Kolokwium nr 1
30 listopada 2010 r.
Wariant Ł
Zadanie nr 1
Studenci z akademikowej meliny przez 10 kolejnych tygodni badali zaleŜność pomiędzy ceną
sprzedawanego przez nich piwa marki „Nyskie” (Xi w PLN) a wielkością sprzedaŜy (Yi w sztukach).
W okresie tym średnia cena sprzedawanego przez nich piwa wynosiła 5 PLN, a wariancja (liczona
jako realizacja asymptotycznie nieobciąŜonego estymatora) 5 PLN2. Wiadomo dodatkowo, Ŝe w
badanym okresie sprzedawano średnio 30 piw tygodniowo, a wartość ∑
wyniosła 1000 ( i = 1,
…, 10 oznacza numer kolejnego tygodnia w okresie badania).
a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie równania regresji wielkości sprzedaŜy piwa marki „Mech”
względem jego ceny.
b) (2 pkt) Ile wynosi średni błąd szacunku wyrazu wolnego w oszacowanym modelu jeŜeli
wiadomo, Ŝe wariancja składnika losowego została oszacowana na poziomie 15?
c) (1 pkt) Na najbliŜszy tydzień studenci planują obniŜyć cenę piwa marki „Mech” do 4 PLN.
Jakiej wielkości sprzedaŜy powinni się spodziewać?
d) (3 pkt) Ile wynosi średni błąd predykcji ex ante dla prognozy wyznaczonej w poprzednim
punkcie? Wariancja składnika losowego wynosi tyle ile w podpunkcie b).
Zadanie nr 2
Na podstawie danych miesięcznych z lat 1993-2004 ( t = 1,2,…,144; t = 1 dla stycznia 1993)
oszacowano model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą jest import do Polski w mln PLN
(IMPORT) a zmiennymi objaśniającymi są wydatki rządowe w Polsce w mln PLN (WYDATKI) oraz
produkcja przemysłowa w Polsce w mln PLN (PRODUKCJA).
Następnie podzielono próbę na dwie podpróby – jedną dla lat 1993-1998, a drugą dla lat 1999-2004 i
dla tych dwóch podrób oszacowano analogiczny model.
Wyniki estymacji wszystkich trzech modeli przedstawiają częściowo poniŜsze fragmenty wydruków z
programu Gretl (niektóre dane zostały ukryte pod gwiazdkami):
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-2004:12 (N = 144)
Zmienna zaleŜna: IMPORT
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
const -3905,47 285,176 *** ***
WYDATKI *** 0,0627266 -1,424 0,1567
PRODUKCJA 0,598467 *** 29,46 ***
Suma kwadratów reszt 1,89e+08 Błąd standardowy reszt 1156,935
Wsp. determ. R-kwadrat 0,974980 Skorygowany R-kwadrat 0,974625
Test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) -
Hipoteza zerowa: ***
Statystyka testu: LM = ***
z wartością p = P(Chi-Square(5) > ***) = 7,26711e-010
Test LM na autokorelację rzędu 12 -
Hipoteza zerowa: ***
Statystyka testu: LMF = ***
z wartością p = P(F(12,129) > ***) = 1,19482e-005
Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-1998:12 (N = 72)
Zmienna zaleŜna: IMPORT
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
const -3298,20 294,021 -11,22 3,31e-017
WYDATKI 0,0554098 0,100486 0,5514 0,5831
PRODUKCJA 0,509195 0,0394053 12,92 4,26e-020
Suma kwadratów reszt 47164285 Błąd standardowy reszt 826,7650
Wsp. determ. R-kwadrat 0,958972 Skorygowany R-kwadrat 0,957783
Model 3: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1999:01-2004:12 (N = 72)
Zmienna zaleŜna: IMPORT
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
const -4410,44 1143,55 -3,857 0,0003
WYDATKI -0,0737491 0,0933344 -0,7902 0,4321
PRODUKCJA 0,606950 0,0306627 19,79 3,66e-030
Suma kwadratów reszt 1,34e+08 Błąd standardowy reszt 1393,177
Wsp. determ. R-kwadrat 0,898389 Skorygowany R-kwadrat 0,895444
Dodatkowo znane są wartości poszczególnych zmiennych dla obserwacji o numerach 144, 145, 146 i
147:
Nr obserwacji
IMPORT
WYDATKI
PRODUKCJA
144
25 412,20
21 793,20
54 284,40
145
22 993,80
18 264,90
49 902,00
146
23 783,10
19 206,70
49 482,70
147
26 836,80
16 482,40
54 593,20
a) (2 pkt) Dla której zmiennej (Model 1) względny błąd szacunku jest najniŜszy? Ile on wynosi?
b) (2 pkt) Zinterpretuj oszacowanie parametru stojącego przy zmiennej WYDATKI (Model 1) i
zbadaj istotność tej zmiennej.
c) (2 pkt) Czy w modelu 1 występuje problem autokorelacji składnika losowego? Zweryfikuj
odpowiednią hipotezę.
d) (3 pkt) Czy łączny zbiór zmiennych objaśniających w modelu 1 jest istotny? Zweryfikuj
odpowiednią hipotezę.
e) (2 pkt) Na podstawie oszacowanego modelu 1 wyznacz prognozę wartości produkcji
przemysłowej w Polsce w styczniu i lutym 2005 roku.
f) (2 pkt) Wyznacz przeciętny względny błąd prognozy wyznaczonej w poprzednim punkcie.
Zadanie nr 3
Jadźka Lichwiarka postanowiła zatrudnić 64 Murzynki w swoim nowo powstającym zakładzie
ceramicznym „Stara Glina”, gdzie wyrabia wysokiej jakości gliniane miski. Zaobserwowała ona, Ŝe w
jej zakładzie produkcja (P w tysiącach misek) zaleŜy od liczby zatrudnionych Murzynek (Z w
sztukach) oraz wartości majątku w postaci maszyn (M w tys. PLN – obecnie wartość ta wynosi 512)
według funkcji Cobba-Douglasa danej wzorem:
Zgodnie z oszacowaniem funkcja opisująca wielkość miesięcznej produkcji w zakładzie Jadźki
Lichwiarki jest jednorodna stopnia 1, a jej izokwanta odpowiadająca wielkości produkcji równej 16
tysięcy misek przechodzi na płaszczyźnie (Z, M) przez punkty (64, 512) i (256, 256).
a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie funkcji produkcji dla zakładu Jadźki Lichwiarki.
b) (2 pkt) Umba Umba, jedna z Murzynek zatrudnionych w tym zakładzie zniszczyła jedną z 16
identycznych maszyn wykorzystywanych w procesie produkcji i stanowiących cały majątek
zaangaŜowany w ten proces. Maszyna nie będzie się nadawała do uŜytku przez cały kolejny
miesiąc. Murzynka nie zostanie zwolniona jeŜeli policzy o ile % zmaleje z tytułu tej straty
produkcja warsztatu w kolejnym miesiącu. PomóŜ biednej Umbie Umbie, licząc elastyczność
produkcji względem kapitału. Przyjmij załoŜenie, Ŝe nie są planowane Ŝadne inne zmiany.
c) (2 pkt) Policz krańcową stopę substytucji kapitału zatrudnieniem. Umba Umba uniknie kary
jeŜeli w następnym miesiącu przyprowadzi do pracy tylu członków swojej rodziny, Ŝeby
produkcja nie zmieniła się. Ile osób powinna przyprowadzić Murzynka?
Zadanie nr 4
Malwinka zbadała dwustu kierowców pod kątem tego czy w poprzednim roku mieli wypadek
samochodowy. Zbudowała model logitowy, w którym zmienną objaśnianą była zmienna
zerojedynkowa Y, pokazująca czy dany kierowca miał w poprzednim roku wypadek (1 – miał, 0 – nie
miał), zmiennymi objaśniającymi zaś były: X1 – wiek kierowcy (w pełnych latach), X2 – płeć (0 –
kobieta, 1 – męŜczyzna), X3 – liczba przejechanych przez kierowcę kilometrów w poprzednim roku
(w km). Niestety, roztargniona Malwinka wylała kawę na wydrukowane wyniki estymacji modelu w
Gretlu, wskutek czego część danych stała się nieczytelna:
Model 1: Estymacja Logit, wykorzystane obserwacje 1-200
Zmienna zaleŜna: y
współczynnik błąd standardowy t-Studenta efekt krańcowy
--------------------------------------------------------------------
const -1,34808 0,968654 -1,392
x1 -0,181776 0,0370113 -4,911 -0,0394743
x2 0,923417 0,4
30903 2,143 0,197425
x3 0,00187810 0,000268359 6,998 0,000407848
Średn.aryt.zm.zaleŜnej 0,400000 Odch.stand.zm.zaleŜnej 0,217160
McFadden R-kwadrat 0,434068 Skorygowany R-kwadrat 0,404351
Logarytm wiarygodności -76,17574 Kryt. inform. Akaike'a 16
0,3515
Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 163 (81,5%)
f(beta'x) do średnich niezaleŜnych zmiennych
= 0,217
Test ilorazu wiarygodności: Chi-kwadrat(3) = 116,853
Przewidywane
0 1
Empiryczne 0 103 17
1 2
0 60
Załamana Malwinka nie potrafiła na podstawie zaplamionego wydruku odpowiedzieć na kilka
poniŜszych pytań. PomóŜ Malwince:
a) (2 pkt) Zinterpretuj wpływ wieku kierowcy an to czy miał on wypadek samochodowy.
