Definicja 1. Niech dany będzie zbiór
D = {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n}
(D = {(i, k) : i = 1, 2, ..., m, k = 1, 2, ..., n}) gdzie m, n ∈ N. Każdą funkcję f odzorowującą zbiór D w zbiór R nazywamy macierzą o wymiarach m × n, przy czym dla każdego (i, k) ∈ D, wartość funkcji f w tym punkcie, f ((i, k)) nazywamy elementem tej macierzy.
Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu
A, B, ..., a ich elementy
A((i, k)) = aik
B((i, k)) = bik, ...
Macierz A zapisujemy podając jej wartości w
postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach w ten sposób, że wartość aik umieszczamy w i-tym wierszu i k-tej kolumnie:
a11 a12 ... a1n
a
21
a22 ... a2n
...
...
...
...
am1 am2 ... amn
1
Macierz o m wierszach i n kolumnach będziemy zapisywać
a11 a12 ... a1n
a
A
21
a22 ... a2n
m×n = ...
...
...
...
am1 am2 ... amn
lub krótko
Am×n = [aik]m×n.
Liczbę wierszy i kolumn danej macierzy nazy-
wamy jej wymiarem. Jeśli mówimy, że macierz
jest o wymiarach m na n, to znaczy, że ma m
wierszy i n kolumn.
2
Macierz kwadratowa.
Macierzą kwadratową nazywamy taką macierz
w której liczby kolumn i wierszy są równe.
Wówczas wspólną liczbę kolumn i wierszy
nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.
a11 a12 ... a1n
a
A
21
a22 ... a2n
n×n = ... ... ... ...
an1 an2 ... ann
Powyższa macierz jest macierzą kwadratową
stopnia n.
Wyrazy macierzy kwadratowej An×n,
a11, a22, ..., ann
nazywamy główną przekątną tej macierzy.
3
Macierz kwadratową której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są równe 1, a
pozostałe elementy są równe zero nazywamy
macierzą jednostkową i oznaczamy literą I.
Macierz
1 0 0 0
0 1 0 0
I
4×4 = 0 0 1 0
0 0 0 1
jest macierzą jednostkową czwartego
stopnia.
Macierz zerowa
Każdą macierz której wszystkie elementy są
zerami nazywamy macierzą zerową i oznaczamy
literą O.
Macierz
0 0 0 0
O2×4 =
0 0 0 0
jest macierzą zerową o wymiarach 2 na 4.
4
Macierz, którą uzyskujemy z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności nazywamy macierzą transponowaną
i oznaczamy AT.
Dla macierzy
1 2 3
A2×3 =
0 1 2
macierz
1 0
AT
=
2 1
3×2
3 2
Zauważmy, że jeśli macierz była o wymiarach
m × n, to macierz do niej transponowana ma
wymiary n × m.
5
Macierz kwadratową stopnia n nazywamy trójkątną jeśli jest postaci:
a11
0
0
...
0
a21 a22
0
...
0
A
n×n =
a31 a32 a33 ...
0
...
...
... ...
...
an1 an2 an3 ... ann
lub
a11 a12 a13 ... a1n
0
a22 a23 ... a2n
A
n×n =
0
0
a33 ... a3n
...
...
... ...
0
0
0
... ann
6
Definicja 2. Dwie macierze
Am×n = [aij]m×n i Bm×n = [bij]m×n
nazywamy równymi (co zapisujemy Am×n = Bm×n) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
(i, j) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n},
aij = bij.
Uwaga: Dwie macierze równe są zawsze tych
samych wymiarów, tzn. mają taką samą ilość
wierszy i kolumn.
Definicja 3. Sumą dwóch macierzy
Am×n = [aij]m×n i Bm×n = [bij]m×n
jest macierz Cm×n = [cij]m×n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (i, j) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n}
cij = aij + bij.
Piszemy wtedy Cm×n = Am×n + Bm×n.
Uwaga: Dodajemy tylko macierze tych samych
wymiarów.
