Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1

Część VIIIA. Kinetyczna teoria gazów — równanie stanu gazu, rozkład Maxwella, zasada ekwipartycji energii

VIIIA.1) Oszacuj średnią odległość D między cząsteczkami w gazie doskonałym znajdującym się w warunkach normalnych. Określ w przybliżeniu, ile razy tzw. objętość swobodna, tj. objętość, w której czasteczka może się poruszać, jest większa od objętości cząsteczki gazu. Jeden mol gazu doskonałego w warunkach normalnych zajmuje objętość V 0 = 22 , 4 dm3, a średnica cząsteczki dwuatomowego gazu wynosi w przybliżeniu d = 3 · 10 − 10 m.

VIIIA.2) W temperaturze t = 100 ◦ C ciśnienie nasyconej pary wodnej wynosi p = 105 Pa. Obliczyć średnią odległość między cząsteczkami pary wodnej w tych warunkach.

VIIIA.3) Równoległa wiązka cząsteczek wodoru o prędkości v = 103 m/s pa-da na ściankę naczynia pod kątem α = 30 ◦ względem normalnej. Zakładając, że zderzenia cząsteczek ze ścianką są doskonale sprężyste, obliczyć ciśnienie wywierane przez gaz na ściankę. Przyjąć koncentrację cząsteczek w wiązce n 0 = 1026 m − 3, masę cząsteczki wodoru m = 3 , 34 · 10 − 27 kg.

VIIIA.4) W naczyniu znajduje się gaz, którego gęstość wynosi ρ. Przyjmu-jąc, że cząsteczki gazu poruszają się z jednakową prędkością v we wszystkich kierunkach, obliczyć ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia.

VIIIA.5) Opierając się na rozkładzie Maxwella wyznacz: a) prędkość najbardziej prawdopodobną, b) prędkość średnią, c) prędkość średnią kwadratową oraz d) średnią energię kinetyczną cząsteczek wodoru w temperaturze T = 300 K.

VIIIA.6) Oblicz względną liczbę cząsteczek tlenu, których prędkości różnią się od prędkości najbardziej prawdopodobnej nie więcej, niż o ∆ v = 10 m/s.

Temperatura gazu T = 300 K.

VIIIA.7) Znaleźć stosunek liczby cząsteczek wodoru, których prędkości leżą w przedziale od v 1 = 1000 m/s do v 1 + ∆ v = 1010 m/s, do liczby cząsteczek, 1

których prędkości leżą w przedziale od v 2 = 2000 m/s do v 2 + ∆ v = 2010

m/s. Temperatura wodoru wynosi T = 300 K.

VIIIA.8) Obliczyć, jaki procent cząsteczek gazu ma prędkości zawarte w za-kresie między prędkością najbardziej prawdopodobną a prędkością średnią kwadratową. Posłużyć się przybliżoną metodą całkowania funkcji rozkładu Maxwella, zastępując pole pod krzywą polem trapezu.

VIIIA.9) Korzystając z rozkładu Maxwella wyprowadzić wzór, określający rozkład energii kinetycznej cząsteczek gazu doskonałego. Znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość energii cząsteczek gazu.

VIIIA.10) Oblicz koncentrację cząsteczek tlenu pod ciśnieniem p = 97 kPa, jeśli prędkość średnia kwadratowa cząsteczek w tych warunkach wynosi vm =

600 m/s.

VIIIA.11) Znaleźć w danej temperaturze stosunek średniej prędkości kwa-dratowej cząsteczki gazu doskonałego do prędkości rozchodzenia się dźwięku w tym gazie. Przyjąć, że gaz składa się z cząsteczek: a) jednoatomowych, b) dwuatomowych.

VIIIA.12) W naczyniu znajduje się wodór o masie m = 10 − 2 kg i temperaturze t = 27 ◦ C. Obliczyć energię ruchu postępowego i energię ruchu obrotowego wszystkich cząsteczek wodoru.

