UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
METODĄ SIŁ.
Dany łuk statycznie niewyznaczalny: Dobieram układ podstawowy: Układ równań kanonicznych:
δ
X
δ
X
δ
11 ⋅
1 +
12 ⋅
2 +
1 P = 0
δ
X
δ
X
δ
21 ⋅
1 +
22 ⋅
2 +
2 P = 0
M M
δ
ds
ik
∑ ∫ i ⋅
=
k
EI cosϕ
S
∆
M
M ds
iP
∑ ∫ P ⋅
=
i
EI cosϕ
S
1
Pomijam wpływ T i N zgodnie z warunkiem f ≤ l 5
Politechnika Poznańska
UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
Obliczam równanie paraboli: 2
y = 84
,
0
⋅ x − 042
,
0
⋅ x
Wykorzystuję równanie aby znaleźć zależność zmiany kąta co pozwoli na zamianę całki po długości łuku na całkę po wartościach x: dy = tanϕ = − 084
,
0
⋅ x + 84
,
0
dx
dx
ds =
cosϕ
Zamieniam całkę po długości łuku s na całkę po długości poziomej x: M M
δ
ds
ik
∑ ∫ i ⋅
=
k
EA
s
M M
δ
dx
ik
∑ ∫ i ⋅
=
k
EA cosϕ
x
Rysuję wykresy od sił jedynkowych i obciążenia zewnętrznego, których wyniki umieszczę w tabeli:
Stan X1=1
M1=-(4,2-y)
Politechnika Poznańska
UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
Stan X2=1
M2=x-10
Stan P
− (
10 10 − x)2
M P =
x ∈ 10
,
0
2
M P = 0
x ∈
,
10 20
Politechnika Poznańska
(n)
0
M
-60,0438
-31,5395
-8,03507
10,46932
23,9737
32,47808
35,98247
34,48685
27,99123
16,49562
-16,4956
-27,9912
-34,4868
-35,9825
-32,4781
-23,9737
-10,4693
8,035069
31,53945
60,04384
gowski ®
ody
Ł
φ
dam
os )/cp
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*M 2 6529,93109 4569,4055 3084,33152 1989,50645 1209,41484 677,887343 337,580435 139,220546 40,5605523 5,01760899
15132,6185
(Mφ
os )/cp
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*M 1 2742,57106 1727,23528 1036,33539 584,914895 304,77254 142,356342 56,7135132 17,5417888 3,40708639 0,21073958
5144,6881
(Mφ
A
os )/c2
0
*M 1 54,85142113 38,38300616 25,90838474 16,71185414 10,15908468 5,694253682 2,835675658 1,169452586 0,340708639 0,042147916
-0,042147916
-0,340708639
-1,169452586
-2,835675658
-5,694253682
-10,15908468
-16,71185414
-25,90838474
-38,38300616
-54,85142113
5,44749E-14
(Mφ
/cos
0
2 2
130,5986
101,5423
77,10829
56,84304
40,31383
27,11549
16,87902
9,28137
4,056055
1,003522
1,003522
4,056055
9,28137
16,87902
27,11549
40,31383
56,84304
77,10829
101,5423
130,5986
Mφ
/cos 21M 23,0376 14,50878 8,705217 4,913285 2,560089 1,195793 0,476394 0,147351 0,02862 0,00177 0,00177 0,02862 0,147351 0,476394 1,195793 2,560089 4,913285 8,705217 14,50878 23,0376 86,43076 793,6374
p
M
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-500
-405
-320
-245
-180
-125
-80
-45
-20
-5
2
M
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
-4,2
0
-3,402
-2,688
-2,058
-1,512
-1,05
-0,672
-0,378
-0,168
-0,042
-0,042
-0,168
-0,378
-0,672
-1,05
-1,512
-2,058
-2,688
-3,402
-4,2 10
M
φ
E
LN
1
A
1,305986
1,253609
1,204817
1,160062
1,119829
1,08462
1,054939
1,031263
1,014014
1,003522
1,003522
1,014014
1,031263
1,054939
1,08462
1,119829
1,160062
1,204817
1,253609
1,305986
NACZZY
1/cos
W
φ
IE NE
0,69866
0,64733
0,591686
0,531549
0,466842
0,397628
0,324149
0,24686
0,166446
0,083803
-0,0838
-0,16645
-0,24686
-0,32415
-0,39763
-0,46684
-0,53155
-0,59169
-0,64733
-0,69866
φ
YCZNI
ańska
0 0
TA
tan
0,84
0,756
0,672
0,588
0,504
0,42
0,336
0,252
0,168
0,084
-0,42
T
t
0
0 -0,84
ADY S
4,2
Ł
0,798
1,512
2,142
2,688
3,15
3,528
3,822
4,032
4,158
4,158 -0,084
4,032 -0,168
3,822 -0,252
3,528 -0,336
3,15
2,688 -0,504
2,142 -0,588
1,512 -0,672
0,798 -0,756
KU
Politechnika Pozn
10
20
Nr x
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20
UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
Z tabeli ze strony 4 korzystam z metody Simpsona numerycznego całkowania: b
x
∆
f ( x) dx =
( f 4
2
4
... 2
4
0 +
⋅ f 1 + ⋅ f 2 + ⋅ f 3 + + ⋅ f
∫
−2 +
⋅ f −1 + f n
n
n )
3
a
x
∆ = m
1
M ⋅ M
,
86 43076
1
1
δ =
dx
∑
=
11
∫ EI cosϕ
EI
x
M ⋅ M
1
2
δ =
dx
∑
= 0
12
∫ EI cosϕ
x
M ⋅ M
6374
,
796
i
k
δ =
dx
∑
=
22
∫ EI cosϕ
EI
x
M ⋅ M
6881
,
5144
i
k
δ =
dx
∑
=
1 P
∫ EI cosϕ
EI
x
M ⋅ M
6185
,
15132
i
k
δ =
dx
∑
=
2 P
∫ EI cosϕ
EI
x
Otrzymane wartości podstawiam do równania kanonicznego:
,
86 43076 ⋅ X + 0 ⋅ X +
6881
,
5144
= 0
1
2
0⋅ X +
6374
,
796
⋅ X +
6185
,
15132
= 0
1
2
X = −
[
5238
,
59
kN]
1
X = −
[
9956
,
18
kN]
2
Korzystam z zasady superpozycji i wyznaczam Mn: ( n
M ) = M 1 ⋅ X 1 + M 2 ⋅ X 2 + M P
( n
M ) = M 1 ⋅ (−
)
5238
,
59
+ M 2 ⋅ (−
)
9956
,
18
+ M P
Politechnika Poznańska
UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
6
M(n) wartości z tabeli na stronie 7
Kontrola kinematyczna: M1=-(4,2-y)
Politechnika Poznańska
UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
7
Mn
M wirt Spr Mw*Mn
-47,0693 -1
329,349
-21,0301 -0,855 134,5088
0,268642 -0,72 26,02195
16,82684 -0,595
-24,9945
28,64454 -0,48
-40,5918
35,72172 -0,375
-36,9877
38,05839 -0,28
-25,5087
35,65456 -0,195
-13,4436
28,51021 -0,12
-4,76843
16,62536 -0,055
-0,69526
0 0 0
-16,3659 0,045 0,695256
-27,4723 0,08 4,768427
-33,3191 0,105 13,44358
-33,9065 0,12 25,50865
-29,2344 0,125 36,98769
-19,3029 0,12 40,59181
-4,11179 0,105 24,99452
16,33878 0,08
-26,022
42,04884 0,045
-134,509
73,01838 0
-329,349
-4,9E-06
Politechnika Poznańska