Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

CENA – początkowa koszyka

CENA = ,

0 45 ⋅120 + ,

0 2 ⋅ 95 + 3

,

0 5 ⋅114 = 112 9

,

OD – odchylenie koszyka a wiemy, że 2

OD = var( ,

0 45 S

,

0 2 S

3

,

0 5 S

1 +

2 +

3 ) =

=

2

,

0 45 var S +

2

,

0 2 var S

3

,

0 5 var S

2

,

0 45

,

0 2 corr S , S

OD S

OD S

1

+

2

2

3 +

⋅

⋅

⋅

( 1 2 )⋅ ( 1)⋅ ( 2 )+

+ 2 ⋅ ,

0 45 ⋅ 3

,

0 5 ⋅ corr( S , S

OD S

OD S

2

,

0 2

3

,

0 5 corr S , S

OD S

OD S

1

3 ) ⋅

( 1)⋅ ( 3)+ ⋅ ⋅

⋅

( 2 3)⋅ ( 2 )⋅ ( 3) =

= ,

0 452 ⋅ ,

0 07 2 + ,

0 22 ,

0 052 + 3

,

0 52 ,

0 0852 + 1

,

0 8 ⋅ ,

0 25 ⋅ ,

0 07 ⋅ ,

0 05 + 3

,

0 15 ⋅ 5

,

0 ⋅ ,

0 07 ⋅ ,

0 085 +

+ 1,

0 4 ⋅ ,

0 25 ⋅ ,

0 05 ⋅ ,

0 085 ≈ ... → OD ≈ ,

5 6751%

c(i) – wartość opcji w węźle i

zaczynamy od prawej strony

c(7) ≈ 13 ,

3 233 − 112 9

, ≈ 20 3

, 33

c )

8

(

≈ 118 9

, 22 −112 9

, ≈ ,

6 022 = c 9

( ) = c 1

( )

1

c 1

( 0) = c 1

( 2) = c 1

( )

3 = c 1

( 4) = 0



c )

3

(

= max 12 ,

6 078 −

1

112 ;

9

,

( c(7) 1

p + c )

8

(

p 2)







,

1 055



1

c(4) =

⋅ c 9

( ) ⋅ 1

p

,

1 055

1

c )

5

(

=

⋅ c 1

( )

1 ⋅ 1

p

,

1 055

c(6) = 0



c )

1

(

= max 119 3

, 07 −112 ;

9

, ( c )

3

(

1

p + c(4) p 2) 1 







,

1 055

1

c(2) = c )

5

(

⋅ 1

p ⋅

,

1 055

ODP = [ c )

1

(

1

p + c(2) p ] 1

2

,

1 055

Z braku arbitrażu:

,

1 055 −1 + i

1

( + i) 1

p + 1

( − i) p 2 = ,

1 055 → 1

p =

g

dzi

e i = OD, p 2 = 1 − 1

p → ODP ≈ 1 ,

6 76

2 i

Zadanie 2

f ( r, t = V r, t − V r, t 0 )

A (

0 )

L (

0 )

Muszą być spełnione warunki:

1. f ( r , t =

0

0 )

0

df

2.

( r , t =

0

0 )

0

dr

5

−

1

− 0

1 − 1

( + )

1 − 1

( + )

V

,

= 1000

+1000

L ( r t 0 )

r

r

r

r

V

L ( r , t

≈

0

0 )

1112 ,

3 78

dVL =100 [

−2

−6

0 − 1

( + r)

− ... − 1

(

5 + r) ]+ 100 [

−2

1

− 1

0 − 1

( + r)

− ... −10 1

( + r)

]

dr

1

5

− v

− v



6

1

10



− 5 v

−10 11

v 

= −

dV

1000 v

i

+

i

 →

L ( r , t ≈ −

0

0 )

4060 ,

2 67



i

i



dr









−

V r t

= X + r

+ X

+ r −

A ( ,

t

t

0 )

1 (1

) 1

2

1

(

)

2

dVA (

− t −

− t −

1

2

r, t

= − t X 1

( + r)

− t X 1

( + r)

0 )

1

1

1

1

2

2

dr

Sprawdzamy: V

A ( r , t

0

0 )

A,b,c i e daje około 11124 OK

d) odpada bo około 11 870

dV

sprawdzamy:

A ( r , t

0

0 )

dr

a) około -73200

b) około – 43 446

c) około -67159

e) około – 68461

Z tego wynika Odpowiedź b)

