Przykład 1: Oblicz stan rachunku po upływie czterech lat o saldzie początkowym 1000 zł, jeśli w pierwszym roku stopa nominalna wynosiła 5%
i w kolejnych trzech latach rosła o 1 p. p., zaś odsetki kapitalizowano co pół
roku przez pierwsze 1,5 roku, co kwartał przez kolejny rok i w sposób ciągły przez ostatnie półtora roku.
n=4, P=1000
r1 = 5%
=
=
=
=
=
2
r2
%
6
2
r1
%
6
4
r2
%
7
4
r1
7%
c
r2
8%
c
0
1
1,5
2
2,5
3
4
n
2
2
2
0,05
0,06
,
0 06
,
0 07
⋅
F =
⋅
1000 ⋅ 1 +
⋅ 1 +
⋅ 1 +
⋅ 1 +
⋅ e0,07 0,5 ⋅ e0,08 1 =1294 8
, 8
2
2
4
4
3
2
1
4
1
4
2 3 1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3 1
4
4
4
2
4
4
4
3
4
ρ
1
2
3
ρ
ρ
ρ
Oblicz przeciętną roczną stopę oprocentowania składanego i przeciętną stopę oprocentowania ciągłego w czasie 4 lat.
1294 8
, 8
F = P ⋅ (1 + r)n = 1000 ⋅ (1 + r)4 = 1294 8
, 8 , r
4
=
−1= 6
,
6 7 %
4
1000
⋅
1
1294 8
, 8
F =
⋅
P ⋅ erc n = 1000 ⋅ erc 4 = 1294 8
, 8 ,
rc = ln
= ,
6 46 %
1
4
1000
Przykład 2: Ania wpłaciła 300 zł na roczną lokatę bankową, na której odsetki kapitalizowane są co miesiąc przy stałej stopie miesięcznej 3%. W I kwartale rocznego czasu oprocentowania lokaty kwartalna stopa inflacji wyniosła 2% i w kolejnych kwartałach tego roku rosła o 0,5 p. p. Oblicz: a) roczny czynnik inflacji i roczną stopę inflacji, b) przeciętną kwartalną stopę inflacji, c) realną roczną stopę oprocentowania lokaty.
P=300,
n=1,
k=12,
m=12,
i
= 3%
12
1
= %
2 , i
2
= 5
,
2 %, i3
= %
3 , i
4
=
%
5
,
3
inf
inf
inf
inf
Ad a)
4
j
ρ
= ∏ (1+ i ) = ,102⋅ ,1025⋅ ,103⋅ ,1035 = 1, 1 146
inf
j 1
=
inf
r
= ρ
−1 =1 ,
1 46%
inf
inf
Ad b)
4
(1 +
=
=
− =
i
i nf )
ρinf ⇒
i
4
inf
1
,
1 146
1
,
2 749%
i
− i
r
− r
Ad c)
nom
inf
i
=
nom
inf
=
=
real
⇒
r
r eal
,
r
1 ,
1 46%
inf
1+ i
+
inf
1
i
r nf
r
= r
12
12
= ρ −1 = (1+ i ) −1 = , 1 03
−1 = 42 5
,
%
8
nom
ef
12
12
,
0 4258 − 1
,
0 146
r
=
= 27 9
,
%
2
real
1 + 1
,
0 146
Praca domowa „na plusa”: zadanie 3.18
Praca domowa: zadania 3.17, 3.22 – 3.24
Temat 4
Wartość kapitału w czasie Przykład 1: Nowak i Kowalski mają konta oprocentowane 5% w skali roku z kapitalizacją roczną. Nowak ma obecnie na koncie 2000 zł. Kowalski wie, Ŝe za dwa lata wpłynie na jego konto kwota 2200 zł. a) Za posiadacza jakiej kwoty moŜe uwaŜać się za dwa lata Nowak? b) Za posiadacza jakiej kwoty moŜe uwaŜać się Kowalski dziś? c) Porównaj stan posiadania Nowaka i Kowalskiego.
Ad a) P=2000, n=2, r=5%, k=1 ⇒ F = P ⋅ (1 + r)n = 2000 ⋅1,052 = 2205
2
Ad b) F=2200, n=2, r=5%, k=1 ⇒ P = F ⋅ (1 + r)-n = 2200 ⋅1,05-2 = 1995
Ad c) FV(2000) = 2205 > 2200 ⇒Nowak, PV(2200) = 1995 < 2000⇒Nowak Przykład 2: Nowak i Kowalski mają konta oprocentowane 5% w skali roku z kapitalizacją roczną. Nowak ma obecnie na koncie 2000 zł. Kowalski wie, Ŝe za dwa lata wpłynie na jego konto kwota 2200 zł. Zapisz modele wartości kapitałów Nowaka i Kowalskiego.
−
Nowak:
t = 0
=
t t
=
⋅ +
0
, K(0)
2000 , r=5%,
0
K(t)
K(t0) (1 r)
t
K(t) = 2000 ⋅ 0
,
1 5 ,
K(2) = 2000 ⋅ 0
,
1 52 = 2205
−
Kowalski: t = 2
=
t t
=
⋅ +
0
, K( )
2
2200 , r=5%,
0
K(t)
K(t0 ) (1 r)
t -2
2200
t
t
K(t) = 2200 ⋅ 0
,
1 5
=
⋅ 0
,
1 5 = 1995 ⋅ 0
,
1 5
,
1 052
K(0) = 1995 ⋅ ,
1 050 = 1995
3