b) (2 pkt) Oceń dopasowanie modelu do danych, licząc odpowiednią miarę dopasowania.
c) (2 pkt) KoleŜanka Malwinki – Zuzka ma 28 lat, a w zeszłym roku przejechała swoim
samochodem 2500 km. Czy według oszacowanego modelu Zuzka miała w zeszłym roku
wypadek samochodowy?
d) (3 pkt) Romek i młodszy od niego o rok Bronek w zeszłym roku przejechali samochodami
taką samą odległość. Wiedząc, Ŝe zgodnie z oszacowanym modelem prawdopodobieństwo, Ŝe
Romek miał wypadek wynosi 0,6 policz prawdopodobieństwo, Ŝe wypadek miał Bronek.
PoniŜsze wydruki przedstawiają oszacowanie modelu regresji zmiennej Y względem zmiennej X
(Model 1) oraz równanie dotyczące reszt z tej regresji – uhat1 (Model 2). W nazwie zmiennej na
wydruku literka „d” na początku oznacza przyrosty, a cyferka na końcu, po podkreślniku, rząd
opóźnienia. Wartość krytyczna testu ADF na poziomie istotności 0,05 i przy liczbie obserwacji 45
(dotyczy równania bez wyrazu wolnego i bez trendu) wynosi -1,95.
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1960-2006 (N = 47)
Zmienna zaleŜna: Y
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
---------------------------------------------------------------
const 1,22118 0,0449725 27,15 1,52e-029
X 0,955486 0,0139459 68,51 3,71e-047
Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1962-2006 (N = 45)
Zmienna zaleŜna: d_uhat1
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
uhat1_1 -0,371284 0,0931913 -3,984 0,0003
d_uhat1_1 0,486653 0,128862 3,777 0,0005
a) (2 pkt) Oceń czy procesy Y i X są skointegrowane.
b) (1 pkt) Czy zaleŜność pomiędzy procesami Y i X moŜe mieć charakter regresji pozornej?
Uzasadnij.
c) (2 pkt) Zmienna Z podlega procesowi ARMA(3,2). W oszacowaniu parametrów tego modelu
wyraz wolny wyniósł 0, parametry części AR utworzyły ciąg arytmetyczny z pierwszym
wyrazem równym 0,3 i róŜnicą -0,2, a parametry części MA utworzyły ciąg geometryczny z
pierwszym wyrazem równym 0,5 i ilorazem 0,4. Zapisz oszacowanie modelu.
d) (2 pkt) Wyznacz prognozę zmiennej Z na okres t = 61 oraz t = 62, wiedząc, Ŝe Z60 = 10, Z59 =
9, Z58 = 11, Z57 = 9, e60 = 2, e59 = -1, e58 = 1, e57 = 0, gdzie et oznacza składnik resztowy z
okresu t.
Zadanie nr 6
ZaleŜność konsumpcji Mani względem dochodu w kolejnych miesiącach opisuje model ADL z
jednym opóźnieniem zmiennej objaśnianej i dwoma opóźnieniami zmiennej objaśniającej. Parametr
przy jedynym opóźnieniu zmiennej objaśnianej wyniósł, zgodnie z oszacowaniem 0,2, zaś wyraz
wolny 0,3. MnoŜnik krótkookresowy wynosi 0,5 zaś mnoŜnik długookresowy wynosi 0,75.
a) (2 pkt) Zapisz oszacowany model.
b) (1 pkt) Zinterpretuj wartość mnoŜnika długookresowego w tym modelu.
c) (2 pkt) Przypuśćmy, Ŝe w grudniu 2010 roku dochód Mani spada o 200 PLN i stabilizuje się
na tym poziomie. O ile z tego tytułu będzie wyŜsza konsumpcja Mani w styczniu 2011 roku w
porównaniu do listopada 2010 roku?