VIIIA.13) Dwa izolowane cieplnie naczynia połączone są ze sobą krótką rurką z kranem. W naczyniach tych znajdują się dwa różne gazy w odmien-nych warunkach. Znane są następujące wielkości: objętości naczyń V 1 i V 2, temperatury T 1 i T 2, liczby kilomoli n 1 i n 2, oraz liczba stopni swobody i 1 i i 2 czasteczki każdego gazu. W pewnej chwili otwarto kran i gazy wymieszały się. Znaleźć temperaturę T i ciśnienie p tak powstałej mieszaniny.

Odpowiedzi

q

VIIIA.1) D = 3 V 0 = 3 , 34 · 10 − 9 m, Vsw ≈ 6 V 0 = 2631.

NA

Vcz

πNAd 3

q

VIIIA.2) D = 3 kT = 3 , 72 · 10 − 9 m.

p

VIIIA.3) p = 2 n 0 mv 2 cos2 α ≈ 500 kPa.

2

VIIIA.4) p = 1 ρv 2.

3

q

q

VIIIA.5) a) v

2 RT

8 RT

p =

= 1575 m/s, b) ¯

v =

= 1777 m/s,

µ

πµ

q

c) v

3 RT

m =

= 1928 m/s, d) ¯

E

kT = 6 , 21 · 10 − 21 J.

µ

k = 3

2

q

VIIIA.6) ∆ N = 8∆ v

µ

= 0 , 042.

N

e

2 πRT

2

µ

VIIIA.7) ∆ N 1 = v 1

e

( v 2 −v 2)

2 RT

2

1

= 0 , 838.

∆ N 2

v 2

q

3

VIIIA.8) ∆ N ≈ 2

3 − 1

3 e − 2 + e − 1 = 17 , 8%

N

1

π

2

2

2

(dokładna wartość ∆ N = 18 , 1%).

N

1

E

VIIIA.9) F ( E) =

2 E 2

e − kT , E

kT .

1

3

kp = 1

π

2

2 ( kT ) 2

VIIIA.10) n 0 = 3 NAp = 1 , 52 · 1025 m − 3.

µv 2

m

q

VIIIA.11) vm =

3 , a) vm = 1 , 34, b) vm = 1 , 46.

vdź

κ

vdź

vdź

VIIIA.12) Upost = 3 mRT = 18 , 7 kJ, U

= 12 , 5 kJ.

2 µ

obr = ( i− 3) mRT

2 µ

VIIIA.13) T = n 1 i 1 T 1+ n 2 i 2 T 2 , p = n 1+ n 2 RT .

n 1 i 1+ n 2 i 2

V 1+ V 2

Wzory

1. Stałe

a) liczba Avogadro:

NA = 6 , 0225 · 1026 kmol − 1 , b) stała Boltzmanna:

R

k =

= 1 , 380 · 10 − 23 J / K

NA

2. Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazów:

2

pV = NE

3

k

3

3. Rozkład Maxwella (rys. 1):

∆ N = Nf ( v) ∆ v,

gdzie:

3

4

!

m 2

mv 2

f ( v) =

v 2 exp −

1

π 2

2 kT

2 kT

4. Całki:

1

Z

∞

1 π 2

e −ax 2d x =

, a > 0 ,

0

2

a

Z

∞

1

x e −ax 2d x =

, a > 0 ,

0

2 a

Z

∞

n − 1 Z ∞

xn e −ax 2d x =

xn− 2e −ax 2d x, n > 1 , a > 0

0

2 a

0

5. Energia kinetyczna cząsteczki gazu:

i

Ek = kT,

2

gdzie i — liczba stopni swobody cząsteczki (rys. 2): l

1

2 ­ 3

i

3

5

6

l — liczba atomów w cząsteczce

6. Ciepło właściwe gazów:

i

Cv = R,

2

i + 2

Cp =

R,

2

i + 2

κ =

i

4

Rysunek 1:

Rysunek 2:

5