Zadanie 1 Ile można utworzyć liczb parzystych siedmiocyfrowych takich, że cyfra zero nie występuje na pierwszym miejscu oraz cyfry w danej liczbie się nie powtarzają (2 punkty).
Zadanie 2 Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC
odpowiednio z prawdopodobieństwami 0.4, 0.3 i 0.3. Litery te (sygnały) podlegają niezależ-
nie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera A może być odebra-na jako B albo C (zamiast A). Prawdopodobieństwa poprawnego przesłania albo przekłama-nia podaje tablica.
Sygnały nadane Sygnały odebrane
A
B
C
A
0.8
0.1
0.1
B
0.1
0.8
0.1
C
0.1
0.1
0.8
a) znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału AAAA (2 punkty), b) na wyjściu odebrano sygnał ACAA, oblicza prawdopodobieństwo, że został nadany jako AAAA (2 punkty).
Zadanie 3 Dobrać tak stałą C by funkcja
C
<
p ( x)
dla x
1
2
= 1− x
0 poza tym
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (1 punkt), a następnie: a) wyznaczyć jej dystrybuantę (2 punkty), b) obliczyć P (0 ≤ X < 1/ 4) (2 punkty), c) obliczyć wartość średnią (2 punkt), d) wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y = X5 (3 punkty) Zadanie 4 Dany jest rozkład zmiennej losowej ( X, Y) w postaci tabeli X
2
3
4
1 1/6 1/6 1/6
Y 2
0
1/6
0
3 1/6
0
1/6
a) obliczyć dystrybuantę (2 punkty) b) znaleźć rozkłady brzegowe (1 punkt) c) sprawdzić niezależność zmiennych losowych X Y (1 punkt) Część teoretyczna (na oddzielnej kartce) 1. Podaj i opisz twierdzenie Bayesa (3p) 2. Podaj definicję i wymień właściwości dystrybuanty zmiennej losowej (5p) 3. Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa (2p)