picarda-Lindelöfa) Niech f : D → Rm, gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym, b ędzie funkcją ciągłą na D. Określmy zbiór K = {(t, x) ∈ R × Rm : |t − t0| ≤ a ∧ x − x0 ≤ b} ,
gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem zbioru D, zaś a, b > 0 są takimi liczbami, że K ⊂ D. Załóżmy dodatkowo, że f spełnia warunek Lipschitza w K ze wzgl ędu na drugą zmienną tzn.
f (t, x1) − f (t, x2) ≤ L · x1 − x2 .
L>0 (t,x1)∈K
(t,x2)∈K
Wówczas zagadnienie (2.2) ma jednoznaczne rozwiązanie określone przedziale |t − t0| ≤ α
gdzie α = min a, b , 1
i M = sup f (t, x) .
M
L
(t,x)∈K
Dowód powyższego twierdzenia opierać si ę b ędzie o zastosowanie Twierdzenia Banacha o punkcie stałym. Poniżej przypomnijmy jego treść.
Twierdzenie 2.4 (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną zupełną oraz F : X → X jest kontrakcją (lub inaczej odwzorowaniem zw ężającym) tzn.
istnieje liczba k ∈ [0, 1) taka, że dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi d (F (x) , F (y)) ≤ k · d (x, y) ,
to istnieje dokładnie jeden punkt z ∈ X b ędący punktem stałym odwzorowania F tzn.
F (z) = z.
Zanim zaprezentujemy dowód Twierdzenia Picarda-Lindelöfa przypomnijmy jeszcze potrzebne poj ęcia. Dla funkcji ciągłej f : [a, b] → Rm o wartościach wektorowych
x1 (t)
x
2 (t)
x (t) =
.
∈ Rm,
..
xm (t)
całką rozumiemy nast ępująco:
b
x1 (t) dt
a
b
b
x
2 (t) dt
x (t) dt =
∈ Rm.
a
a
.
..
b
x
m (t) dt
a
Można pokazać, że prawdziwa jest nast ępująca nierówność trójkąta dla całki: b
b
x (t) dt ≤ x (t) dt .
a
a
Jeśli powyżej a < b to wartość bezwzgl ędną po prawej stronie w powyższej nierówności można opóścić. Przejdźmy obecnie do dowodu Twierdzenia Picarda-Lindelöfa.
Dowód. Niech P = {t : |t − t0| ≤ α} = [t0 − α, t0 + α] . Zdefiniujmy X = {x : P → Rm : x ∈ C (P ) ∧ x (t0) = x0 ∧ t ∈ P ∧ x (t) − x0 ≤ b} .
W zbiorze X wprowadzamy metrykę d (x, y) = sup x (t) − y (t) . Wówczas X jest domkni ę-
t∈P
tym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupełnej C (P ) funkcji ciągłych na P (dowód tego faktu pomijamy). Zatem (X, d) przestrzenią metryczną zupełną. Zdefiniujmy teraz odwzorowanie F nast ępująco:
t
F (x) (t) = x0 +
f (s, x (s)) ds,
t0
gdzie t ∈ P oraz x ∈ X. Wykażemy najpierw, że F : X → X. Oczywiście F (x) ∈ C (P ) oraz F (x) (t0) = x0. Dla dowolnego t ∈ P mamy:
t
t
F (x) (t) − x
0 = x0 +
f (s, x (s)) ds − x0 = f (s, x (s)) ds ≤
t0
t0
t
≤
f (s, x (s)) ds ≤ M · |t − t0| = M · |t − t0| ≤ Mα.
t0
Jeśli wi ęc α = min a, b , 1 , to F (x) (t) − x
M
L
0 ≤ b, zatem F : X → X. Aby zastosować
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym, trzeba jeszcze wykazać, że F jest kontrakcją. Dla x1, x2 ∈ X i dowolnego t ∈ P, z definicji odwzorowania F mamy t
F (x
1) (t) − F (x2) (t) =
[f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))] ds ≤
t0
t
t
≤
f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)) ds ≤ L x1 (s) − x2 (s) ds ≤
t0
t0
t
≤
L · sup x1 (s) − x2 (s) ds ≤ |t − t0| · L · d (x1, x2) ≤
s∈P
t0
≤ Lα · d (x1, x2) .
Stąd
d (F (x1) , F (x2)) = sup F (x1) (t) − F (x2) (t) ≤ Lα · d (x1, x2) .
t∈P
Ponieważ α = min a, b , 1 , wi ęc k = Lα ∈ [0, 1) . Zatem F jest kontrakcją. Stosując M
L
Twierdzenie Banacha do (X, d) i F : X → X otrzymujemy, że istnieje dokładnie jedna funkcja x ∈ X, taka, że F (x) = x, czyli dla dowolnego t ∈ P prawdziwa jest równość t
x (t) = x0 +
f (s, x (s)) ds.
t0
Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego wynika, że x (t) jest różniczkowalna dla t ∈ P i zachodzi wzór
x (t) = f (t, x (t)) ds.
Oczywiście x (t0) = x0 i (t, x (t)) ∈ K ⊂ D, zatem x (t) jest jedymym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego (2.2).