Zadanie 3

−

20

0

,

1 420

1

915 5

, 3 = B

= ( K −100 )

0 ⋅ 0

,

1 4

+1000 + 0

,

0 5 ⋅1000 s − Rs g dzi

e s

=

20

20

20

20

0

,

0 4

B − B = 92 1

, 2 czyli

7

8

7

8

( K −100 )

0 ⋅ 0

,

1 4 + 1000 + 0

,

0 5 ⋅1000 s − Rs − ( K −100 ) 0 ⋅ 0

,

1 4 −1000 − 0

,

0 5 ⋅1000 s + Rs

7

7

8

8

Wszystkie symbole s są przy stopie 0,04

n

915 5

, 3 = ( K −1000) ⋅

20

,

1 04

+1000 + 50 s − Rs



20

20

92 1,2 = ( K −1000)(

7

,

1 04 −

8

,

1 04 )− 50 ⋅

7

,

1 04 + R ⋅

7

,

1 04

− 8 ,

4 47 + Rs − 50 s

Z I równania:

20

20

K −1000 =

i wstawiamy do równania II

20

0

,

1 4

8 ,

4 47 − Rs + 50 s

20

20

92 1

, 2 =

0

,

1 4 − 0

,

1 4

− 50 ⋅ 0

,

1 4 + R ⋅ 0

,

1 4

20

( 8

7 )

7

7

0

,

1 4

8 ,

4 47 + 50 s 20

92 1

, 2 −

,

1 04 − ,

1 04

+ 50 ⋅ ,104

20

( 8

7 )

7

,

1 04

R =

s

7

20

,

1 04 −

,

1 04 − ,

1 04

20 (

8

7 )

,

1 04

− 8 ,

4 47 + Rs − 50 s

R

20

20

K =

+100

0 wyli z

c amy

i

≈ 0

,

0 67

0

,

1 420

K

Zadanie 4

 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 

1000 = 200 3

, 8

+

+

+

+

+

2

2

2

2

2

2 

 0

,

1 7

0

,

1 7 1 + x

0

,

1 7 1 + x 0

,

1 5

0

,

1 7 1 + x 0

,

1 5

0

,

1 7

1

( + x)

0

,

1 5

0

,

1 7

1

( + x)

0

,

1 5 

 1

1

1

1

1

1





1

1

1 

1000 = 200 3

, 8

+

+



 1+



 0

,

1 7

0

,

1 7 1 + x

0

,

1 7 1 + x 0

,

1 5 



0

,

1 7 1 + x 0

,

1 5 

OZN: 1+x=t

[ ,105 t + ,105+ ]1[ ,107⋅ ,105 t + ]1

1000 = 200 3

, 8

2

2

2

,

1 07 t ,

1 05

1000 ⋅ ,

1 072 ,

1 052 2

t = 200 3

,

(8 ,105 t + ,205)( ,107⋅ ,105 t + )1

(1000⋅ ,1072 ,1052 −200 3,8⋅ ,1052 ,107) 2 t −(200 3,8⋅ ,105+ 200 3,8⋅ ,205⋅ ,107⋅ ,105) t −200 3,8⋅ ,205 = 0

∆ ≈ 14618

, 7

− b + ∆ bo drugi pierwiastek ujemny t =

2 a

t ≈ ,

1 04 → ODP ≈ 4%

Zadanie 5

P(k) – płatność na koniec roku k

P )

1

(

= 1⋅ 1

( + )

1

P(2) = 1⋅ 1

( + )

1 + 2 ⋅ (2 + )

1

......

k

P( k) = 1⋅ 1

( + )

1 + 2 ⋅ (2 + )

1 + .... = ∑ i i

( + )

1

i=1

L

ODP =

M

∞

∞

i

L = ∑ iP( i) i v = ∑ 

i

i∑



j( j + )

1  v

i=1

i=1  j=1



∞

∞

i

M = ∑ P( i) i v = ∑ 

i

v ∑





j( j + )

1 

i=1

i=1

 j=1



∑ i

i

i

(

)

1 (2

)

1

1

(

)

(

)

1 (2

)

1

3 1

(

)

j( j + )

1 = ∑ j 2 + ∑

i i +

i +

i + i

i i +

i +

+ i +

j =

+

=

i =

6

2

6

j =1

j =1

j =1

i( i + )

1 (2 i + 4)

i( i + )

1 ( i + 2)

=

=

6

3

∞

2

∞

L = ∑ i ( i + ) 1 ( i + )

