Blok 3: Zasady dynamiki Newtona. Siły.

Odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania:

1. Dane: L = L = L = L

1

2

3

m = m = m, m = m

3

1

2

3

r

Szukane: r

= ?

śm

Analiza: Zadanie rozwiązujemy w

przestrzeni dwuwymiarowej (pominięto

grubość prętów).

Rozwiązanie:

0 ⋅ m + L ⋅ m

L

+ m

L ⋅ m

L

+ ⋅ 3 ⋅ m

1

2

3

x

2

2

1

=

=

= L

śm

m + m + m

m + m + 3 ⋅ m

2

1

2

3

L ⋅ m

L

+ ⋅ m + L ⋅ m

2 L

⋅ ⋅ m + L ⋅ 3 ⋅ m

1

2

3

4

y

2

2

2

=

=

= L

śm

m + m + m

m + m + 3 ⋅ m

5

1

2

3

2. Analiza: Z wykresu wynika, że współrzędna wypadkowej siły jest dodatnia, a zatem ( na mocy II zasady dynamiki Newtona) także i współrzędna przyspieszenia jest dodatnia. Współrzędna prędkości jest natomiast ujemna (co wynika z treści zadania). Zatem prędkość i przyspieszenie mają przeciwne zwroty. Stąd wiadomo, że ruch ten jest opóźniony. Ponieważ w ruchu tym współrzędna siły nie jest stała, to także współrzędna przyspieszenia nie jest stała w czasie (z wykresu wynika, że współrzędna siły rośnie liniowo z czasem, zatem także współrzędna przyspieszenia rośnie liniowo z czasem).

Zatem odp. D – ruch niejednostajnie opóźniony 3. Wartość siły naprężenia jest równa wartości siły, z jaką sznur działa na chłopca, a ta z kolei jest równa wartości siły, z jaką chłopiec działa na sznur, czyli 100 N.

4. Obaj chłopcy działają na sznur siłami o takich samych wartościach i co ważne środek masy liny nie przemieszcza się. Ale de facto jeden chłopiec ciągnie, a drugi tylko przytrzymuje sznur, zatem sytuacja ta nie różni się od sytuacji z poprzedniego zadania, w której chłopiec ciągnie za jeden koniec sznura, a drugi jego koniec jest przymocowany do ściany. Zatem naprężenie sznura wynosi także 100 N.

Można to także wyjaśnić w inny sposób. Siłę naprężenia sznura wyznaczamy doświadczalnie: przecinamy linę w dowolnym miejscu i wpinamy w to miejsce siłomierz. Naprężęnie to siła, którą wskazałby ten siłomierz. Wybierzmy jeden z kawałków sznura – jest on ciągnięty z jednej strony przez chłopca, a z drugiej przez siłomierz. Ponieważ sznur pozostaje w spoczynku, to (zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona) siły działające na sznur muszą się równoważyć, a zatem siła, którą ciągnie chłopiec ma taką samą wartość, jak siła z drugiej strony (wskazana przez wpięty siłomierz). Czyli wartość naprężenia tego sznura wynosi także 100 N.

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

1

BLOK 3 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania

5. Podwieszając belkę nie możemy doprowadzić do zerwania sznurów, czyli nie możemy przekroczyć obciążenia równego wytrzymałości sznura na zerwanie. Całkowita siła ciężkości działająca na belkę jest równoważona przez sumę sił sprężystości wszystkich lin:

= ⋅ = ⋅

c

F

m g

n

z

F erw , gdzie n – liczba wszystkich kawałków sznura.

50 kg ⋅10 m

m ⋅ g

2

n

s

=

≈

= 25

F

20 N

zerw

Belkę należy zawiesić za pomocą 25 kawałków takiego sznura.

r

6. Dane: m = 1 kg, | F |= 10 N, µ = ,

0 2

r

Szukane: a = ?

r

Analiza: Aby obliczyć a , należy podać jego składowe. Ruch jest jednowymiarowy, więc tylko jedna składowa przyspieszenia może mieć wartość różną od zera. Poszukujemy zatem a x .

Rozwiązanie:

r

r

r

r

II zasada dynamiki dla klocka: F +

r

F + R + T = a ⋅ m

c

r

r

Dla osi OX zwróconej zgodnie ze zwrotem F i osi OY zwróconej zgodnie ze zwrotem R , otrzymujemy:

x:

F − T = a ⋅ m

x

y:

R − F = 0

c

(ciało nie porusza się w kierunku pionowy, a zatem także w tym kierunku nie przyspiesza)

m

F − T

F − µ ⋅ R

F − µ ⋅ F

−

⋅ ⋅

10 N − 0,2 ⋅1 kg ⋅10

F µ

m g

2

k

k

c

k

s

m

a =

=

=

=

=

= 8

2

x

s

m

m

m

m

1 kg

r

Odp. Klocek porusza się z przyspieszeniem o wartości 8 m zgodnie ze zwrotem siły F .

