1. ZASADY PRAC WIRTUALNYCH
1.1 ZPW DLA PŁASKICH ODKSZTAŁCALNYCH USTROJÓW PRĘTOWYCH
asady prac wirtualnych należą do podstawowych zasad mechaniki budowli i zostaną podane bez ich udowadniania. Zanim podamy te zasady przypomnijmy, że ustroje prętowe można podzielić na statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne. Układy prętowe statycznie Zwyznaczalne można rozwiązać – a więc wyznaczyć reakcje podporowe i siły przekrojowe z warunków równowagi. Nie można tego dokonać dla ustrojów statycznie niewyznaczalnych. Rozważania nasze ograniczymy do płaskich układów prętowych. Na rysunku 1.1 pokazano przykłady a) belki, b) ramy i c) kratownicy statycznie wyznaczalnych, a na rysunku 1.2 przykłady układów statycznie niewyznaczalnych.
a)
a)
b)
b)
c)
c)
Rys. 1.1
Rys. 1.2
Istnieją dwie zasady prac wirtualnych:
zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych przemieszczeniach zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych przemieszczeniach Rozpatrzmy dowolny płaski ustrój prętowy, który może być statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny.
Niech ustrój ten poddany będzie działaniu obciążeń rzeczywistych, którymi mogą być siły zewnętrzne (siły skupione, momenty skupione, obciążenia rozłożone), zmiany temperatury, przemieszczenia podpór.
Obciążenia te wywołują przemieszczenia i odkształcenia (rys. 1.3) oraz powstają rzeczywiste siły przekrojowe (siły wewnętrzne).
5
Pi
i
∆Rk
∆Pi
Rk
Rys. 1.3
Linia przerywana (szara) na rys. 1.3 oznacza stan rzeczywistego przemieszczenia, linia kropkowana (niebieska) to stan przemieszczenia wirtualnego.
W przypadku płaskiego układu prętowego siłami przekrojowymi są moment zginający M, siła osiowa (podłużna) N i siła tnąca (poprzeczna) T (rys. 1.4). Działające na konstrukcje obciążenia oznaczymy w dalszych rozważaniach przez Pi a reakcje Rk.
M
T
M+dM
N
N+dN
T+dT
Rys. 1.4
Na rys. 1.5 poniżej przedstawiono odkształcenia: kąt ∆dϕ, odkształcenie wzdłuż osi pręta ∆ds oraz odkształcenie prostopadłe do osi pręta ∆dh
∆dϕ
T
M
M
N
N
∆dh
ds
T
ds+∆ds
Rys. 1.5
Nadajmy układowi prętowemu przemieszczenie wirtualne (linia kropkowana niebieska na rys. 1.3).
Zakładamy, że przemieszczenie wirtualne jest dowolne, bardzo małe w porównaniu z wymiarami ustroju, niezależne od obciążeń i czasu, zgodne z warunkami ograniczającymi oraz jest funkcją ciągłą.
Oznaczmy przez ∆Pi oraz ∆rk przemieszczenie wirtualne odpowiednio w miejscu działającego obciążenia Pi i reakcji Rk. Równanie pracy wirtualnej obciążeń rzeczywistych i odpowiadających im sił przekrojowych na wirtualnych przemieszczeniach i odpowiadających im odkształceniach ∆dϕ , ∆ds ∆dh ma postać
∑ P
R
M
T
N
(1.1)
i ∆ Pi + ∑ k ∆ rk = ∫
∆ φ
d
+∫ ∆ dh +∫ ∆ ds
i
k
Równanie (1.1) określa pierwszą zasadę o pracy wirtualnej.
6
1.2 ZASADA I
Rzeczywiste obciążenia wykonują pracę na wirtualnych przemieszczeniach równą pracy uogólnionych sił przekrojowych na wirtualnych odkształceniach.
W wypadku obciążeń ciągłych sumę po lewej stronie równania (1.1) należy zastąpić całką. Całkowania po prawej stronie równania (1.1) należy dokonać po całym ustroju prętowym.
Przejdźmy do sformułowania drugiej zasady. Niech ustrój pod wpływem działającego obciążenia zewnętrznego dozna rzeczywistych przemieszczeń ∆P (w tym przemieszczeń podpór ∆r) oraz odkształceń
∆dϕ, ∆ds i ∆dh. Wyobraźmy sobie, że dany ustrój został obciążony układem sił wirtualnych Pi wywołujących reakcje Rk i wirtualne siły przekrojowe M, N, T. Co do sił Pi stanu wirtualnego zakłada się jedynie, że spełniają one wraz z reakcjami Rk warunki równowagi. Obciążenia Pi i odpowiadające im reakcje Rk nie muszą spełniać warunków granicznych i warunków ciągłości konstrukcji. Można zatem w ustrojach hiperstatycznych (statycznie niewyznaczalnych) przyjąć różne reakcje wirtualne będące w równowadze z obciążeniem wirtualnym (można na przykład usunąć nadliczbowe). Zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych przemieszczeniach brzmi następująco:
1.3 ZASADA II
Praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach (rys 1.6)
∑ P
R
M
T
N
(1.2)
i ∆ Pi + ∑
k ∆ rk = ∫
∆ dφ +∫ ∆ dh +∫ ∆ ds
i
k
P i
∆Pi
Rk
M T N
∆dϕ ∆dh ∆ds
Rys. 1.6
1.4 WNIOSEK
Jeżeli dane są dwa stany obciążeń (określone przez obciążenia czynne, reakcje i siły przekrojowe) oraz odpowiadające im stany przemieszczeń (określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia) oraz jeśli jeden z nich jest stanem rzeczywistym to praca obciążeń czynnych i reakcji jednego stanu na przemieszczeniach drugiego stanu jest równa pracy sił przekrojowych jednego stanu na odkształceniach drugiego stanu.
UWAGA 1
Powyższe zasady prac wirtualnych są słuszne niezależnie od tego czy ustrój prętowy jest wykonany z materiału sprężystego czy nie.
UWAGA 2
Często w literaturze zamiast terminu „wirtualne” używa się „przygotowane” np. przemieszczenie przygotowane, obciążenie przygotowane.
7