semestr 2
- wykład 1
1
Wektory
Zbiór IR n z działaniem dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczby rzeczywiste nazywa-my n-wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową.
Własności działań na wektorach
Własności dodawania wektorów
Własności mnożenia wektorów przez liczbę
u + v = v + u;
α(u + v) = α u + α v; u + (v + w) = (u + v) + w;
( α + β)u = α u + β u; u + 0 = 0 + u = u;
( αβ)u = α( β u);
u + ( − u) = 0.
1 · u = u.
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczyn skalarny wektorów określony jest wzorem:
u
1 v 1 + u 2 v 2 ,
jeśli
u , v ∈ IR2;
u ◦ v =
u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 , jeśli
u , v ∈ IR3;
u 1 v 1 + u 2 v 2 + . . . + unvn, jeśli u , v ∈ IR n
Niech u , v ∈ IR2 lub IR3, i niech ϕ będzie kątem między wektorami u i v. Wówczas: u ◦ v = | u | · | v | · cos ϕ, gdzie | .| oznacza normę wektora.
Wektory u , v ∈ IR2 lub IR3 są prostopadłe (ortogonalne), jeśli u ◦ v = 0 .
W przypadku, gdy u , v ∈ IR n mówimy o ortogonalności wektorów.
Niezerowe wektory u , v ∈ IR2 lub IR3 są równoległe (współliniowe), jeśli
∃ α ∈ IR
taka , że
u = α v .
W przypadku, gdy niezerowe wektory u , v ∈ IR n mówimy o współliniowości wektorów.
Własności iloczynu skalarnego
Niech u , v , w ∈ IR n i niech α ∈ IR. Wówczas: 1 .
u ◦ v = v ◦ u;
2 .
α(u ◦ v) = ( α u) ◦ v = u ◦ ( α v); 3 .
u ◦ (v + w) = u ◦ v + u ◦ w; 4 .
u ◦ 0 = 0;
5 .
u ◦ u = | u | 2 .
Symbol | u | we własności (5) oznacza normę wektora u.
semestr 2
- wykład 1
2
Norma wektora
Norma (długość) wektora określona jest wzorem:
q
u 2 + u 2 ,
jeśli
u ∈ IR2
1
2
q
| u | =
u 2 + u 2 + u 2 , jeśli
u ∈ IR3
1
2
3
q
u 2 + u 2 + . . . + u 2 , jeśli
u ∈ IR n.
1
2
n
Własności normy
Niech u , v ∈ IR n i niech α ∈ IR. Wówczas: 1 .
| u | 0 ,
przy czym
| u | = 0 ⇔ u = 0; 2 .
| αu | = |α| · | u | ; 3 .
| u+v | ¬ | u | + | v | ; 4 .
|||u | − | v ||| ¬ | u −v | ; 5 .
| u ◦ v | = | u | · | v |
jeżeli u i v są współliniowe .
Własność (5) wykorzystywana jest do udowodnienia wzoru na odległość punktu od prostej.