2

s

7. Dane: v = 36 km = 10 m , s = 100

,

m v = 0

0

k

h

s

Szukane: µ = ?

k

Rozwiązanie:

To zadanie można rozwiązać dwoma sposobami:

I – z zasad dynamiki Newtona i kinematycznych równań ruchu: r

r

F =

r

T = a ⋅ m

= = ⋅

= µ ⋅

z

F

T

a m i T

R

z

k

, gdzie R – wartość siły reakcji podłoża; w tym

zadaniu R = F = m ⋅ g

c

v 2

v 2

oraz: s = v ⋅ t

1

− at 2 i v = v − a t ⇒

⋅

s

0

⇒

=

a

0

=

0

k

0

2

2 ⋅ a

2 ⋅ s

2

m 2

a

v

1

( 0

)

Czyli: µ ⋅ m ⋅ g = a m

0

s

⇒

⋅

µ = =

=

= ,

0 05

k

k

g

2 ⋅ s ⋅ g

2 ⋅100 m ⋅10 m2

s

LUB

II – z zasady zachowania energii mechanicznej:

Praca wykonana przez siłę tarcia jest równa zmianie energii kinetycznej ciała: mv2

mv 2

mv2

⇒

k

0

o

⇒

W = ∆E

T

T ⋅ s ⋅ cos 1

( 80o ) =

0

k

∆x =

−

⇒

−

2

2

2

mv2

mv 2

− T ⋅ s

0 ⇒

= −

T ⋅ s

0

=

2

2

oraz

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

2

BLOK 3 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania

T = µ ⋅ R

=

= ⋅

k

i w tym zadaniu R

F

m g

c

.

2

2

m 2

mv

v

1

( 0

)

Zatem: µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s

0

0

s

⇒

=

µ ⋅ =

=

= 0

,

0 5

k

k

2

2 ⋅ g ⋅ s

2 ⋅100 m ⋅10 m2

s

Odp. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,05

8. Wypadkowa siła jest równa zeru na mocy I zasady dynamiki Newtona, ponieważ, jak stwierdzono w treści zadania, ciało to porusza się ruchem prostoliniowym (kierunek prędkości nie ulega zmianie), stale w tę samą stronę (zwrot prędkości nie ulega zmianie) i wartość prędkości tego ciała także pozostaje stała (jak to widać na wykresie). Zatem prędkość jako cały wektor pozostaje stały, dlatego wypadkowa siła działająca na to ciało jest równa zeru.

Czyli odp. D

9. Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to jedynie wartość prędkości tego ciała nie ulega zmianie (zgodnie z wykresem), natomiast kierunek i zwrot prędkości nieustannie się zmieniają w trakcie ruchu. Zatem musi istnieć niezerowa siła, która powoduje zmianę tych dwóch cech wektora prędkości. Siłą tą jest siła dośrodkowa. Siła ta jest zawsze skierowana prostopadle do prędkości. Dodatkowo, ponieważ ruch jest jednostajny (wartość prędkości nie ulega zmianie), v 2

to i wartość siły dośrodkowej dana wzorem: F = m ⋅ a = m ⋅

d

d

jest stała. Ale stale zmienia

r

się kierunek i zwrot tej siły, dlatego żadna z podanych w zadaniu 8 odpowiedzi szczegółowych (A-F) nie jest w tym przypadku prawdziwa i prawidłowa jest odp. G.

800 obr

10. Dane: m = 1 kg, r = 25 cm = ,

0 25 m, f =

≈13 3

, Hz

1 min

Szukane: F = ?

d

Rozwiązanie:

v2

ω2 ⋅ r 2

F = m ⋅ a = m ⋅

= m ⋅

= m ⋅ ω2 ⋅ r = m ⋅ (2π2π2 ⋅ r = 4π2m ⋅ f 2 ≈ 1746 N

d

d

r

r

Odp. Wartość siły dośrodkowej działającej na bieliznę wynosi ok. 1,75 kN.

v2

11. Przyspieszenie dośrodkowe dane jest wzorem: a

2

=

= ω ⋅ r

d

. Na początku zatem

r

przyspieszenie do

2

środkowe: a

= ω ⋅

1

d

1

1

r , a na końcu:

2

ω

a

2

a

1

= ω ⋅ =

⋅ ⋅ = ω ⋅

d2 =

d2

2

2

r

( 2 r

r , czyli

.

3 )2

2

2

1

1

1

9

a

9

1

d

Odp. E

12. Analiza: W równaniu fizycznym jednostki po obu jego stronach muszą być sobie równe.

kg m

⋅

x

F

N

2

kg

b =

, st

s

ąd: jednostką b jest

=

=

v

m

m

x

s

s

s

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

3

BLOK 3 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania

13. Dane: r = 5

,

1

,

m r = 2 m

1

2

f

Szukane: 2 = ?

f1

Analiza:

Jeżeli dwa koła ( w tym przypadku dwie szpule) połączone są sznurkiem (taśmą, paskiem) ściśle przylegającym do punktów na obrzeżach tych kół (szpul) oraz sznurek (taśma, pasek) jest nierozciągliwy, to aby się nie zerwał, musi być spełniona zależność: v =

1

v 2 (czyli

prędkość punktów leżących na obwodzie jednego koła musi być równa prędkości punktów leżących na obwodzie drugiego koła).

Rozwiązanie:

v = ω ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ r , gdzie f – jest częstotliwością obrotu koła.

f

r

5

,

1 m

3

Czyli 2 ⋅ π ⋅ f ⋅

= ⋅ π ⋅ ⋅

2

1

⇒

=

=

=

1

1

r

2

f 2 2

r

.

f

r

2 m

4

1

2

Odp. Stosunek częstotliwości wynosi 3/4.

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

4

BLOK 3 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania