1
Lista 5
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
x
√
a) f ( x, y) = e x+ y
b) f ( x, y) =
4 − x 2 + p y 2 − 9
c) f ( x, y) = p1 − 25 x 2 − y 2
d) f ( x, y) = ln(4 − x 2 − y 2)
√
e) f ( x, y) = p( x 2 + y 2 − 1)(16 − x 2 − y 2) f) f ( x, y) =
10+3 x−x 2
x 2 − 4 y
g) f ( x, y) = arc sin x+ y
h) f ( x, y) = ln ( x 2 + y 2 − 4)( x 2 − 2 x + y 2 − 8)
x
2. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji: a) f ( x, y) = arc tg 1 −xy
b) f ( x, y, z) =
x
x+ y
x 2+ y 2+ z 2
c) g( x, y) = esin yx
d) h( x, y, z) = sin( x cos( y sin z)) q
e) f ( x, y) =
x 2 y+3 y 2 + sin(5 x + 7 y + 5) f) h( x, y) = e x 2 y 2 cos 3 x+ y 5 xy−x 2 y 5
7 x 2 y
g) g( x, y) = ln(8 x 2 y 3 + 7) + tg 5 x+ y 2 x− 3 y
h) f ( x, y) = p8 x 2 y + sin x 2 + cos( y 2 x 3) + (8 xy 2 − 7 x)10
i) k( x, y) = arc tg( x − p y 2 + 1) + ln( x + 2 y) j) g( x, y) = p5 x 2 + y 3 − arc sin p x 2 + 3 y + 5e xy.
3. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe:
a) f ( x, y) = sin( x 2 + y 2) b) g( x, y, z) =
1
√
x 2+ y 2+ z 2
c) h( x, y, z) = ln( x 2 + y 4 + z 6 + 1) d) f ( x, y) = e xy 2 .
4. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wy-kresu:
√
a) f ( x, y) = arc sin x , ( x
,
3 , − 1);
arc cos y
0 , y 0 , z 0) = ( − 1
2
2
b) f ( x, y) = xy, ( x 0 , y 0 , z 0) = (2 , 4 , 16) .
5. Obliczyć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f ( x, y) = x 2 + y 2 , P = ( − 3 , 4)
b) g( x, y, z) = e xyz,
P = ( − 1 , 1 , − 1) .
2
6. Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
√
a) f ( x, y) = sin x cos y, ( x 3
0 , y 0) = (0 , π) ,
~
v = [ − 1 ,
];
2
2
b) f ( x, y, z) = z−x , ( x
, 3 , − 2 ].
z+ y
0 , y 0 , z 0) = (1 , 0 , − 3) ,
~
v = [ − 67 7
7
7. Napisać różniczki podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f ( x, y) = arc cos y , ( x x
0 , y 0) = (4 , 1);
b) f ( x, y, z) = xy − zx, ( x 0 , y 0 , z 0) = (2 , 4 , 6).
8. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: a) (1 , 04)3 , 01
b) 3
p(3 , 03)3 + (4 , 04)3 + (5 , 05)3
c) (1 , 03)2
√
3 0 , 98