UKŁADY ADAPTACYJNE - FILTR WIENERA o b ie k t

y ( n ) = d ( n )

u ( n )

m o d e l

e ( n )

ÿ ( n )

identyfikacja obiektu

załóżmy, że model obiektu jest filtrem FIR, wtedy d(n)

ÿ(n)

e(n)

h(0)

h(1)

h(2)

h(N-2) h(N-1)

u(n)

z -1

z -1

z -1

N −1

& y( )

n = ∑ (

h k) ⋅ (

u n − k)

k =0

lub w zapisie macierzowym:

& (

y )

n

h T

=

(

u )

n

błąd estymacji

ε ( n) = d( n) − & y( n) d(n)-sygnał wzorcowy ú(n)-estymata miara błędu estymacji - błąd średniokwadratowy estymacji Q( h) = E[ε 2 ( n)]

• Filtr którego współczynniki h przyjmują wartości minimalizujące Q(h) nazywamy filtrem Wienera.

POWIERZCHNIA

BŁĘDU ŚREDNIOKWADRATOWEGO

Q(h) = E[( d ( n T

) − h u( n))2] =

E[ d 2 ( n

T

)]− 2h E[ d( n)u( n T

)]+ h E[u( n T

)u ( n)]h =

E[ d 2 ( n

T

T

)]− 2h p + h Rh

gdzie: p − wektor korelacji wzajemnej d ( n) i u( n) R − macierz autokorelacji u( n) Błąd średniokwadratowy estymacji jest funkcją 2. rzędu wektora wag h - tworzy hiperboloidę posiadającą jedno minimum globalne.

• Równania normalne

Szukając minimum błedu należy obliczyć pochodną błędu względem wektora wag filtru i porównać ją do zera:

∂Q

∂ = 2Rh − p

2 = 0

h

więc jeśli R jest macierzą nieosobliwą: h

= R − p

1

opt

Zasada ortogonalności:

- błąd estymacji i sygnał wejściowy są nieskorelowane

- błąd estymacji i sygnał wyjściowy filtru są nieskorelowane

minimalny błąd estymacji

Q

= E[ d 2 ( n

T

)] − p h

opt

opt

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNANIA

NORMALNEGO

• metody blokowe dwukrokowe

- obliczenie obciążonej lub nieobciążonej estymaty funkcji autokorelacji i macierzy R

- obliczenie macierzy odwrotnej

- eliminacja Gaussa (N3)

- algorytm Levinsona-Durbina (N2)- algorytm rekurencyjny, najpierw obliczny parametry filtru 1. rzędu, na tej podstawie 2. rzędu itd. W wyniku otrzymujemy

- parametry poszczególnych filtrów

- współczynniki odbicia

-

wartość błędu estymacji

zwiększanie rzędu modelu kończymy gdy:

-

błąd estymacji jest mniejszy od zadanej wartości

-

błąd estymacji przestaje maleć.

• metody blokowe jednokrokowe

- Bugra - rekurencyjne wyliczanie współczynników odbicia przy miminimalizacji kwadratów błędów predykcji (estymacji) w przód i wstecz:

ε

M

=

1

∑

2

2

p

f p n

bp n

p

N

2

12

( M −

+

=

p)

[ ( )

( )]

, ...

n= p+1

gdzie: N - liczba wpółczynników odbicia M -liczba próbek sygnału

- LS - najmniejszych kwadratów - wyliczanie współczynników filtru przy łącznej minimalizacja kwadratów błędów predykcji

ε = ∑ 2( )

p

fN n

n

metody sekwencyjne

- najszybszego spadku - gradientowy

- algorytm LMS

- RLS rekurencyjny algorytm najmniejszych kwadratów

- szybki RLS