7
Definicja 4. Różnicą dwóch macierzy Am×n = [aij]m×n i Bm×n = [bij]m×n
jest macierz Cm×n = [cij]m×n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (i, j) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n}
cij = aij − bij.
Piszemy wtedy Cm×n = Am×n − Bm×n.
Uwaga: Odejmujemy tylko macierze tych samych wymiarów.
Definicja 5. Iloczynem macierzy Am×n = [aij]m×n przez liczbę t ∈ R jest macierz Cm×n = [cij]m×n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
(i, j) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n},
cij = taij.
Piszemy wtedy Cm×n = t · Am×n.
8
Niech Dm×n będzie rodziną wszystkich macierzy o wymiarach m × n.
Twierdzenie 6.
Prawdziwe są następujące własności:
Przemienność dodawania.
dla każdych A ∈ Dm×n i B ∈ Dm×n,
A + B = B + A,
Łączność dodawania.
dla każdych A ∈ Dm×n, B ∈ Dm×n i C ∈ Dm×n,
(A + B) + C = A + (B + C),
Związek dodawania z macierzą zerową.
dla każdej macierzy A ∈ Dm×n,
A + Om×n = A,
Istnienie macierzy przeciwnej.
dla każdej macierzy A ∈ Dm×n istnieje macierz B ∈ Dm×n taka, że
A + B = Om×n.
9
Twierdzenie 7. Niech A ∈ Dm×n i B ∈ Dm×n.
Wówczas
1. A + (−1)B = A − B,
2. A + (−1)A = Om×n,
3. dla każdego t ∈ R,
t(A + B) = tA + tB oraz t(A − B) = tA − tB.
Definicja 8. Iloczynem dwóch macierzy
Am×s = [aij]m×s i Bs×n = [bij]s×n
jest macierz Cm×n = [cij]m×n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (i, j) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n}, cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aisbsj.
Piszemy wtedy Cm×n = Am×s · Bs×n.
Uwaga Macierz A można pomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy ilość kolumn macierzy A
jest równa ilości wierszy macierzy B. Wówczas macierz C = A · B ma tyle samo wierszy co
macierz A i tyle samo kolumn co macierz B.
10
Twierdzenie 9. Niech A ∈ Dn×n, B ∈ Dn×n i C ∈ Dn×n. Wówczas
1. A · (B + C) = A · B + A · C,
2. A · (B · C) = (A · B) · C,
3. A · In×n = In×n · A = A.
11
Definicja 10. Niech dana będzie macierz kwadratowa stopnia n:
a11 a12 ... a1n
a
A
21
a22 ... a2n
n×n = ... ... ... ...
an1 an2 ... ann
Wyznacznikiem tej macierzy nazywamy liczbę
detA określoną rekurencyjnie
1. Jeżeli n = 1, to detA = a11.
2. Jeżeli n > 1, to
detA = a11W11−a12W12+...+(−1)1+na1nW1n,
gdzie W1j dla każdego j ∈ {1, 2, ..., n},
oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z
macierzy A przez pominięcie pierwszego
wiersza i j-tej kolumny.
Dla macierzy A zamiast detA możemy pisać
a11 a12 ... a1n
a
detA =
21
a22 ... a2n
...
... ...
...
a
n1 an2 ... ann
12
1. Wyznaczniki macierzy danej i macierzy do
niej transponowanej są równe.
2. Jeżeli macierz A powstała z macierzy B poprzez przestawienie dwóch wierszy, to
detA = − detB.
3. Jeżeli macierz A powstała z macierzy B poprzez przestawienie dwóch kolumn, to
detA = − detB.
4. Jeżeli macierz A powstała z macierzy B poprzez pomnożenie elementów pewnego wiersza macierzy B przez liczbę rzeczywistą t, to
A = t · detB.
5. Jeżeli macierz A powstała z macierzy B poprzez pomnożenie elementów pewnej kolumny macierzy B przez liczbę rzeczywistą t, to
A = t · detB.
13
6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza macierzy są zerami, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
7. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny
macierzy są zerami, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
8. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza macierzy są proporcjonalne ( w szczególności równe) do elementów innego wiersza tej macierzy, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
9. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny
macierzy są proporcjonalne ( w szczególności równe) do elementów innej kolumny tej macierzy, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.
