e i nazwisko: ....................................................................
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
1.
W badania przeprowadzonych w ostatnich latach w Wietnamie rozwa·
zano grup ¾
e
100000 noworodków. Wyniki badań dotycz ¾
ace prze·
zywalności populacji w Wietnamie uleg÷
y
jednak cz ¾
eściowemu zniszczeniu i zachowa÷
y si ¾
e jedynie nast ¾
epuj ¾
ace informacje: l69 = 55550,
q69 = 0; 04, l71 = 45000, p0 = 0; 9732, l99 = 564, q100 = 0; 25. Wiadomo równie·
z, ·
ze w populacji
tej prawdziwe jest za÷
o·
zenie o jednostajnym rozk÷
adzie zgonów w ci ¾
agu roku. Rozstrzygnij, czy
na podstawie zachowanych informacji mo·
zna obliczyć median ¾
e zmiennej losowej T (1), a jeśli tak, to wyznacz j ¾
a. Odpowiedź podaj z dok÷
adności ¾
a do trzech miejsc po przecinku.
2.
Grupa pakistańskich demografów przeprowadzi÷
a badania w pó÷
nocnych Chinach
chc ¾
ac zebrać informacje o prze·
zywalności Mongo÷
ów oraz Daurów oraz wzajemne powi ¾
azanie
pomi ¾
edzy d÷
ugości ¾
a trwania ·
zycia w tych populacjach.
Po pi ¾
eciu latach wyt ¾
e·
zonej pracy
naukowcy ustalili, ·
ze czas trwania ·
zycia Mongo÷
ów najlepiej aproksymuje zmienna losowa T1 o rozk÷
adzie normalnym z parametrami (60; 102), zaś zmienna losowa T2 z rozk÷
adu
normalnego z parametrami (70; 122) jest dobr ¾
a aproksymacj ¾
a d÷
ugości trwania ·
zycia Daurów.
Uda÷
o si ¾
e ponadto ustalić, ·
ze czynniki środowiskowe (np.
zmiany temperatury, kl ¾
eski
·
zywio÷
owe) nie maj ¾
a wp÷
ywu na wymieralność w obydwu populacjach, zaś d÷
ugości trwania
·
zycia osób z ró·
znych populacji urodzonych tego samego dnia s ¾
a nieskorelowane.
Oblicz
prawdopodobieństwo P (40 < T1
50jT2 > 50).
Przy obliczeniach przydatne mog ¾
a być
wartości dystrybuanty standardowego rozk÷
adu normalnego:
x
0; 0
0; 2
0; 4
0; 6
0; 8
1; 0
1; 2
1; 4
1; 6
1; 8
2; 0
.
(x)
0; 500
0; 579
0; 655
0; 726
0; 788
0; 841
0; 885
0; 919
0; 945
0; 964
0; 977
3.
Powszechnie wiadomo, ·
ze populacja Irakijek charakteryzuje si ¾
e wymieralności ¾
a de
Moivre’a z wiekiem granicznym ! = 80.
M ¾
a·
z trzydziestoletniej Irakijki rozwa·
za zakup
bezterminowego ubezpieczenia na ·
zycie wyp÷
acaj ¾
acego świadczenie w wysokości t 30 w chwili
śmierci, je·
zeli jego ·
zona umrze w wieku t lat. Oblicz sk÷
adk¾
e jednorazow ¾
a netto dla tego
ubezpieczenia wiedz ¾
ac, ·
ze i = 6%. Odpowiedź podaj z dok÷
adności ¾
a do trzech miejsc po
przecinku.
4. Su÷
tan Brunei zdecydowa÷si ¾
e na zakup ubezpieczenia na ca÷
e ·
zycie, które w chwili śmierci
gwarantuje wyp÷
at ¾
e w wysokości miliarda dolarów jego ·
zonie. Pewna znana azjatycka …rma ubezpieczeniowa pobra÷
a sk÷
adk¾
e za to ubezpieczenie w taki sposób, ·
ze z prawdopodobieństwem
0; 95 ma ona pokryć przysz÷
e świadczenia. Ustalono ponadto, ·
ze w÷
adca Brunei nale·
zy do
populacji o wyk÷
adniczym czasie trwania ·
zycie z
= 0; 04. Oblicz jak ¾
a sk÷
adk¾
e pobra÷
a …rma
x
ubezpieczeniowa, je·
zeli
= 5%. Odpowiedź podaj w postaci liczby ca÷
kowitej.
5. Japońscy uczeni odkryli, ·
ze dla m ¾
e·
zczyzn w wieku 25 lat mieszkaj ¾
acych na wyspie
Honsiu, zmienna losowa K (25) = [T (25)], b ¾
ed ¾
aca skróconym przysz÷
ym czasem ·
zycia, daje si ¾
e
aproksymować rozk÷
adem Poissona z wartości ¾
a oczekiwan ¾
a 50. Pewien dwudziestopi ¾
ecioletni
mieszkaniec zamieszkuj ¾
acy Honsiu rozwa·
za zakup bezterminowej renty ·
zyciowej wyp÷
acaj ¾
acej
10000 jenów na pocz ¾
atku ka·
zdego roku. Wyznacz wartość obecn ¾
a tej renty, je·
zeli d = 5%.
Odpowiedź podaj w postaci liczby ca÷
kowitej.
1