Z 4 − 5
1. Opisać następujące podprzestrzenie:
(a) Lin(( − 1 , 2)) ¬
2
2
R ; Lin((2 , − 1) , (1 , 1)) ¬ R
(b) Lin(1 , x 2 , x 4) ¬ R[ x]; Lin( x + 1 , ( x + 1) x, ( x + 1) x 2 , ( x + 1) x 3) ¬ R[ x].
2. Czy podany układ wielomianów jest liniowo niezależny w przestrzeni R[ x]3 nad R?
(a) {x + 3; ( x − 3)3; 4 ; 3 x 2; x 3 − 4 }
5
(b) {x + 1; x 3 + 2 x; x 2 − 5 x + 2; 7 x 3 + 2 x 2 }
(c) { 1 x 2 + 5 x; −x 3; 2 x + 1; 5 x}
3
3. Czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny w przestrzeni RR nad R?
(a) {x, sin x, cos x},
(b) { sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x},
(c) { cos 2 x, sin2 x, cos2 x}.
4. Znaleźć bazy następujących podprzestrzeni liniowych:
(a) {w ∈ R[ x]2 : w(1) = w0(0) }
(b) zbiór wielomianów z R[ x]4, dla których liczba 1 jest pierwiastkiem co najmniej 2-krotnym.
5. Podać współrzędne wektora 7 sin2 x w bazie (3 , cos 2 x).
6. Podać współrzędne wektora v ∈ V w bazie B = ( u 1 − 2 u 2 , u 1 − 2 u 2 + u 3 , u 2 − u 1) przestrzeni liniowej V , jeżeli w bazie C = ( u 1 , u 2 , u 3) tej przestrzeni ma on współrzędne (4 , − 1 , 2).
7. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V = {( x − y, 3 y, 2 y − x, 2 x) : x, y ∈ R }. Znaleźć bazę tej
przestrzeni, w której wszystkie współrzędne wektora (1 , 3 , 0 , 4) są równe 4.
8. Czy przekształcenie ϕ :
3
3
R → R
jest liniowe jeśli ϕ((2 , 0 , 0)) = (2 , 2 , 2), ϕ((1 , 1 , 0)) = (0 , 1 , 0), ϕ((1 , 0 , 1)) = (0 , 0 , − 1), ϕ((1 , 1 , 1)) = (1 , 2 , − 1)?
9. Niech F : C → C, F ( z) = z. Czy
(a) F jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej C nad ciałem R?
(b) F jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej C nad ciałem C?
10. Sprawdzić, czy podane odwzorowania są przekształceniami liniowymi. Dla przekształceń liniowych:
znaleźć jądro i obraz (podać wymiar, dla skończenie wymiarowych także bazę); stwierdzić, czy
przekształcenie jest nieosobliwe, czy jest ”na”.
(a) ϕ :
2
2
R
→ R , φ - obrót o kąt π w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara wokół
4
punktu (1 , 1),
(b) ϕ :
2
2
R → R ( x, y) 7→ ( x − y, 5 y − 5 x),
(c) ϕ :
3
2
R → R , ( x, y, z) 7→ ( x, y + 2 z),
(d) ϕ :
3
R → R[ x]2 , ( a, b, c) 7→ ( a − c) x 2 + ( b + 4) x + c − 3 a, (e) ϕ :
3
R[ x]3 → R , w( x) 7→ ( w(1) , w0(1) , w00(1)) , (f) ϕ : R[ x]2 → R[ x]2 , w( x) 7→ x · w0( x),
(g) ϕ : C[ x] → C , f 7→ f ( j),
(h) V - przestrzeń ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych, ϕ : V → R , c 7→ lim n→∞ cn, (i) ϕ : C(R) → C(R), f 7→ f ◦ f , gdzie C(R) - przestrzeń funkcji ciągłych.
11. Dane jest przekształcenie liniowe ϕ :
3
R → R[ x]2 takie, że ϕ((1 , 1 , 1)) = 2 x 2 − 3 x, ϕ((1 , 2 , 3)) = − 3 x, ϕ((1 , 2 , 4)) = 2 x 2 − 4 x. Wyznaczyć wzór ogólny ϕ(( a, b, c)). Znaleźć jądro, obraz, wymiar obrazu, wymiar jądra.