14
10. Jeżeli do elementów pewnego wiersza macierzy dodamy elementy innego wiersza tej macierzy
pomnożone przez liczbę rzeczywistą t, to wartość wyznacznika otrzymanej macierzy nie zmieni
się.
11. Jeżeli do elementów pewnej kolumny macierzy dodamy elementy innej kolumny tej macierzy
pomnożone przez liczbę rzeczywistą t, to wartość wyznacznika otrzymanej macierzy nie zmieni
się.
12. Jeżeli macierz jest macierzą trójkątną to wyznacznik tej macierzy jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej.
Definicja 11. Macierz kwadratową nazywamy
nieosobliwą jeżeli wyznacznik tej macierzy jest różny od zera.
W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz
jest osobliwa.
15
Definicja 12. Niech An×n będzie dowolną macierzą stopnia n oraz (i, j) ∈ {1, ..., n}×{1, ..., n}. Dopełnie-niem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
W? = (−1)i+jW
ij
ij,
gdzie Wij oznacza wyznacznik macierzy otrzy-
manej z macierzy A przez pominięcie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
Definicja 13. Macierzą odwrotną do macierzy A (o ile istnieje) nazywamy macierz A−1 taką, że A · A−1 = A−1 · A = I.
Uwaga 1. Macierze odwrotne mogą istnieć tylko dla macierzy kwadratowej.
Uwaga 2. Macierz odwrotna jeśli istnieje, to jest tego samego stopnia co macierz dana.
Twierdzenie 14. Jeżeli macierz kwadratowa An×n jest nieosobliwa, to istnieje dokładnie jedna macierz do niej odwrotna A−1
n×n i
W? T
ij
A−1 =
.
n×n
detA n×n
16
Niech Ln oznacza rodzinę wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n, nieosobliwych.
Twierdzenie 15. Prawdziwe są następujące włas-ności:
Łączność mnożenia.
dla każdych A ∈ Ln, B ∈ Ln i C ∈ Ln,
(A · B) · C = A · (B · C),
Związek mnożenia z macierzą jednostkową.
dla każdej macierzy A ∈ Ln,
A · In×n = In×n · A = A,
Istnienie macierzy odwrotnej.
dla każdej macierzy A ∈ Ln istnieje macierz
B ∈ Ln taka, że
A · B = B · A = In×n.
17
Definicja 16. Jeżeli z macierzy A o wymiarach m × n po pominięciu pewnej liczby kolumn i
pewnej liczby wierszy utworzymy macierz kwadratową stopnia
k ≤ min{m, n},
to wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazy-
wamy minorem stopnia k macierzy A.
Definicja 17. Mówimy, że rząd macierzy
Am×n = [aik]m×n
jest równy r (co zapisujemy Rz(A) = r), gdy
istnieje minor stopnia r tej macierzy różny od zera, a wszystkie minory stopnia wyższego (o ile takie istnieją) są równe zero. Przyjmujemy do-datkowo, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru.
Z powyższego wynika, że dla macierzy Am×n,
0 ≤ Rz(A) ≤ min{m, n}.
18
Twierdzenie 18. Jeżeli w macierzy wykonamy następu-jące czynności:
1. zamienimy wiersze na kolumny (transponu-
jemy macierz),
2. przedstawimy dwa wiersze miejscami,
3. przedstawimy dwie kolumny miejscami,
4. pomnożymy elementy pewnego wiersza przez
tę samą liczbę, różną od zera,
5. pomnożymy elementy pewnej kolumny przez
tę samą liczbę, różną od zera,
6. do elementów pewnego wiersza dodamy
elementy innego wiersza pomnożone przez tę
samą liczbę,
7. do elementów pewnej koluumny dodamy
elementy innej kolumny pomnożone przez tę
samą liczbę,
8. pominiemy wiersz złożony z samych zer,
9. pominiemy kolumnę złożoną z samych zer,
to rząd macierzy nie zmieni się.
19