2

v

i

v = 1 ∑ (

i

1

4

i +

3

3 i +

2

2 i )



v =

1 11 v 11 v

v

5 ( +

+

2 + 3 )



 +

i=

3

3 i

3

1

=1

 1

( − v)



1

3 v

v

+ {

(1

2

+ v + v +

+ v

4

) 2

4

1

(

)}

3 1

( − v)

1

( − v)3

∞

∞

M = ∑

i i

i

v

v

v

i

( + )

1 ( + )

2

v

= 1 ∑(

i

1

3

2

3

i +

2

3 i + 2 i)



v =

(1+ 4 v+ 2 v

1

(

v)

4

)





+

+ +

3

2 

i=

3

3 i

3

1

=1

 1

( − v)

1

( − v)

1

( − v) 

L

3274260

ODP =

=

= 41

M

79860

Zadanie 6

Z parytetu: C-P+dK=S

→ ODP = S + P − dK = 40 + , 0 71 − 35 0

− ,05

e

≈ 7,4

Zadanie 7

Moim zdaniem (E) ale coś ze znakami jest nie tak; porównując współczynniki przy K

wychodzi (E)

R – wielkość pierwszej raty

5

R

1

,

1 R

1

,

1

R

1



5

1

,

1

R +

5

1

1

,

1

R +

5

2

1

,

1

R + 1

K =

+

+ ... +

+

...

,

1 5

2,5

6,5

6,5 

+

+ +

2

9 

1

( + i)

1

( + i)

1

( + i)

1

( + i)

 1 + j

1

( + j)

1

( + j) 

 1

,

1

6

1 − 





a&

&

− 9 v 9 

1

1 + i 

1

j

K = R

+

 R ⋅ 5

1

,

1

a

+ 9; j



1

( + i ,15

)

1

,

1

1

( + i 6,5

)



9; j

j



1 −





1 + i

10

6

6

a

− 9

1

1

( + i) − 1

,

1

1

v j

j

1

5

:

9

K = R

+ R

1

,

1

a

+

6,5

6,5

9; j

6,5

1

( + i)

i − 1

,

0

1

( + i)

j

1

( + i)

j + 1

6

6

1

 1

( + i) − 1

,

1



j + 1

5

K = R



+ 1

,

1

a

 + a

− 9 v

6,5

9; j

(

10

9;

j

j

)

6,5

1

( + i)



i − 1

,

0



j 1

( + i)

6

6

 1

( + i) − 1

,

1



6,5

5

K ⋅ j 1

( + i)

= Rj

+ 1

,

1

a

 + ( j + )

1 a

− 9 v

9; j

(

10

9;

j

j

)



i − 1

,

0



Kj 1

( + 6,5

i)

− ( j + )

1 ( a − 10

9 v j

Kj 1

(

i)

1 v

... v

v

10 v

9; j

)

+ 6,5 − − j − − 8 j − 9 j +

9

R =

=

j

=

 1

( + 6

i) −

6

1

,

1



1

(

i)

1

,

1

5

+ 6 − 6

5

9

j

+ 1,

1

a



j

+ 1

,

1

(1− vj )



i −

9;

1

,

0

j 

i − 1

,

0

Kj 1

( + 6,5

i)

+

9

10 v

a

j − 1 −

=

9; j

=

 1

( + 6

i)

1

,

1

6

− 6 

j 1

( +

5

9

i) 

1

,

1

1 v

6

 +

( − j )

 1

( + i) ( i −

)

1

,

0



6,5

9

Kj 1

( + i)

+10 v −1− a

j

9; j

=

1 − ( 1

,

1 vi )6

6

5

j 1

( + i)

+ 1

,

1

( 9

1 − v j )

i − 1

,

0

Zadanie 8

a-ilość obligacji P(0,1)

b-ilość obligacji P(0,2)

c-ilość obligacji P(0,3)

d-ilość obligacji P(0,4)

a,b,c,d-całkowite, mogą być ujemne a) 0,9a+0,81b+0,729c+0,6561d=0 bo wydajemy 0

Żeby nie było arbitrażu to w każdym wariancie zarobimy 0 tzn:

 a + 8

,

0 8 b + 6

,

0 7 c + xd = 0

 a + 9,

0 b + 8

,

0 5 c + 8

,

0 2 d = 0

 a + 9,

0 3 b + 9

,

0 2 c + 8

,

0 9 d = 0

10

a)mnożymy przez

→ b) a + 9

,

0 b + 8

,

0 1 c + ,

0 729 d = 0

9

b)uwzględniamy rozpisując układ równań:

