1. Modele trendu i sezonowości Y = P +

+η , (1)

t

S

t

y

t

y

t

y

X = P

+

+η , i = ,

1 ,

2 K, k, (2)

it

S

i

x t

i

x t

i

x t

gdzie:

y

P i

t

i

x

P oznaczają wielomianowe funkcje zmiennej t

czasowej t,

S

i

y

S

– składniki sezonowe o stałej lub zmiennej t

i

x t

amplitudzie wahań,

η i η – stacjonarne procesy autoregresyjne t

y

i

x t

odpowiednio dla procesu Y i procesów .

t

Xit

2. Modele autoregresyjne

B( u)η

= ε , (3) yt

yt

A ( )η

= ε , i = ,

1 ,

2 K, k, (4)

i u

i

x t

i

x t

gdzie B( u) i A ( iu) są autoregresyjnymi operatorami, dla których wszystkie pierwiastki równań B( u) = 0 i A ( u) = 0 leżą poza okręgiem jednostkowym, a ε

i

i

t

y

ε oznaczają białe szumy dla odpowiednich procesów.

i

x t

3. Model dla białoszumowych składowych odpowiednich procesów

K

ε

=

ρ ε

ε . (5)

yt

∑

+

i x

t

it

i=1

4. Model dla rzeczywistych procesów Y i X ( i=1,2,... K) t

it

B( u)η =

k

ρ A ( u)η + ε .

y

(6)

t

∑ i 1= i i X t

it

B( u)( Y − P − S ) =

ρ

ε

t

yt

yt

∑ k

A ( u)( X − P

− S )

.

i 1

=

+

i i

it

x

x

t

it

it

(7)

Po dalszych przekształceniach otrzymuje się model: B( u)

k

*

Y = ∑

A ( u) X

+ P +

+ ε ,

t

S

i 1

=

(8)

i

it

t

t

t

gdzie:

*

A ( u) = ρ A ( u), i

i i

K

P = B( u)

*

P

−

t

y

∑ A ( u) P ,

i

x

t

it

i 1

=

K

S = B( u)

*

S

−

t

y

∑ A ( u) S .

i

x

t

it

i 1

=

Zgodny dynamiczny model (8) można zapisać w alternatywnej postaci:

q y

*

Y =

xi

β

α

ε ,

t

∑

k

q

s t

Y − +

s

∑

X

P

S

i =1 ∑ s =0

s

it − +

+

+

s

t

t

t

s =1

(9)

gdzie q i oznaczają rząd autoregresji odpowiednio y

qxi

procesów Y i (

t

Xit i = 1, 2, ..., k).

Podejście tradycyjne:

Y = α X + α X + K + α X +η = k∑α X +η

t

1

t

1

2

2 t

k

kt

t

i

it

t

i=1