18.III.2002
wersja na dzień 19 marca 2002 roku
5.1 Funkcje Green’a poprzez metodę obra-
zów
Rozpatrzmy sferę S o promieniu R ze środkiem w początku układu. Dla ~r 6= 0
określamy przekształcenie inwersji
R 2
~r 7→ ~r∗ =
~r
(5.1)
r 2
Punkty ~r i ~r∗ nazywają się symetrycznymi względem sfery S.
Definicja. Niech funkcja f( ~r) będzie funkcją harmoniczną na zewnątrz sfery S. Przekształceniem Kelvin’a funkcji f nazywamy funkcję R R 2
!
f ∗( ~r∗) =
f
~r∗
r∗
r∗ 2
Bezpośrednim rachunkiem (vide Ćwiczenia treningowe) pokazuje się, że jeśli funkcja f jest harmoniczna na zewnątrz sfery S, to funkcja f ∗( ~r∗) jest harmoniczna wewnątrz sfery S. Zauważmy, że gdy r = R to przekształcenia inwersji i przekształcenie Kelvin’a stają się tożsamościami:
~r∗ = ~r
(5.2)
f ∗( ~r∗) = f ( ~r)
(5.3)
Rozpatrzmy nieruchomy ładunek punktowy q umieszczony w punkcie ~a. W
próżni ładunek ten generuje potencjał elektrostatyczny
q
Φ( ~r) =
(5.4)
|~r − ~a|
24
18.III.2002
25
spełniający równanie
4Φ( ~r) = − 4 qπδ( ~r − ~a) Oznacza to, że wszędzie z wyjątkiem punktu ~r = ~a potencjał spełnia równanie jednorodne
4Φ( ~r) = 0
W szczególności, gdy z początku układu wyprowadzimy sferę o promieniu R, to wszędzie na zewnątrz sfery potencjał będzie spełniał równanie Laplace’a.
Wykonajmy na funkcji Φ przekształcenia Kelvin’a względem naszej sfery.
Otrzymamy w wyniku funkcję
R
q
R
Φ ∗( ~r∗) =
=
(5.5)
r
q
∗ |R 2 ~r∗/r∗ 2 − ~a|
r∗ R 4 /r∗ 2 + a 2 − 2 R 2 a cos θ/r∗
Po przekształceniach otrzymujemy
q R
Φ ∗( ~r∗) = √
(5.6)
a r∗ 2 + a∗ 2 − 2 r∗a∗ cos θ
gdzie
R 2
a∗ = a
jest długością wektora ~a∗ otrzymanego z ~a przekształceniem inwersji wzglę-
dem naszej sfery.
Z ogólnych własności przekształcenia Kelvin’a wynika, że
• funkcja Φ ∗( ~
r) spełnia równanie Laplace’a dla {~r : r < R} czyli wewnątrz sfery
• funkcja Φ ∗( ~
r) jest równa funkcji Φ( ~r) gdy r = R
• punkt ~
a∗ leży na zewnątrz sfery (o ile tylko a < R) Jednocześnie funkcja (5.6) ma postać potencjału elektrostatycznego związa-nego z ładunkiem punktowym qR/a umieszczonym w punkcie ~a∗.
5.1.1 Powierzchnia graniczna – wnętrze sfery
Rozpatrzmy teraz funkcję, która jest różnicą:
Ω( ~r) = Φ( ~r) − Φ ∗( ~r) i zbadajmy jej własności dla r ¬ R. Widać natychmiast, że
18.III.2002
26
• 4Ω = − 4 qπδ( ~
r − ~a)
• Ω( ~
r) |
= 0
r= R
W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja
1
1
R
!
