Pytania z równań różniczkowych prof. Myjak

Pytania teoretyczne:

1. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych problemu Cauchy’ego dla prawych stron lipschitzowskich .

2. Przedłużenie rozwiązań problemu Cauchy’ego.

3. Równanie o zmiennych rozdzielonych (uzasadnienie postępowania).

4. Równanie liniowe (uzasadnienie metody rozwiązywania).

5. Równanie zupełne (uzasadnienie metody rozwiązywania).

6. Równanie różniczkowe n-tego rzędu. Podstawowe własności. Twierdzenie Liouville’a.

7. Równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

a) rozwiązania równania jednorodnego;

b) metoda przewidywań;

c) metoda uzmiennienia stałych.

8. Układy równań różniczkowych liniowych. Rozwiązywanie równań jednorodnych i niejednorodnych.

9. Układy równań różniczkowych liniowych. Twierdzenie Abela

10. Lemat Gronwalle’a.

11. Zależność rozwiązań od warunków początkowych.

12. Przykłady nierówności różniczkowych.

13. Twierdzenia porównawcze.

14. Klasyfikacja punktów krytycznych

15. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Układy liniowe.

16. Równania liniowe z perturbacjami. Stabilność układów nieliniowych. Linearyzacja.

17. Metoda Lapunowa dla układów autonomicznych.

18. Problemy brzegowe. Zagadnienie Sturma-Liouville’a.

19. Równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu (metoda zmiany zmiennych).

20. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych. (Związek między rozwiązaniem równania cząstkowego a całkami pierwszymi układu równań charakterystycznych)

Uwaga: Zdający ma prawo wykreślić zdając na ocenę bardzo dobry - 3 tematy, na ocenę dobry – 6 tematów, na ocenę dostateczny – 10 tematów.

Przede wszystkim trzeba rozumieć o czym się mówi, bez tego nie ma szans zdać!!!

Lepiej zdeklarować się na wyższą ocenę. Ci którzy zdawali na 3 mieli bardzo ciężko, dopytywał się o wszystko. Lepiej pójść na pierwszy ogień, bo później już jest zły i wywala z 2 za byle głupotę.

Jak czegoś nie umiesz lepiej po prostu powiedz, że nie wiesz, zdecydowanie lepiej na tym wyjdziesz niż jak będziesz próbował wymyśleć i będziesz gadał głupoty!!

Pytania dodatkowe, które lubił zadać:

9. Po co wgl dowodzimy tw Abela (odp: po to żeby umieć wyznaczać całkę ogólną układu równań).

15. Na rysunku umieć zinterpretować stabilność rozwiązania.

6. Wnioski z tw Liouville'a.

Dokładnie dziedziny i zbiory wartości wszystkich funkcji! (Skąd dokąd funkcja idzie)