Opory ruchu w ruchu laminarnym jednostajnym
Rozpatrujemy przepływ w poziomym przewodzie kołowym o promieniu r , w którym
o
wyodrębniamy powierzchnię walcową o promieniu r i długości l, współśrodkową z osią
przewodu. Jedynymi siłami działającymi na wydzielony walec cieczy równolegle do
kierunku ruchu, są siły tarcia między cząsteczkami cieczy (τ ) i siły ciśnienia (p) w
przekrojach poprzecznych ograniczających długość rozpatrywanego walca. Zakładając
Ŝenie występuje zmiana ilości ruchu (pędu) na długości przewodu, suma rzutów tych sił
musi być równa zero:
2 r
π ∆ lτ − ( p − p ) 2
r
π
= 0
1
2
Opory ruchu w ruchu laminarnym jednostajnym
Równanie to waŜne jest dla wydzielonego obszaru o promieniu r oraz dla całego przekroju o promieniu r = 0,5 d. Po przekształceniach otrzymujemy
o
A hf
τ
= ρ g
o
Ω l
gdzie r - napręŜenia styczne przy ściankach rurociągu, A - pole przekroju poprzecznego, Ω -
o
obwód zwilŜony a hf - straty wysokości ciśnienia na opory tarcia na długości rurociągu l.
Równanie to przedstawiane jest w postaci
τ
= ρ g R I
o
h
gdzie Rh - promień hydrauliczny a spadek hydrauliczny (jednostkowe straty energii na długości rurociągu) I = h/l. Równanie to jest podstawowym równaniem ruchu jednostajnego, waŜnym dla przewodów pod ciśnieniem i dla koryt otwartych.
Rozkład prędkości w ruchu laminarnym
Dla ruchu jednostajnego ustalonego, wychodząc z newtonowskiej definicji lepkości
cieczy oraz równania spadku hydraulicznego moŜna na drodze teoretycznej
wyprowadzić równanie określające rozkład prędkości w przekroju poprzecznym. Dla
rurociągów o przekroju kołowym równanie to moŜna przedstawić w postaci
u( r )
2
1 u
2 r
=
* Re1−
u
4 v
d
*
gdzie u(r) jest prędkością w odległości promienia r mierzonego od osi przewodu, a u oznacza pr
*
ędkość dynamiczną
u =
g R I
*
h
Rozkład prędkości w ruchu laminarnym
Dla kanału otwartego, bardzo szerokiego równanie rozkładu prędkości ma postać
u( y)
1 u
y
y
=
* R
e
2 −
u
8 u
h
h
*
gdzie u(y) prędkość w odległości pionowej y mierzonej od dna kanału, h jest głębokością napełnienia koryta a liczba Reynoldsa Re = u (4 Rh) /v . Dla kanału
bardzo szerokiego przyjmuje się promień hydrauliczny R h = h. Równania prędkości są zaleŜnościami kwadratowymi tzn. wykresy prędkości są parabolami,
charakterystycznymi dla ruchu jednostajnego laminarnego
Praktyczne obliczanie rurociągów
Wpływ niewielkich szorstkości ścian przewodu prowadzącego wodę jest całkowicie
pomijalny w przypadku ruchu laminarnego jednak ma istotne znaczenie w
przypadku przepływu burzliwego.
Miarą szorstkości ścian przewodu jest przeciętna wysokość k poszczególnych
s
występów, modelowana ziarnami piasku oblepiającymi wewnętrzną ściankę
przewodu.
Przyjmuje się, Ŝe ścianka jest hydraulicznie gładka gdy ks < δ v , gdzie δ v jest grubości podwarstwy laminarnej, δ v = 5 v /u. Podobnie ścianka jest w pełni szorstka jeśli 2ks >> δ v.
