Przykłady - belki proste
Zadanie 1
Policzyć reakcje i narysować wykres sił wewnętrznych (N, T, M) dla układu poniżej. Wyzna-czyć ewentualne ekstrema.
M1=30kNm
M2=60kNm
HA=0kN
VA=5kN
VB=5kN
2 m
4 m
N
[kN]
5
+
+
T
[kN]
M
[kNm]
+
10
+
40
60
Obliczamy reakcje:
Σ P
P
Σ = H = 0 kN
ix = 0
ix
A
Σ M
Σ M
iB = − V A ⋅ 6 − M
+ M = 0
iB = 0
1
2
− M + M
− 30 + 60 30
V
1
2
=
=
=
= 5 kN
A
6
6
6
Σ P
Σ P
V
V
iy =
A +
B = 0
iy = 0
V = V
−
=
k
5
− N zmieniamy zwrot reakcji na przeciwny B
A
Dr inż. Agata Maryniak
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
SEMESTR II
Zadanie 2
Policzyć reakcje i narysować wykres sił wewnętrznych (N, T, M) dla układu poniżej. Wyzna-czyć ewentualne ekstrema.
MA=80kNm
q1=20kN/m
q2=40kN/m
HA=0kN
P=40kN
VA=80kN
2 m
2 m
1 m
N
[kN]
1 m
80
40
+
T
[kN]
-
40
40
80
o
2
-
M
[kNm]
o
+
1
40
40
60
Obliczamy reakcje:
Σ P
P
Σ = H = 0 kN
ix = 0
ix
A
Σ M
Σ M
iA = − M A − q ⋅ 2 ⋅1 − q
⋅ 2 ⋅3 + P ⋅5 = 0
iA = 0
1
2
M
= − q ⋅ 2 ⋅1− q ⋅ 2 ⋅3 + P ⋅5 =
A
1
2
− 20 ⋅ 2 ⋅1− 40 ⋅ 2 ⋅3 + 40 ⋅5 =
− 40 − 240 + 200 = 8
− 0 kNm
Zmieniamy zwrot momentu MA na przeciwny Σ P
Σ P
iy = V A − q ⋅ 2 − q
⋅ 2 + P = 0
iy = 0
1
2
V = q ⋅ 2 + q ⋅ 2 − P = 20 ⋅ 2 + 40 ⋅ 2 − 40 = 40 + 80 − 40 = 80 kN
A
1
2
Obliczamy wartość ekstremum
M
= − M + V ⋅ 3 − q ⋅ 2 ⋅ 2 − q ⋅1⋅ 5
,
0
=
ekst
A
A
1
2
− 80 + 80 ⋅ 3 − 20 ⋅ 2 ⋅ 2 − 40 ⋅1⋅ 5
,
0
= −80 + 240 − 80 − 20 = 60 kNm Dr inż. Agata Maryniak
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
SEMESTR II
Zadanie 3
Policzyć reakcje i narysować wykres sił wewnętrznych (N, T, M) dla układu poniżej. Wyzna-czyć ewentualne ekstrema.
q1=5kN/m
H
q2=5kN/m
A=0kN
VA=10kN
VB=10kN
4 m
4 m
N
[kN]
2 m
2 m
10
10
+
+
T
[kN]
-
10
o
M ekst 2 =10
2
-
M
[kNm]
+
2o
M ekst 1 =10
Obliczamy reakcje:
Σ P
P
Σ = H = 0 kN
ix = 0
ix
A
Σ M
Σ M
q
q
V
iA = −
⋅ 4 ⋅ 2 +
⋅ 4 ⋅ 6 + B ⋅8 = 0
iA = 0
1
2
q ⋅ 4 ⋅ 2 − q ⋅ 4 ⋅ 6
5 ⋅ 4 ⋅ 2 − 5 ⋅ 4 ⋅ 6
40 − 120
− 80
V
1
2
=
=
=
=
= −10 kN
B
8
8
8
8
Zmieniamy zwrot momentu VB na przeciwny Σ P
Σ P
V
q
q
V
iy =
A −
⋅ 4 +
⋅ 4 − B = 0
iy = 0
1
2
V = q ⋅ 4 − q ⋅ 4 + V = 5 ⋅ 4 − 5 ⋅ 4 + 10 = 20 − 20 + 10 = 10 kN
A
1
2
B
Obliczamy wartość ekstremum
M L
=
⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ − ⋅ ⋅ =
−
=
ekst 1
V
2
q
2 1 10 2
5 2 1
20 10
10 kNm
A
1
M L
=
⋅ − ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ =
⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
−
+
= −
ekst 2
V
6
q
4 4
q
2 1 10 6
5 4 4
5 2 1
60 80 10
10 kNm
A
1
2
Dr inż. Agata Maryniak
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
SEMESTR II
Zadanie 4
Policzyć reakcje i narysować wykres sił wewnętrznych (N, T, M) dla układu poniżej. Wyzna-czyć ewentualne ekstrema.
P1=20kN
P2=50kN
30°
HA=43,3kN
VA=21,7kN
VB=23,3kN
2 m
2 m
2 m
N
[kN]
-
43,3
21,7
+
1,7
T
[kN]
-
23,3
M
[kNm]
+
43,4
46,6
Obliczamy reakcje:
Σ P
P
Σ
= H − P ⋅ cos 3
( 0o ) = 0 kN
ix = 0
ix
A
2
3
H
= P ⋅ cos 3
( 0o ) = 50 ⋅
= 43 k
3
,
N
A
2
2
Σ M
Σ M
P
P
o
V
iA = −
⋅ 2 −
⋅sin 3
( 0 ) ⋅ 4 + B ⋅ 6 = 0
iA = 0
1
2
1
o
20 ⋅ 2 + 50 ⋅ ⋅ 4
P ⋅ 2 + P ⋅ sin 3
( 0 ) ⋅ 4
40 + 100
140
V
1
2
2
=
=
=
=
= 23 3
, kN
B
6
6
6
6
Σ P
Σ P
V
P
P
o
V
iy =
A −
−
⋅sin 3
( 0 ) + B = 0
iy = 0
1
2
1
V = P + P ⋅ sin 3
( 0o ) − V = 20 + 50 ⋅
− 23 3
, = 20 + 25 − 23 3
, = 2 ,
1 7 kN
A
1
2
B
2
Dr inż. Agata Maryniak
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
SEMESTR II
Zadanie 5
Policzyć reakcje i narysować wykres sił wewnętrznych (N, T, M) dla układu poniżej. Wyzna-czyć ewentualne ekstrema.
MA=14kNm
M=6kNm
P=10kN
HA=0kN
VA=10kN
2 m
2 m
N
[kN]
10
+
T
[kN]
14
-
M
[kNm]
+
6
Obliczamy reakcje:
Σ P
P
Σ = H = 0 kN
ix = 0
ix
A
Σ M
Σ M
iA = − M A − P ⋅ 2 + M = 0
iA = 0
M
= − P ⋅ 2 + M = 1
− 0 ⋅ 2 + 6 = −20 + 6 = 1
− 4 kNm
A
Zmieniamy zwrot momentu MA na przeciwny Σ P
Σ P
iy = V A − P = 0
iy = 0
V = P = 10 kN
A
Dr inż. Agata Maryniak
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
SEMESTR II