Dzień: czwartek godzina: 12:15 grupa: 1
Wydział Organizacji i Zarządzania semestr III rok akademicki 2004/2005
Kod ćwiczenia
Tytuł ćwiczenia
Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu M-1
na podstawie efektu Dopplera.
ocena _____
Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości rozchodzenia się dźwięku w powietrzu.
Metoda pomiaru:
Przypadek I Obserwator porusza się względem nieruchomego źródła dźwięku.
Częstotliwość fali f jej długości λ oraz prędkość c związane są z zależnością: c
f =
(1)
λ
Podczas zbliżania się z prędkością v do źródła dźwięku, względna prędkość obserwatora źródła wynosi (c+v) stąd częstotliwość sygnału odbieranego przez obserwatora wynosi:
c + v
f
(2)
1 =
λ
I jest wyższa od rzeczywistej. Uwzględniając wzór nr 1 otrzymujemy: c + v
f 1 =
=
1
0
+ v
f
c
c (3)
f 0
Gdy obserwator oddala się od źródła dźwięku z prędkością c, prędkość fali względem niego jest mniejsza (c-v), stąd obserwowana przez niego częstotliwość jest mniejsza od rzeczywistej:
c − v
f 1 =
=
1
0
− v
f
c
c (4)
f 0
Przypadek II Źródło dźwięku porusza się względem nieruchomego obserwatora.
Gdy źródło dźwięku przemieszcza się, ulega przesunięciu środek drgań.
Długość fali będąca odległością pomiędzy kolejnymi zagęszczeniami powietrza w kierunku ruchu źródła zmniejsza się a w kierunku przeciwnym wzrasta.
Częstotliwości związane ze zmienionymi długościami fal wynoszą odpowiednio:
Przy zbliżaniu się źródła:
c
c
f
f 3 =
=
=
0
λ
c − v
v
1− (5)
f
c
0
Przy oddalaniu się źródła:
c
c
f
f 4 =
=
=
0
λ
c + v
v
1+ (6)
f
c
0
v
Przy założeniu
< < 1 zależność odbieranego sygnału od prędkości przemieszczania źródła c
dźwięku jest funkcją liniową (co widać na wykresie) wyrażoną wzorem : f ( v)
f 0
=
v + f 0
c
o współczynniku nachylenia:
f
a
0
=
,
c
a więc prędkość dźwięku w powietrzu wynosi: f
c
0
= a
Opracowanie wyników pomiarów: Tabela nr 1 pomiarów prędkości i częstotliwości wagonika poruszającego się w dwóch kierunkach.
Prędkość [m/s]
minimalna
pośrednia
V=0
Kierunek ruchu
„+” zbliżanie
+
-
+
-
„-„ oddalanie
0,088
0,109
0,182
0,190
0
Numer
2
0,098
0,108
0,170
0,193
0
pomiaru
3
0,093
0,107
0,167
0,190
0
4
0,091
0,108
0,172
0,188
0
Częstotliwość [Hz]
F0
1
15833
15823
15838
15822
15828
Numer
2
15830
15823
15837
15806
15829
pomiaru
3
15829
15822
15837
15815
15829
4
15831
15823
15836
15818
15829
Wyznaczam wartości średnie prędkości ze wzoru:
∑ v
v
i
=
,
śr
n
gdzie:
vśr - prędkość średnia, vi – prędkości z pomiarów, n – liczba pomiarów
• Prędkość minimalna przy zbliżaniu się wagonika do obserwatora m
m
v =
0925
,
0
≈ ,
0 093
śr
s
s
• Prędkość minimalna przy oddalaniu się wagonika do obserwatora m
v = 108
,
0
śr
s
• Prędkość pośrednia przy zbliżaniu się wagonika do obserwatora m
m
v = 17275
,
0
= 173
,
0
śr
s
s
• Prędkość pośrednia przy oddalaniu się wagonika do obserwatora m
m
v = 19025
,
0
= 190
,
0
śr
s
s
Wyznaczam średnie częstotliwości poruszającego się wagonika ze wzoru:
f
i
=
,
śr
n
gdzie:
f - średnia częstotliwość, śr
f - częstotliwość uzyskana z pomiaru, i
n – liczba pomiarów.
• Częstotliwość odpowiadająca prędkości minimalnej zbliżającego się wagonika f =
75
,
15830
Hz ≈
Hz
15831
śr
• Częstotliwość odpowiadająca prędkości minimalnej oddalającego się wagonika f =
75
,
15822
Hz ≈ 15823 Hz
śr
• Częstotliwość odpowiadająca prędkości pośredniej zbliżającego się wagonika f = 15837 Hz
śr
• Częstotliwość odpowiadająca prędkości pośredniej oddalającego się wagonika f =
,
15815 25 Hz ≈ 15815 Hz śr
Wyznaczam średnią częstotliwość sygnału dla nieruchomego źródła (V=0).
f =
,
15828 75 Hz ≈ 15829 Hz 0
Tabela nr 2 zestawienia wyników.
Wartości średnie
Prędkość
minimalna
pośrednia
+
-
+
-
Prędkości oblicz.
[m/s]
0,093
0,108
0,173
0,190
Częstotliwości
oblicz. [Hz]
15831
15823
15837
15815
Korzystając z uzyskanych średnich oraz znajomości częstotliwości dla prędkości równej zeru rysujemy wykres zależności częstotliwości odbieranego sygnału od prędkości źródła dźwięku.
Wykres zależności częstotliwości odbieranego sygnału od prędkości źródła dźwięku 15838
15836
15834
15832
f [Hz] 15830
15828
15826
0
0,05
0,1
0,15
0,2
V [m/s]
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej: y = ax + b
f ( v)
f 0
=
v + f 0
c
Zatem:
f
1
1
a
0
=
=
,
45 6175
≈
,
45 62 ,
c
m
m
b =
,
15828 21665 Hz ≈ 15828 Hz a więc prędkość dźwięku w powietrzu wynosi: f
m
m
c
0
=
=
99403
,
346
≈ 347
a
s
s
Rachunek błędów: Błąd wyznaczenia wartości współczynnika a i b 1
1
∆ a =
90714
,
16
≈
91
,
16
m
m
∆ b = 91279
,
1
Hz = 2 Hz
Wyznaczam błąd bezwzględny i względny dotyczący częstotliwości
• bezwzględny
f
v
∆ f
0
=
− f 1+ = 001526
,
0
Hz ≈ ,
0 002 Hz
v
0
c
1
− c
• względny
∆ f
− 6
= 126
,
0
⋅ 10
f 0
Wyznaczam błąd bezwzględny popełniany przy wyznaczaniu prędkości dźwięku ze wzoru:
∆ f
∆ a
m
m
∆ c = c
0 +
=
,
128 6227
≈ 129
f
a
s
s
0
Przedstawienie wyniku ostatecznego:
= (347 ±
) m
c
129 s
Wnioski:
Wartość prędkości dźwięku w powietrzu otrzymana podczas doświadczenia (347 m/s) jest bardzo zbliżona do wartości tej prędkości odczytanej z tablic (343 m/s). Niestety błąd jest bardzo duży w stosunku do samej wartości, co może wynikać z faktu, że posiadałyśmy niewielką ilość pomiarów do obliczeń, co wpłynęło na niezbyt dużą dokładność. Poza tym podczas ćwiczenia miałyśmy problem ze zmierzeniem prędkości wózka, gdyż bateria była bardzo słaba, co sprawiało, że odczytane wartości mogły być zakłamane.