G( ~r, ~a) = −
(5.7)
4
−
π
|~r − ~a|
a |~r − ~a∗|
jest funkcją Green’a rozwiązującą zagadnienie Dirichleta dla sfery o promieniu R. Funkcja ta z dokładnością do czynnika − 1 / 4 π odpowiada potencjało-wi elektrostatycznemu wytworzonemu przez ładunek punktowy umieszczony wewnątrz uziemionej przewodzącej sfery. Potencjał ten przedstawiony jest na rys. (5.1). Sfera o środku w początku układu ma promień R = 2. Ładunek 2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Rysunek 5.1: Przekrój przez powierzchnie ekwipotencjalne punktowego ładunku wewnątrz uziemionej sfery
18.III.2002
27
punktowy umieszczony jest w punkcie o współrzędnych (1 , 0 , 0) . Na rysun-ku przedstawiony jest przekrój powierzchni ekwipotencjalnych płaszczyzną z = 0 . Ponieważ sfera jest uziemiona to na zewnątrz sfery potencjał jest równy zeru.
Widać zatem, że funkcja Green’a G( ~r, ~r 0) (5.7) rozwiązująca zagadnienie Dirichleta dla wnętrza sfery o promieniu R ma postać, która formalnie odpowiada potencjałowi elektrostatycznemu dwóch ładunków punktowych: jeden o ładunku jednostkowym umieszczony wewnątrz sfery w punkcie ~r 0 , ( r 0 < R) i drugi o ładunku −R/r 0 . Ten drugi ładunek (ładunek – obraz, ładunek –
duch) umieszczony jest w punkcie ~r∗ powstałym z z 0
~r 0 przez przekształcenie
inwersji (5.1).
5.1.2 Powierzchnia graniczna – płaszczyzna
Przypadek graniczny promienia sfery R → ∞ odpowiada zagadnieniu, gdy obszarem V jest półprzestrzeń, której jednym brzegiem jest płaszczyzna, na-tomiast pozostała część brzegu znajduje się w nieskończoności. Przy takim przejściu granicznym za stały parametr obieramy odległość ładunku od powierzchni sfery. Odległość tą oznaczamy jako δ : δ = R − a .
Przez δ∗ oznaczmy odległość ładunku–obrazu od powierzchni sfery. Wtedy obliczona z (5.7) odległość r∗ od środka sfery jest równa R + δ∗ i związek (5.7) daje
R 2
R + δ∗ = R − δ
Mamy stąd
Rδ
δ∗ =
,
R − δ
co w granicy R → ∞ daje δ = δ∗.
Również wielkość ładunku–obrazu pozostaje taka sama (co do wartości bezwzględnej):
qR
qR
q∗ =
=
→ q dla R → ∞
a
R − δ
.
18.III.2002
28
5.2 Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 4
Zadanie 1.
Pokazać, że dla przekształcenia inwersji mamy
• ~
r∗∗ = ~r
• rr∗ = R 2
Zadanie 2.
Na wykładzie została wyprowadzona funkcja Green’a dla wnętrza sfery o promieniu R przy założeniu, że środek sfery pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych. Wyznaczyć postać funkcji Green’a jeśli środek sfery znajduje się w punkcie ~
R.
Zadanie 3.
Napisać jawną postać funkcji Green’a dla płaszczyzny.
• Naszkicować powierzchnie ekwipotencjalne oraz linie sił pola elektrycz-nego generowane przez ładunek punktowy znajdujący się w odległości a od uziemionej płaszczyzny przewodzącej.
• Obliczyć gęstość ładunku indukowanego na płaszczyźnie.
• Obliczyć ładunek indukowany na płaszczyźnie zawarty wewnątrz okrę-
gu o promieniu R. Środek okręgu wyznaczony jest przez rzut prosto-padły ładunku na płaszczyznę.
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Zapisać przekształcenie inwersji we współrzędnych sferycznych.
Ćwiczenie 2.
Pokazać, że zachodzi
r 5
4( ~r∗) f∗( ~r∗) =
4f( ~r)
R 5
Ćwiczenie 3.
Otrzymać wynik (5.6) posługując się wyłącznie zapisem wektorowym R
q
Φ( ~r∗) =
,
r∗ |R 2 ~r∗/r∗ 2 − ~a|
tzn. bez rozpisywania wyrażenia na pierwiastek itd. . .
18.III.2002
29
Wskazówka: wykorzystać fakt, że każdy wektor ~b można zapisać jako
~b = b ~nb ,
gdzie
~b
~n =
b
.
b
Potem w przedostatnim kroku trzeba jeszcze coś zauważyć, co wiąże się z własnościami iloczynu skalarnego. Potem jest już z górki.