Z PODSTAW METROLOGII I TECHNIKI EKSPERYMENTU
TEMAT: ROZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A 1. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia było sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz graficzne przedstawienie wyników w raz z ich interpretacją.
2. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach.
Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to rodzina nieskończenie wielu rozkładów, definiowanych dwoma parametrami: średnią (odpowiada za położenie rozkładu) i odchyleniem standardowym (skala).
Funkcja Gaussa, nazywana funkcją gęstości prawdopodobieństwa, ma postać:
1
2
2
− ( x− X ) / 2
f ( x)
σ
=
e
σ 2π
gdzie:
X – wartość prawdziwa (środek rozkładu), σ – szerokość rozkładu.
Standardowy rozkład normalny to rozkład normalny ze średnią zero i odchyleniem standardowym jeden. Ponieważ wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego przypomina dzwon, często nazywa się go krzywą dzwonową.
Histogram to zestawienie danych statystycznych w postaci wykresu powierzchniowego złożonego z przylegających do siebie słupków (prostokątów), których wysokość ilustruje liczebność występowania badanej cechy w populacji lub jej próbie, a podstawy (które spoczywają na osi odciętych) są rozpiętościami przedziałów klasowych. Taki sposób konstrukcji histogramu jest stosowany wówczas, kiedy przedziały szeregu rozdzielczego są równe. Jeżeli szereg ma nierówne przedziały, to wysokość prostokątów jest określona przez wskaźniki natężenia liczebności (częstości) odpowiadające poszczególnym klasom.
3. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZENIA
Lp.
σ
t ± σ
1
15,3
-0,66
0,430
0,12
15,18-15,42
2
15,6
-0,36
0,130
0,07
15,53-15,67
3
15,7
-0,26
0,070
0,05
15,65-15,75
4
15,7
-0,26
0,070
0,05
15,65-15,75
5
15,8
-0,16
0,026
0,03
15,77-15,83
6
15,8
-0,16
0,026
0,03
15,77-15,83
7
15,8
-0,16
0,026
0,03
15,77-15,83
8
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
9
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
10
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
11
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
12
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
13
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
14
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
15
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
16
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
17
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
18
15,9
-0,06
0,004
0,01
15,89-15,91
19
16
0,04
0,002
0,01
15,99-16,01
20
16
0,04
0,002
0,01
15,99-16,01
21
16
0,04
0,002
0,01
15,99-16,01
22
16
0,04
0,002
0,01
15,99-16,01
23
16
0,04
0,002
0,01
15,99-16,01
24
16,1
0,14
0,020
0,03
16,07-16,13
25
16,1
0,14
0,020
0,03
16,07-16,13
26
16,1
0,14
0,020
0,03
16,07-16,13
27
16,2
0,24
0,580
0,14
16,06-16,34
28
16,3
0,34
0,116
0,07
16,23-16,37
29
16,6
0,64
0,410
0,12
16,48-16,72
30
16,7
0,74
0,550
0,14
16,56-16,84
t
15,96
Σ
478,7
2,548
Wartość średnia czasu t:
1
tśr= ∑ t (15,3+15,6+…+16,7)/30 ≈ 15,96 s i =
n
odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru (szerokość funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru):
∑ ( t
3
,
15
(
−
)
96
,
15
2 +
6
,
15
(
−
9
,
15 6)2 + ...+
7
,
16
(
−
)
96
,
15
2
i − t )2
σ =
śr
=
≈ 0,29 s
n − 1
30 − 1
niepewność standardowa średniej czasu t (szerokość funkcji Gaussa dla średniej z pomiarów): (
∑ t
3
,
15
(
−
)
96
,
15
2 +
6
,
15
(
−
9
,
15 6)2 + ...+
7
,
16
(
−
)
96
,
15
2
i − t )2
u(t
śr
śr)=
=
≈ 0,054 s
(
n n − )
1
30
(
30
− )
1
4. WYKRESY
Wykres pomiarów uporządkowany rosnąco:
ts
17
16,5
16
s
cza
15,5
t
15
14,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ilość pomiarów
Wartość prawdziwa
12
X
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
15,3 15,6 15,7 15,8 15,9 16 16,1 16,2 16,3 16,6 16,7
Histogram otrzymanych wyników pomiarowych z przyjętym przedziałem na osi czasu δt=0,2 s i zaznaczony wynikiem prawdziwym X=x.
Zatem wyniki prawdziwy będzie wynosił : X=x ± σ
15,96 ± 0,30 s
a dla wielokrotnie powtarzanego wyniku X=x ± σx
0,3
=
=
=0,05 s
x
30 30
15,96 ± 0,05 s
σ=0,30 2σ=0,60 3σ=0,90
X±3σ=15,06-16,86 potrójne odchylenie standardowe prawdopodobieństwo, że niepewność pomiaru zawiera się w tych granicach jest większe od 99,7% w praktyce odchylenie maksymalne.
X±2σ=15,36-16,56 podwójne odchylenie standardowe prawdopodobieństwo, że niepewność pomiaru zawiera się w tych granicach wynosi ok. 95,5% .
X±σ=15,66-16,26 odchylenie standardowe prawdopodobieństwo, że niepewność pomiaru zawiera się w tych granicach wynosi ok. 68,5% .
Pomiar czasu był odczytywany bezpośrednio ze stopera. Wyniki pomiarów mogą być różnie interpretowane przez każdego eksperymentatora, co wynika z indywidualnych możliwości oka i ograniczonego czasu reakcji. Pomijamy błąd urządzenia, ponieważ główną przyczyną błędnego odczytu jest sam człowiek. Tak więc błąd który popełniliśmy jest właściwie nie do wyznaczenia.
Przy bezpośrednim pomiarze istotna była ilość tych pomiarów, należało wykonać ich jak najwięcej. Im więcej pomiarów, tym bardziej szczegółowy wykres histogramu, tym precyzyjniejszy wykres funkcji Gaussa. W przypadku moich pomiarów, nie było zbyt wielkiej różnorodności. Wiele wyników się pokrywało. Przez to histogram nie jest zbyt szczegółowy, ani nie jest rozłożony symetrycznie, jakby się można było tego spodziewać. W związku z czym trudno było wyznaczyć graficznie funkcję Gaussa.