Odwracanie macierzy i układy równań
1. Wyznaczyć (dowolną metodą) macierz odwrotną do macierzy:
− 1 2 4
3
2 0 0
1
(a)
5 0 0 − 2
2 1 2
1
1
2 0 0
2
3 0 0
(b)
1 − 1 1 3
0
1 0 2
2 3 1
2
1 1 2
0
(c)
0 0 1 − 2
1 1 1 − 2
1 3 0
(d) 2 7 0
0 0 7
2. Jak zmieni się macierz odwrotna jeśli w danej macierzy zamienimy dwa wiersze miejscami?
3. Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od parametru a:
1
2 − 1
1
5
1
2
1
(a)
4 − 1
a
0
3
a
4 − 1
a 1 1 1 1
1 a 1 1 1
(b)
1 1 a 1 1
1 1 1 a 1
a 1 a 1
0 a 0 a
(c)
1 0 1 0
a 0 a 0
4. Niech A = [ aij] n×n będzie macierzą odwracalną, taką że sumy elementów we wszystkich wierszach są równe. Wykazać, że jeśli te sumy są równe r to sumy wierszy macierzy A− 1 są równe 1 .
r
1
x + y + 2 z = − 1
(a)
2 x − y + 2 z = − 4
4 x + y + 4 z = − 2
x + 2 y + 3 z + 4 t = 11
2 x + 3 y + 4 z + t = 12
(b)
3 x + 4 y + z + 2 t = 13
4 x + y + 2 z + 3 t = 14
6. Rozwiązać układy równań:
5 x + 3 y + 5 z + 12 t = 10
(a)
2 x + 2 y + 3 z + 5 t = 4
x + 7 y + 9 z + 4 t = 2
− 9 x + 6 y + 7 z + 10 t = 3
(b)
− 6 x + 4 y + 2 z + 3 t = 2
− 3 x + 2 y − 11 z − 15 t = 1
7. Rozwiązać układ równań:
3 x + 2 y − 5 z = 7
3 x + 4 y − 9 z = 9
5 x + 2 y − 8 z = 8
8 x + y − 7 z = 12
8. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru a:
8 x + 6 y + 3 z + 2 t = 5
− 12 x − 3 y − 3 z + 3 t = − 6
(a)
4 x + 5 y + 2 z + 3 t = 3
ax + 4 y + z + 4 t = 2
− 6 x + 8 y − 5 z − t = 9
− 2 x + 4 y + 7 z + 3 t = 1
(b)
− 3 x + 5 y + 4 z + 2 t = 3
− 3 x + 7 y + 17 z + 7 t = a
2 x + 5 y + z + 3 t = 2
4 x + 6 y + 3 z + 5 t = 4
(c)
4 x + 14 y + z + 7 t = 4
2 x − 3 y + 3 z + at = 7
ax + y + z + t = 1
x + ay + z + t = a
(d)
x + y + az + t = a 2
x + y + z + at = a 3
2
ay + bx = c
cx + az = b jest zbiorem jednoelemntowym. Wykazać, że abc 6= 0 i zna-
bz + cy = a
leźć to rozwiązanie.
10. Zbadać rozwiązalność układu w zależności od parametrów a i b:
3 x − 2 y + z = b
5 x − 8 y + 9 z = 3
2 x + y + az = − 1
11. Dla jakich wartości parametrów k i l układ ma rozwiązanie niezerowe:
kx + y + z = 0
(a)
x + ly + z = 0
x + 2 ly + z = 0
x − ky − 3 z = 0
lx + y + 5 z = 0
(b)
2 x + ky + z = 0
x + y − z = 0
12. Znaleźć wielomian f ( x) stopnia czwartego o współczynnikach rzeczywi-stych, dla którego:
f (2) = 5 , f 0(2) = 19 , f 00(2) = 40 , f (3)(2) = 48 , f (4)(2) = 24 .
13. Wykazać, że układ równań:
a
b
c
d x
0
−b
a
d −c y
0
=
−c −d
a
b z
0
−d
c −b
a
t
0
ma tylko zerowe rozwiązanie jeśli współczynniki a, d, c, d są liczbami rzeczy-wistymi, spełniającymi warunek a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0.
"
#
1 2
14. Wyznaczyć wszystkie macierze, które są przemienne z macierzą 2 0
3