− 0

,

0 2 b − 1

,

0 4 c + ( x − 7

,

0 2 )

9 d = 0

2 b +14 c −100 d( x − 7

,

0 2 )

9 =

(

0

*)





 0

,

0 4 c + 0

,

0 91 d = 0

→ 4 c = − 1,

9 d

(

**)

→





 0

,

0 3 b + 1

,

0 1 c + 1

,

0 61 d = 0

3b +11c + 16,1d =

(

0

***)

2 b + 14

→ x =

c + ,0729

100 d

1

,

9

Z (**) c = −

d = − ,

2 275 d i wstawiamy do (***) 4

3 b − ,

2 275 d ⋅11 + 16 1

, d = 0 → b =

9

,

2 75 d → x = ,

0 02 ⋅ 9

,

2 75 − 1

,

0 4 ⋅ ,

2 275 + ,

0 729 = ,

0 47

Zadanie 9

1

P( )

0 = 1000 ⋅ (

1 + r(

)3

)

3

,

0





P )

1

(

=

1

E 1000



(1+ r ,1

( 2 ) 

2

)





1



P(2) = E1000



(1+ r( )1

,

2

)

1

P(0) = 1000

= 889

,

1 043



1



P )

1

(

= 1000 E

2 

 0

,

1

(

4 + x) 



1



P(2) = 1000 E 



 ,

1

( 04 + x) 



1



0,04

E

 = ∫ 1

1

dx = 12 5

, ln ,

1 08

 ,

1 04 + X 

,

0 08

,

1

( 04 +

−

x)

0,04



1



,

1 08

0,04

1

1

1

1

E

dx

,

1 04

x

t

12 5

,

dt

12 5

, 1

2 

 = ∫

=

+ = =

2

∫





=

2

 −



−

 ,

1

( 04 + X ) 

0,04

,

0 08

,

1

( 04 + x)

t



,

1 08 

1



1 

P )

1

(

= 1000 ⋅12 5

, 1

 −

 = 925 9

, 3



,

1 08

P(2) = 1000 ⋅12 5

, ln ,

1 08 = 96 ,

2 01

Zadanie 10

A - pierwotna rata osoby A 1

A - rata osoby A po pierwszej zmianie 2

A - rata osoby A po drugiej zmianie 3

B - analogiczne oznaczenie dla osoby B

i

40

1 − v 0,07

21000

300000 = A a

= A

→ A =

1

1

1

40;0,07

40

0

,

0 7

1 − v 0,07

24000

300000 = B a

→ B =

1

1

40;0,08

40

1 − v 0,08

2400 (

25

0 1 − v 0,07 )

A a

= A a

→ A =

1

2

2

25;0,07

25;0,08

( 25

1 − v

1 − v

0,08 )(

40

0,07 )

2700 (

25

0 1 − v 0,08 )

B a

= B a

→ B =

1

2

2

25;0,08

2 ;

5 0,09

( 40

1 − v

1 − v

0,08 )(

25

0,09 )

2400 (

25

0 1 − v

1 − v

0,07 )

10

1

,

0 1

A a

= A a

→ A =

2

3

3

10;0,08

10;0 1

, 1

( 25

1 − v

1 − v

0

,

0 8 1 − v

0,08 )(

40

0,07 )

0,08

10

0 1

, 1

27000(

25

1 − v

1 − v

0,08 )

10

1

,

0

B a

= B a

→ B =

2

3

3

10;0,09

10;0 1

,

( 40

1 − v

1 − v

0

,

0 9 1 − v

0,08 )(

25

0,09 )

0,09

10

0 1

,

ODP = (

5 B

A

15 B

A

5 B

A

1 −

1 ) +

( 2 − 2)+ ( 3 − 3) =







24000

21000

27000(1− 25

v

24000 1 v

0,08 )

( − 25,07) 





= 5

−

+15

−



40

40



40

25

25

40

1 − v

1 v

1 v

1 v

1 v

1 v

0,08

− 0,07 

( − 0,08 )( − 0,09 ) ( − 0,08 )( − 0,07 ) +



 30000(1 25

− v

− v

− v

− v



0,08 )(1

10

0,09 )

33000(1

25

0,07 )(1

10

0,08 )

+ 5

−

(

 ≈

1

40

− v

− v

− v

− v

− v

− v



0,08 )(1

25

0,09 )(1

10

0 1

, )

(1 250,08)(1 400,07)( 1001,1) 57000

1

