SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 3
I
1. Obliczyć korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego f ( z)d z.
C
z 2 + 2
(a) f ( z) =
, C : okrąg |z − 1 | = 4 skierowany w prawo.
z 3( z + 4)
eiz
(b) f ( z) =
, C : okrąg |z + i| = 2 skierowany w lewo.
( z 2 + 4)2
z + 3
(c) f ( z) =
, C : okrąg |z − 1 | = 1 skierowany w prawo.
( z 2 − 1)2
z 2 − 1
x 2
y 2
(d) f ( z) =
, C : elipsa
+
= 1 skierowana w lewo.
z 3( z 2 − 1)
9
4
2. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f ( z) na pierścieniu P
z 2 + 2
(a) f ( z) =
, 0 < |z| < 4
z 2( z + 4)
z 2 + 2
(b) f ( z) =
, 4 < |z + 4 | < ∞
z 2( z + 4)
ez
(c) f ( z) =
, 0 < |z| < 2
( z 2 + 4)
ez
(d) f ( z) =
, 0 < |z − 2 i| < 4
( z 2 + 4)
3. Znaleźć punkty ososbliwe funkcji holomorficznej f ( z), określić ich rodzaj i obliczyć residuum funkcji f w każdym punkcie osobliwym z 2 + 2
(a) f ( z) = z 3( z + 4) z 2 + 1
(b) f ( z) = ( z + 1)2( z 2 + 4) ez
(c) f ( z) = ( z 2 + 4) sin z cos z
(d) f ( z) = ( z 2 + 1)3
I
4. Obliczyć
f ( z)d z metodą residuów C
z 2 + 1
(a) f ( z) =
, C : okrąg |z − 1 | = 1 skierowany w prawo.
z 2( z 2 + 4)
z 2 + 1
(b) f ( z) =
, C : okrąg |z − 2 i| = 1 skierowany w lewo.
z 2( z 2 + 4)
cos z
(c) f ( z) =
, C : okrąg |z + i| = 2 skierowany w lewo.
( z 2 + 4)2
z cos z
x 2
y 2
(d) f ( z) =
, C : elipsa
+
= 1 skierowana w lewo.
( z 2 + 1) sin z
9
4
Z
5. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste
f ( x)d x obliczając residua odpowiednich funkcji
−∞
holomorficznych
x 2 + 1
(a) f ( x) = ( x 2 + 1)( x 2 + 4)2
2 x 2 + x
(b) f ( x) = ( x 2 + 1)3
x 2 − 2
(c) f ( x) = ( x 2 + 1)( x 2 + 4)( x 2 + 9) cos x
(d) f ( x) = ( x 2 + 1)
6. Obliczyć transformaty Laplace’a funkcji f ( t).
(a) f ( t) = t 2 − 4 t (b) f ( t) = te 3 t
(c) f ( t) = sin t − cos 2 t (d) f ( t) = t 2 sin t (e) f ( t) = te 2 t cos 3 t (f) f ( t) = 4 t 2 e 3 t − 2 e−t + cos 4 t − t sin 2 t + 6 te 4 t cos t 7. Obliczyć splot funkcji f ( t) i g( t) (a) f ( t) = t , g( t) = t 2
(b) f ( t) = t , g( t) = sin t (c) f ( t) = e 2 t , g( t) = cos t (d) f ( t) = sin t , g( t) = sin t