Praktyczne obliczanie rurociągów
Wpływ szorstkości uwzględniany jest przy wyznaczaniu współczynnika oporu
liniowego λ ze wzoru Darcy-Weisbacha, który w obliczeniach rurociągów gdzie Rh
= d/4 stosowany jest w postaci
l v 2
h = λ
f
d 2 g
Gdzie λ - współczynnik oporu liniowego
Opory tarcia w ruchu laminarnym
Prostą zaleŜność między współczynnikiem oporów liniowych a liczbą Reynoldsa
moŜna otrzymać poprzez całkowanie równania rozkładu prędkości w polu przekroju
poprzecznego rurociągu, prostopadłego do wektorów prędkości, skąd otrzymamy
64
32µ l
λ =
oraz
h =
v
f
2
Re
gd
ZaleŜności te waŜne są wyłącznie w obszarze ruchu laminarnego
tj. w granicach Re ≤ 2320.
Opory ruchu rurociągów hydraulicznie gładkich
W obszarze przejściowym, w granicach między ruchem laminarnym a ruchem w
pełni burzliwym dla rurociągów hydraulicznie gładkich moŜe być stosowany
empiryczny wzór Blasiusa w postaci
−1/ 4
λ = 3
,
0 16 Re
ZaleŜność ta moŜe być stosowana w przedziale 4000 < Re < 100 000.
Opory liniowe w obszarze ruchu burzliwego
Pośród bardzo wielu formuł empirycznych, opisujących zaleŜność współczynnika
oporu liniowego, naleŜy wyróŜnić wzór Colebrooka i White'a w postaci
1
5
,
2 0
δ
= −2 lg
+
λ
Re λ
,
3 71 d
gdzie δ = ks czyli szorstkość bezwzględna rurociągu o średnicy d. Wzór ten, wyprowadzony wprost z równania rozkładu prędkości typu logarytmicznego
uwaŜany jest za bardzo wiernie opisujący wyniki doświadczeń.
Dodatkowe straty energii występują przy kaŜdej zmianie prędkości
przepływu cieczy tzn. przy zmianie ilości ruchu (pędu) straty te obliczamy z formuły
u2
h = ξ
m
2 g
gdzie ξ- współczynnik strat miejscowych, zaleŜny od geometrii przewodu
powodującej zmiany prędkości i wywołujące dodatkową burzliwość ruchu, u -
średnia prędkość wody w przewodzie wyznaczona zwykle dla przekroju
znajdującego się poniŜej przeszkody.
Wychodząc wprost z równania Darcy-Weisbacha moŜna wyznaczyć
formułę na obliczenie prędkości średniej w przekroju w postaci
8 g
h
u =
R
str
h
λ
l
Pierwszy czynnik pod pierwiastkiem pierwotnie we wzorach empirycznych
przyjmowano jako parametr stały i oznaczano literą c. Jest to tzw. współczynnik
prędkości o wymiarze m1/2/s. Pod drugim pierwiastkiem występuje wielkość
h / l = I
str
e
wyraŜająca straty energii na jednostkę długości cieku. Po wstawieniu tych oznaczeń
do pierwszego wyraŜenia otrzymamy wzór Chézy'ego
u = C R J
h
e
Jest to jeden z najwcześniejszych wzorów empirycznych stosowany do
obliczeń hydraulicznych cieków naturalnych, pochodzący z drugiej połowy XVIII w.
Znanych jest wiele wzorów empirycznych na współczynnik prędkości c. W
większości przypadków uzaleŜniony on jest od promienia hydraulicznego Rh i
szorstkości przewodu. Obecnie najczęściej stosowane są dwa wyraŜenia: jeden
opisany powyŜej wyprowadzony z wzoru Darcy-Weisbacha oraz drugi podany
przez Manninga:
1
1
2
1
1
c =
R 6
3
u =
R
J 2
h
n
e
n
Wzór Manninga szczególnie szeroko stosowany jest
w obliczeniach koryt otwartych.
Współczynnik n zwany jest współczynnikiem szorstkości
a jego wymiarem jest m1/3/s.
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe wzór Chezy'ego i wzór Manninga posiadają współczynniki wymiarowe c i n dlatego z wzorów tych moŜemy otrzymać wartości poprawne jedynie wówczas, gdy pozostałe wielkości u i Rh wyraŜone są w tym samym układzie jednostek. Wartości współczynnika szorstkości n zestawione są w tablicach w zaleŜności od opisowej charakterystyki powierzchni ścian przewodu.